Lista de Exercícios Resolvidos - Álgebra Linear - Matrizes e Fatoração LU

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA SEMESTRE 20222 DISCIPLINA GCET065 ÁLGEBRA LINEAR DOCENTE JUNILSON CERQUEIRA ALUNOA Primeira Lista Avaliativa Valor 20 pontos Instrução nas questões a seguir os elementos α β e γ devem ser identificados de acordo com as primeiras letras do seu nome seguindo a TABELA DA ÚLTIMA PÁGINA Por exemplo se meu nome é JUNILSON então α corresponde ao número da letra J β corresponde ao número da letra U e γ corresponde ao número da letra N Assim se eu fosse o estudante teria que substituir antes de tudo α β e γ para os valores referidos acima Cada estudante que responder esta lista deve fazer a mesma substituição e só depois responder as questões Indique abaixo os SEUS números correspondentes a α β e γ α β γ 104 São dadas as matrizes a seguir C 3 2 1 2 5 3 D 1 2 1 4 12 2 E 6 1 3 1 1 2 4 1 3 e Z α 5 2 1 β 1 3 2 γ W α 5 2 0 1 β 1 1 3 2 γ 5 0 0 2 1 onde α β e γ são os números dados conforme a instrução inicial Determine as matrizes a seguir a Dt 2C Z b Z2 c E1 usando o método da matriz adjunta e confira sua resposta usando o método da forma escada d det W usando o desenvolvimento de Laplace 206 Dada uma matriz A Mmnℝ chamamos de fatoração LU de A o produto A LU onde L é uma matriz triangular inferior e U é uma matriz triangular superior Se A pode ser reduzida à forma escalonada por linhas sem permutações então sempre existe tal decomposição Siga os passos a seguir sem realizar permutações e efetue a fatoração LU para a matriz A 2α γ α β Passo 1 Escreva A na forma escalonada anotando as matrizes elementares uitlizadas onde E1 deve representar a primeira operação elementar utilizada E2 a segunda e assim sucessivamente até a última matriz En A forma escalonada de A será a matriz U da fatoração Passo 2 Verifique que de fato temse En E2 E1 A U Passo 3 Como as matrizes elementares são invertíveis do Passo 2 calcule todas as inversas destas e isole a matriz A escrevendo A E11 E22 En1 U Passo 4 Calcule o produto E11 E22 En1 Este resultado será a matriz L uma triangular inferior Passo 5 Por fim verifique que de fato A LU Você acabou de obter a fatoração LU de A sem permutações Esta fatoração é muito utilizada para resoluções de sistemas de equações lineares 306 Classifique as afirmações a seguir em verdadeira ou falsa justificando sua resposta Para a afirmação falsa justifique através de um contraexemplo Para a afirmação verdadeira justifique usando a teoria estudada até aqui Todas as matrizes quadradas tem ordem maior que 1 a Se A for uma matriz invertível de de ordem n então At é invertível e At1 A1t b Considerando a matriz A α γ 1 β vale que A B A B A2 B2 para qualquer matriz quadrada B 3 c Toda matriz elementar e invertıvel d Se A e B forem matrizes de mesmo tamanho e detA detB entao vale que detA B 2 detA e Em uma matriz A de ordem 6 se a soma da segunda linha com a quarta linha e igual a ultima linha entao det A 0 f Se e possıvel efetuar o produto A A entao A so pode ser quadrada 404 Necessitase adubar um terreno acrescentando a cada 10m3 140 g de nitrato 190 g de fostato e 205 g de potassio Dispoese de quatro qualidades de adubo com as seguintes caracterısticas a Cada quilograma do adubo I custa R5 00 e contem 10g de nitrato 10g de fosfato e 100g de potassio b Cada quilograma do adubo II custa R6 00 e contem 10 g de nitrato 100 de fosfato e 30 g de potassio c Cada quilograma do adubo III custa R5 00 e contem 50 g de nitrato 20 g de fosfato e 20 g de potassio d Cada quilograma do adubo IV custa R15 00 e contem 20 g de nitrato 40 g de fosfato e 35 g de potassio Quanto de cada adubo devemos misturar para conseguir o efeito desejado se a cada 10m3 estamos dispostos a gastar R54 00 com a adubacao Resolve por algum metodo visto em sala 4 Tabela 1 Numero correspondente a cada letra A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 2 H 8 I 9 J 10 K 1 L 2 M 3 N 4 O 5 P 6 Q 2 R 8 S 9 T 10 U 3 V 12 W 12 X 1 Y 4 Z 2