Capítulo 3: Produtos de Vetores e Propriedades

CAPÍTULO 3 PRODUTOS DE VETORES 31 Produto Escalar Chamase produto escalar ou produto interno usual de dois vetores u x1i y1j z1k e v x2i y2j z2k e se representa por u v ao número real u v x1x2 y1y2 z1z2 O produto escalar de u por v também é indicado por u v e se lê u escalar v Exemplo Se u 3i 5j 8k e v 4i 2j k temse u v 3 4 52 8 1 12 10 8 14 311 Problema Resolvido 1 Dados os vetores u 4 α 1 e v α 2 3 e os pontos A4 1 2 e B3 2 1 determinar o valor de α tal que u v BA 5 Solução BA A B 4 3 1 2 2 1 1 3 3 Substituindo e resolvendo a equação dada vem 4 α 1 α 2 3 1 3 3 5 4 α 1 α 1 1 6 5 4α 1 α1 6 5 4α 4 α 6 5 3α 5 4 6 3α 7 e α 73 32 Módulo de um Vetor Módulo de um vetor v x y z representado por v é o número real não negativo v v v ou em coordenadas v x y z x y z ou v x² y² z² Exemplo Se v 2 1 2 então v 2² 1² 2² 4 1 4 9 3 Elevando ambos os membros ao quadrado e ordenando a equação vem 4 9 m² 6m 9 49 m² 6m 27 0 Resolvendo esta equação do 2º grau pela conhecida fórmula m b b² 4ac na qual a 1 b 6 e c 27 obtémse m 9 e m 3 logo m 9 ou m 3 3 Determinar α para que o vetor v α 12 14 seja unitário Solução Devese ter v 1 ou seja α² 12² 14² 1 α² 14 116 1 α² 14 116 α² 1116 α 114 Para quaisquer que sejam os vetores u x₁ y₁ z₁ v x₂ y₂ z₂ w x₃ y₃ z₃ e m ℝ é fácil verificar que I u v 0 se u v 0 somente se u 0 0 0 0 imediato II u v v u comutativa De fato u v x₁x₂ y₁y₂ z₁z₂ x₂x₁ y₂y₁ z₂z₁ v u III u v w u v u w distributiva em relação à adição de vetores De fato u v w x₁x₂ x₃ y₁y₂ y₃ z₁z₂ z₃ x₁x₂ y₁y₂ z₁z₂ x₁x₃ y₁y₃ z₁z₃ u v w u v u w IV mu v mu v u mv exercício para o leitor V u u u² De fato de acordo com a definição de módulo de um vetor u u u Elevando ambos os membros ao quadrado vem u u u² 331 Problemas Resolvidos 4 Provar que u v² u² 2u v v² Observação De forma análoga demonstrase que u v² u² 2u v v² 5 Provar que u v u v u² v² Solução u v u v u u u v v u v v u v u v u² v² 34 Ângulo de Dois Vetores Já vimos em 17 que o ângulo θ entre dois vetores não nulos u e v varia de 0 a 180 Vamos mostrar que o produto escalar de dois vetores está relacionado com o ângulo por eles formado Se u 0 v 0 e θ é o ângulo dos vetores u e v então u v u v cos θ Com efeito aplicando a lei dos cosenos ao triângulo ABC da Fig 34 temos u v² u² v² 2u v cos θ Por outro lado de acordo com as propriedades II III e V do produto escalar ver Problemas 4 e 5 Item 331 u v ² u ² v ² 2 u v 2 Comparando as igualdades 2 e 1 u ² v ² 2 u v u ² v ² 2 v cos θ logo u v u v cos θ 34I Conclusão O produto escalar de dois vetores u e v é o produto dos seus módulos pelo coseno do ângulo por eles formado Observações a Se u v 0 de acordo com a Fórmula 34I cos θ deve ser um número positivo isto é cos θ 0 o que implica 0 θ 90 Nesse caso θ é ângulo agudo ou nulo b Se u v 0 de acordo com a Fórmula 34I cos θ deve ser um número negativo isto é cos θ 0 o que implica 90 θ 180 Nesse caso θ é ângulo obtuso ou raso c Se u v 0 de acordo com a Fórmula 34I cos θ deve ser igual a zero isto é cos θ 0 o que implica θ 90 Nesse caso θ é ângulo reto 341 Cálculo do Ângulo de Dois Vetores Da fórmula 34I u v u v cos θ vem cos θ u v u v Esta fórmula é de larga aplicação no cálculo do ângulo de dois vetores 342 Condição de Ortogonalidade de Dois Vetores De acordo com a observação da alínea c do Item 34 podemos afirmar dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar deles é nulo isto é se u v 0 Exemplo u 2 3 2 é ortogonal a v 1 2 4 pois u v 21 32 24 2 6 8 0 343 Problemas Resolvidos 6 Calcular o ângulo entre os vetores u 1 1 4 e v 1 2 2 Solução cos θ u v u v 1 1 4 1 2 2 ¹² ¹² ⁴² 1² ²² ²² 1 2 8 1 18 9 cos θ 9 32 3 cos θ 1 22 22 logo θ arc cos 2 2 45 7 Sabendo que o vetor v 2 1 1 forma um ângulo de 60 com o vetor AB determinado pelos pontos A3 1 2 e B4 0 m calcular m Solução De acordo com a igualdade 34II podemos escrever cos 60 v AB v AB mas AB B A 4 3 0 1 m 2 1 1 m 2 e cos 60 1 2 Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC sendo A3 3 3 B2 1 2 e C1 0 2 Determinar um vetor ortogonal aos vetores v1 1 1 0 e v2 1 0 1 Seja u x y z o vetor procurado Para que u seja ortogonal aos vetores v1 e v2 devemos ter uv1 x y z1 1 0 x y 0 uv2 x y z1 0 1 x z 0 Ângulos Diretores e CoSenos Diretores de um Vetor 351 Problemas Resolvidos Propriedades β por 45 e γ por 60 vem cos²α cos²45 cos²60 1 ou cos²α 1 24 14 2 14 14 cosα 14 12 logo α 60 ou α 120 14 Um vetor v forma com os vetores i e j ângulos de 60 e 120 respectivamente Determinar o vetor v sabendo que v 2 Solução Seja v x y z No caso presente α 60 e β 120 logo cos 60 xv x2 mas cos 60 12 logo x2 12 x 1 Por outro lado cos 120 12 logo y2 12 y 1 mas cos 120 12 logo y2 12 y 1 Sabemos que v x² y² z² isto é 2 1² 1² z² ou 4 1² 1² z² z² 2 z 2 portanto v 1 1 2 ou v 1 1 2 Como w e v têm a mesma direção seguese que w k v k ℝ Então w k v ou k u v logo w u v v ² Portanto o vetor projeção de u sobre v projv u w é projv u u v v ² v ou projv u u u v projv u 11 u v v v v projv BA BC 220 313 313 313 62 919 313 Resolvendo o sistema se obtém x 519 y 819 e z 519 d se θ é o ângulo entre 𝑢 0 e 𝑣 0 então cos θ 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 pois o 2º membro de 38 é o desenvolvimento deste determinante simbólico segundo os elementos da 1ª linha observada a alternância dos sinais que precedem os termos deste 2º membro Na verdade o símbolo à direita da igualdade 381 não é um determinante pois a primeira linha contém vetores ao invés de escalares No entanto usaremos esta notação pela facilidade de memorização que ela propicia no cálculo do produto vetorial