Autovalores Autovetores e Diagonalização de Operadores Lineares no R2 e R3

4 Determinar os autovalores e os autovetores dos seguintes operadores lineares no R² a Txy x 2y x 4y b Txy y x 5 Dado o operador linear T no R² tal que Txy 3x 5y 2y encontrar uma base de autovetores 6 Verificar se existe uma base de autovetores para a T R³ R³ tal que Txyz x y z 2y z 2y 3z b T R³ R³ tal que Txyz x 2x y 2x y 2z c T R³ R³ tal que Txyz x 2x 3y z 4y 3z 7 Seja T R² R² tal que Txy 4x 5y 2x y Encontrar uma base que diagonalize o operador T 8 O operador linear T R⁴ R⁴ tal que Txyzt x y z t x y z y z t x y é diagonalizável Matriz de T T10 1 1 e T01 2 4 Logo T 1 2 1 4 Polinômio característico pTxdetxI T pTx detx1 2 1 x4 x1x4 2 pTx x² 5x 4 2 pTx x² 5x 6 pTx x2x3 Autovalores λ 2 e λ 3 Autovetores associados a λ 2 Txy 2xy x2y x4y 2x 2y x2y x2y 00 Portanto autovetor é v 12 Autovetores associados a λ 3 Txy 3xy x2y x4y 3x 3y 2x 2y x y 00 Portanto autovetor é v 11 Matriz de T na base canônica T10 0 1 e T01 1 0 T 0 1 1 0 Polinômio característico pTx detxI T pTx detx 1 1 x x² 1 Não existem autovalores reais Nem autovetores 5 Dado o operador linear T no R2 tal que Txy 3x 5y 2y encontrar uma base de autovetores Vejamos T R2 R2 é tal que Txy 3x 5y 2y Assim a matriz de T relativa a base canônica será T10 30 e T01 52 Logo T 3 5 0 2 Polinômio Característico pTx detxI A pTx det x3 5 0 x2 pTx x3x2 Portanto λ 3 e λ 2 são os autovalores de T Determinemos agora seus autovetores Associado a λ 3 Txy 3xy 3x 5y 2y 3x 3y 5y 0 y C Assim o autovetor associado a λ 3 é do tipo xy x0 x10 x R Logo v1 10 é autovetor de λ 3 Associado a λ 2 Txy 2xy 3x 5y 2y 2x 2y 5x 5y 0 x y 0 x y Assim o autovetor associado a λ 2 é do tipo xy x x x11 x R Logo v2 11 é autovetor de λ 2 Agora β v1 v2 é base de R2 De fato dados α1 α2 R tal que α1 v1 α2 v2 00 α1 10 α2 11 00 α1 α2 0 e α2 0 α2 0 α1 0 0 α1 0 Ou seja α1 α2 0 v1 v2 são LI Agora vejamos dado xy R2 temos que xy xy10 y11 Ou seja β gera o R2 Daí de fato β é base de autovetores de T Verificar se existe uma base de autovetores para a T R3 R3 tal que Txyz x y z2y z2y 3z Primeiro vejamos quem é a matriz de T relativa a base canônica T100 100 T010 122 e T001 113 Portanto a matriz de T relativa a base canônica será T 1 1 1 0 2 1 0 2 3 Polinômio Característico pTx detxI A pTx det x1 1 1 0 x2 1 0 2 x3 pTx x1x2x3 2x1 pTx x1x2x3 2 pTx x1x2 5x 6 2 pTx x1x2 5x 4 pTx x1x1x4 pTx x12 x4 Assim os autovalores de T são λ1 com multiplicidade 2 e λ4 Vejamos os autovetores agora Associado a λ1 Txyz 1xyz x y z 2y z 2y 3z xyz y z y z 2y 2z 000 Ou seja y z Assim os autovetores associados a λ1 são do tipo xyz xyy x00 0yy x100 y011 xy R Portanto 100 e 011 não são autovetores associados a λ1 Associado a λ1 Txyz 4xyz xyz 2yz 2y3z 4x4y4z 3xyz 2yz 2yz 000 Ou seja z2y Assim os autovetores associados a λ4 são do tipo xyz xy2y x00 0y2y x100y012 xy ℝ Portanto 100 e 011 não autovetores associados a λ4 Agora veja que a multiplicidade geométrica do autovalor 4 é 2 entretanto sua multiplicidade algébrica é 1 Ou seja a multiplicidade geométrica do autovalor 4 é maior que sua multiplicidade algébrica Portanto T não é diagonalizável Isto implica que não existe base formada por autovetores de T b T ℝ³ℝ³ tal que Txyz x2xy2xy2z Primeiro vejamos quem é a matriz de T relativa a base canônica T100 122 T010 011 T001 002 T 100210212 Polinômio característico pTx detxI T pTx detx1002x1021x2 pTx x1x1x2 Autovalores λ1 λ1 e λ2 Vejamos os autovetores associados a cada autovalor Associado a λ1 Txyz 1xyz x2xy2xy2z xyz 02x2y xy2z 000 2x2y0 xy0 Como xy2z0 2z0 z0 Portanto os autovetores associados ao autovalor 1 são do tipo xyz xx0 x110 x ℝ Portanto 110 é autovetor associado a λ1 Associado a λ1 Txyz 1xyz x2xy2xy2z xyz 2x2x2xy3z 000 Aqui temos 2x0 x0 2xy3z0 y3z0 y3z Portanto os autovetores associados ao autovalor 1 são do tipo xyz 03zz z031 z ℝ Portanto 031 é autovetor associado a λ1 Associado a λ2 Txyz 2xyz x2xy2xy2z 2x2y2z x2x3y2xy 000 Aqui temos x0 x0 Logo 2x3y0 3y0 y0 Portanto os autovetores associados ao autovalor 2 são do tipo xyz 00z z001 z ℝ Portanto 001 é autovetor associado a λ2 Por fim concluímos que existe uma base de autovetores de T formada pelos vetores 110 031 e 001 c T ℝ³ℝ³ tal que Txyz x2x3yz4y3z Vejamos quem é a matriz de T relativa a base canônica T100 120 T010 034 T001 013 T 100231043 Polinômio Característico pTx detxI T pTx detx1002x3104x3 x1²x5 Portanto os autovalores são λ1 multiplicidade 2 e λ5 Vejamos quem são os autovetores Associado a λ1 Txyz 1xyz x2x3yz4y3z xyz 02x2y z4y2z 000 Temos 4y2z0 z2y Também 2x2yz0 2x2y2y0 2x0 x0 Assim os autovetores associados ao autovalor 1 são da forma xyz 0y2y y012 y ℝ Portanto 012 é autovetor associado a λ1 Associado a λ5 Txyz 5xyz x2x3yz4y3z 5x5y5z 4x2x2yz4y2z 000 Temos 4x0 x0 daí 2y z0 z2y Assim os autovetores associados ao autovalor 1 são da forma xyz 0y2y y012 yℝ Portanto 012 é autovetor associado a λ5 Doú como existem apenas dois autovetores LI não formam base 7 Seja TR2 R2 tal que Txy 4x5y 2xy Encontrar uma base que diagonalize o operador T Do enunciado temos T R2 R2 dado por Txy 4x 5y 2x y Observemos T10 4 2 e T01 5 1 Portanto a matriz de T será T 4 5 2 1 Polinômio característico pTx detxI T logo pTx detx4 5 2 x1 pTx x4x1 10 pTx x2 5x 4 10 pTx x2 5x 6 pTx x1x6 Logo os autovalores de T são λ 1 e λ 6 Os autovetores serão Associado a λ 1 Txy 1xy 4x 5y 2x y x y Escrevendo em sistemas lineares 4x 5y x 2x y y 5x 5y 0 x y 0 x y Assim o autovetor associado a λ 1 é do tipo x y x x x1 1 x R Logo v 1 1 é autovetor de λ 1 Associado a λ 6 Txy 6xy 4x 5y 2x y 6x 6y Escrevendo em sistemas lineares 4x 5y 6x 2x y 6y 2x 5y 0 2x 5y y 25 x Assim o autovetor associado a λ 6 é do tipo x y x 25 x x1 25 x R Logo v 1 25 é autovetor de λ 6 Portanto a matriz de transição que é a matriz formada pelos autovetores de T será P 1 1 1 25 e P1 77 57 57 57 Assim a forma diagonalizada de T na forma matricial será T 77 57 57 57 1 0 0 6 1 1 1 25 Por fim vemos que a base canônica β 1001 diagonaliza T continuation of the above page all text is transcription without line breaks 8 O operador linear T R4 R4 tal que Tx y z t x y z t x y z y z t x y é diagonalizável Vejamos T R4 R4 dado por Txyzw x y z t x y z y z t x y A matriz de T relativa à base canônica será T1000 1 1 0 1 T0100 1 1 1 0 T0010 1 1 1 0 T0001 1 0 1 0 T 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 O polinômio característico de T será pTx detxI T pTx detx1 1 1 1 1 x1 1 0 0 1 x1 1 1 0 0 x pTt x4 3x3 x pTx xx3 3x2 1 Observe que 0 é autovalor de T T não é invertível T não é diagonalizável