Lista de Exercicios Resolvidos Algebra Linear - Matrizes Sistemas e Espaços Vetoriais

Questão 1 a 075 ponto Calcule a inversa da matriz 1 2 0 8 0 1 2 1 0 0 1 1 0 0 0 1 b 075 ponto Use a regra de Gauss Jordan para resolver o sistema x y z w 0 x y z w 4 x y z w 4 x y z w 2 c 05 ponto Resolva o sistema abaixo pela regra de Cramer 2x y 2z 4 x 2y z 1 3x 5y 2z 1 Questão 2 Considere o conjunto R4 x y z w x y z w R No conjunto R4 considere as seguintes operações de soma e multiplicação por escalar Para u x1 y1 z1 w1 v x2 y2 z2 w2 α R seja u v x1 x2 y1 y2 z1 z2 w1 w2 αu αx1 αy1 αz1 αw1 Questão 1 a 1º Coluna a 2e 8m 1 i e 2i m 0 ii i m 0 iii m 0 iv Por iv temos que m 0 Logo i m i 0 i 0 Substituindo em ii temos e 2i m e 0 e 0 Por fim a 2e 8m a 1 a 1 2º Coluna b 2f 8n 0 i f 2j n 1 ii j n 0 iii n 0 iv Por iv temos que n 0 Logo j n j 0 j 0 Substituindo em ii temos que f 2j n f 1 f 1 Por fim temos que b 2f n b 2 0 b 2 3º Coluna c 2g 8o 0 i g 2k o 0 ii k o 1 iii o 0 iv Por iv temos que o 0 Logo k o k 1 k 1 Substituindo em ii temos que g 2k o g 2 0 g 2 Por fim temos que c 2g 8o c 4 0 c 4 a 10 ponto Mostre que R4 é um espaço vetorial com as operações definidas em 1 b 10 ponto Considere o conjunto V 1 y z w R4 y z w R O conjunto V com as operações definidas em 1 é um espaço vetorial Justifique a sua resposta Questão 3 a 10 ponto Faça a representação geométrica dos vetores u 1 2 1 v 2 1 2 w 3 3 2 u v u v v 12v e 3v b 10 ponto Dados u 1 2 3 v 3 2 0 e w 2 0 0 encontre números α β e γ tais que αu βv γw 1 1 1 Questão 4 Lei do Paralelogramo a 10 ponto Sejam u v Rn Mostre que u v2 u v2 2u2 2v2 Faça a representação geométrica desta equação b 10 ponto Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u 1 1 3 v 3 2 0 e w 2 0 0 Questão 5 Seja r a reta que passa pelo ponto Q 1 0 0 e é paralela ao vetor v 1 0 1 a 10 ponto Determine as equações paramétricas da reta r b 20 pontos Considere a superfície C x y z R3 z x2 y2 Determine os pontos P da reta r que também pertencem a superfície C 4º Coluna d 2h 8p 0 i h 2l p 0 ii l p 0 iii p 1 iv Por iv temos que p 1 Logo l p l 1 l 1 Substituindo em ii temos que h 2l p h 3 0 h 3 Por fim temos que d 2h 8p d 14 0 d 14 Portanto a matriz inversa de é a matriz b 1 1 1 1 0 1 1 1 1 4 L2 L2 L1 1 1 1 1 4 L3 L3 L1 1 1 1 1 2 L4 L4 L1 1 1 1 1 0 0 0 0 2 4 0 0 2 0 4 0 2 0 0 2 L2 L4 1 1 1 1 0 0 2 0 0 2 0 0 0 2 4 L3 L4 0 0 2 0 4 1 1 1 1 0 0 2 0 0 2 L2 05 L2 0 0 2 0 4 L3 05 L3 0 0 0 2 4 L4 05 L4 1 1 1 1 0 L1 L1 L2 L3 L4 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 L1 L1 L2 L3 L4 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2 0 0 0 1 2 Solução x 1 y 1 z 2 e w 2 c D 8 3 10 12 10 2 21 24 3 Dx 16 1 10 4 20 2 7 22 15 Dy 4 12 2 6 2 8 10 4 6 Dz 4 3 20 24 10 1 21 15 6 Solução x DxD 5 y DyD 2 z DzD 2 Questão 2 a Como estamos trabalhando com sabemos que quaisquer e ℝ 4 𝑢 𝑣 ℝ 4 α ℝ temos que e Logo vamos apenas testar as condições de 𝑢 𝑣 ℝ 4 α𝑢 ℝ 4 espaço vetorial Suponha e e 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑣 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑤 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 α β ℝ quaisquer A1 u v v u 𝑢 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑎 𝑒 𝑏 𝑓 𝑐 𝑔 𝑑 ℎ 𝑒 𝑎 𝑓 𝑏 𝑔 𝑐 ℎ 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑣 𝑢 OK A2 u v w u v w 𝑢 𝑣 𝑤 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 𝑎 𝑒 𝑏 𝑓 𝑐 𝑔 𝑑 ℎ 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 𝑎 𝑒 𝑖 𝑏 𝑓 𝑗 𝑐 𝑔 𝑘 𝑑 ℎ 𝑙 𝑎 𝑒 𝑖 𝑏 𝑓 𝑗 𝑐 𝑔 𝑘 𝑑 ℎ 𝑙 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑖 𝑓 𝑗 𝑔 𝑘 ℎ 𝑙 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 𝑢 𝑣 𝑤 OK A3 Existe tal que u e u 𝑒 ℝ 4 Note que se considerarmos e 0 0 0 0 temos que 𝑢 𝑒 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 0 0 0 0 𝑎 0 𝑏 0 𝑐 0 𝑑 0 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 Portanto existe tal que u e u 𝑒 ℝ 4 OK A4 Para todo u existe tal que u u e 𝑢 ℝ 4 Se considerarmos que u a b c d temos que 𝑢 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 𝑐 𝑐 𝑑 𝑑 0 0 0 0 𝑒 Portanto para todo u existe tal que u u e 𝑢 ℝ 4 M1 αβ𝑢 αβ𝑢 αβ𝑢 αβ𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 αβ𝑎 αβ𝑏 αβ𝑐 αβ𝑑 αβ𝑎 β𝑏 β𝑐 β𝑑 αβ𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 αβ𝑢 OK M2 α β𝑢 α𝑢 β𝑢 α β𝑢 α β𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 α β𝑎 α β𝑏 α β𝑐 α β𝑑 α𝑎 β𝑎 α𝑏 β𝑏 α𝑐 β𝑐 α𝑑 β𝑑 α𝑎 α𝑏 α𝑐 α𝑑 β𝑎 β𝑏 β𝑐 β𝑑 α𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 β𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 α𝑢 β𝑢 OK M3 α𝑢 𝑣 α𝑢 α𝑣 α𝑢 𝑣 α𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ α𝑎 𝑒 𝑏 𝑓 𝑐 𝑔 𝑑 ℎ α𝑎 α𝑒 α𝑏 α𝑓 α𝑐 α𝑔 α𝑑 αℎ α𝑎 α𝑏 α𝑐 α𝑑 α𝑒 α𝑓 α𝑔 αℎ α𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 α𝑒 𝑓 𝑔 ℎ α𝑢 α𝑣 OK M4 1u u 1𝑢 1𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 1𝑎 1𝑏 1𝑐 1𝑑 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 OK Como atende todas as propriedades temos que é espaço vetorial b Não é um espaço vetorial pois se considerarmos 𝑢 1 0 0 0 𝑣 1 1 1 1 e temos que porém e α 2 𝑢 𝑣 𝑉 𝑢 𝑣 2 1 1 1 𝑉 α𝑢 2 0 0 0 𝑉 Logo não é fechado para adição e nem para multiplicação Logo V não é um espaço vetorial para as operações definidas Questão 3 a b α𝑢 β𝑣 γ𝑤 1 1 1 α1 2 3 β3 2 0 γ2 0 0 1 1 1 α 3β 2γ 2α 2β 3α 1 1 1 i α 3β 2γ 1 ii 2α 2β 1 iii 3α 1 Por iii temos que Logo α 13 2α 2β 2β 23 1 2β 13 β 16 Substituindo em i temos que α 3β 2γ 13 12 2γ 56 2γ 1 2γ 16 γ 112 Solução α 13 β 16 γ 112 Questão 4 a 𝑢 𝑣 ² 𝑢 𝑣 ² 𝑢1 𝑣1 2 𝑢𝑛 𝑣𝑛 2 𝑢1 𝑣1 2 𝑢𝑛 𝑣𝑛 2 𝑢1² 2𝑢1𝑣1 𝑣1 2 𝑢𝑛² 2𝑢𝑛𝑣𝑛 𝑣𝑛 2 𝑢1² 2𝑢1𝑣1 𝑣1 2 𝑢𝑛² 2𝑢𝑛𝑣𝑛 𝑣𝑛 2 2 𝑢1² 𝑢𝑛 2 2 𝑣1² 𝑣𝑛 2 2 𝑢 2 2 𝑣 2 b V 12 0 0 0 12 0 0 12 Questão 5 a Como passa pelo ponto inicial 1 0 0 temos que x 1 at y 0 bt z 0 ct Como é paralela ao vetor 1 0 1 temos que x 1 t y 0 z t b 𝑧 𝑥 2 𝑦 2 𝑡 1 𝑡 2 1 2𝑡 𝑡² 𝑡 0 1 3𝑡 𝑡² 0 𝑡 3 3 2 411 2 3 5 2 Ponto 1 𝑧 𝑡 3 5 2 𝑥 1 𝑡 1 3 5 2 1 5 2 3 5 2 0 1 5 2 Ponto 2 𝑧 𝑡 3 5 2 𝑥 1 𝑡 1 3 5 2 1 5 2 3 5 2 0 1 5 2