Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo Vetorial e Álgebra Linear

LISTA DE EXERCÍCIOS CÁLCULO VETORIAL E ÁLGEBRA LINEAR Professora Maria Helena Campanelli Questões 1 A matriz quadrada de ordem 2 com é 2 Considere as matrizes C Então A B C é igual a 3 O produto M N da matriz pela matriz a não se define b é uma matriz de determinante nulo c é uma matriz identidade de ordem 3 d é uma matriz de uma linha e uma coluna e não é uma matriz quadrada 4 Sejam as matrizes e Calcule x y e z tais que AB I 5 A matriz inversa da matriz A é Lembrando que A A1 I3 a primeira linha de A é 6 O determinante é igual a 7 O valor do determinante é a 2 b 1 c 0 d 1 e 2 8 O cofator do elemento a33 da matriz é 9 Calcule o sistema 10 Calcule o sistema 1 Obtenha geometricamente a soma dos seguintes vetores a sendo e b sendo e c Curso Disciplina Cálculo Vetorial e Álgebra Linear Professora Maria Helena Campanelli Nome do aluno RGM Período Turma Data Nota 2 Sendo A 12 0 0 C 0 24 0 e E 0 0 36 obter com base na figura o que for pedido a B b c d 3 Represente na figura o vetor soma dos vetores e obtenha o módulo do vetor soma sendo A3 0 0 B0 6 0 C0 0 4 4 Represente o vetor 5 Observe a figura e obtenha o vetor 6 Determinar o vetor na igualdade 3 sendo dados e 7 Dados os pontos A1 5 3 e B 3 4 2 determinar o ponto P tal que 8 Determinar o vetor sabendo que 9 Verificar se os vetores e são paralelos Justifique 10 Dados os pontos P 1 1 0 e Q1 2 1 e os vetores e verificar se existem os números x y e z tais que Exibir a resolução manuscrita e dar a resposta Álgebra Linear 1 A aij com aij 1ij i j Então segue que para A uma matriz 2x2 nós temos que a11 12 1 1 3 a12 13 1 2 2 a21 13 2 1 2 a22 14 2 2 5 Logo A 3 2 2 5 que é a matriz desejada 2 temos que AB C 2 3 4 01 2 0 1 2 2 2 2 2 1 4 8 2 2 2 2 4 1 6 4 AB C 4 1 6 4 3 M3x1 222 e N1x3 2 2 2 O produto se define e é tal que M3x1 N1x3 A3x3 onde A é matriz de ordem 3 que é A3x3 2222 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 E veja que det A 4 4 4 4 4 4 4 4 4 43 43 43 43 43 43 0 Logo a resposta correta é o item b Uma matriz com determinante nulo 4 Com o feito temos que AB I 1 2 1 3 2 1 2 1 1X Y Z 0 1 0 x 2y z 0 3x 2y z 1 2x y z 0 Somando as duas primeiras eqs nós temos que 4x 2z 1 Multiplicando a terceira por 2 e somando com a segunda temos x z 1 Dai obtemos 4x 2z 1 2x 2z 2 2x 3 x 32 Logo segue que 4 32 2z 1 6 2z 1 z 52 Portanto para y temos 2y x z 52 32 22 1 y 12 E a solução é x 32 y 12 e z 52 5 temos que A1 16 1 10 13 1 8 12 1 7 Tomemos A como A a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Logo veja que AA1 I3 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a3316 1 10 13 1 8 12 1 7 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Então veja que multiplicando a primeira linha de A pelas colunas de A1 nós obtemos que 16a11 13a12 11a13 1 i a11 a12 a13 0 ii 10a11 8a12 7a13 0 iii Logo temos que i 16ii 3a12 5a13 1 2a12 3a13 0 iii 10ii Logo temos que a12 3a132 Portanto 332 a13 5a13 1 a13 192 51 121 2 Logo a13 2 daí segue que a12 3 Portanto a11 a12 a13 3 2 1 Então nós ficamos com a11 1 a12 3 e a13 2 que são a primeira linha da matriz A 6 O determinante é y x x x y y y2 xy xx y y2 xy x2 xy y2 x2 y x x x y y y2 x2 7 O determinante é 1 2 2 1 1 1 1 2 3 1 2 3 9 8 4 12 9 6 29 6 18 1 8 12 24 12 10 1 12 22 12 1 E a resposta é 1 8 A 2 1 3 1 2 1 0 1 2 O cofactor pedido é A33 133 2 1 1 2 16 2 2 0 Logo o cofactor é zero 9 5x 3y 11z 13 i 4x 5y 4z 18 ii 9x 2y 7z 25 iii façamos iii ii i para termos 0x 2 5 3y 7 9 11z 25 18 13 Logo ficamos com 0 7 13 6 o que é um absurdo De fato veja que det5 3 115 3 4 5 4 4 54 5 9 2 79 2 7 5 35 3 36 77 4 9 55 40 4 2 0 Então como o determinante do sistema é nulo segue que o sistema dado é impossível portanto não existe solução para x y z de modo a satisfazer i ii e iii simultaneamente 10 2x y 5z 0 i 3x 2y z 0 ii 5x 3y 4z 0 iii O sistema acima tem infinitas soluções De fato veja que a eq iii é a soma de i e ii Portanto nós obtemos que o sistema acima pode ser tratadodesconhecido apenas por i e ii De fato 2x y 5z 0 i 3x 2y z 0 ii tomando z como parâmetro livre nós temos que fazer 2i ii o seguinte x 10z z 0 x 11 z Portanto y 2x 5z 22z 5z 17z y 17z Então as soluções do sistema são as triplas da forma x y z 11z 17z z Álgebra Linear Lista 2 1 a u v u 3i 2j e v 5i j com isso temos u v 3 5 i 2 1j 2 i 3 j Ou seja u v 2i 3j Graficamente 2 u v w com u 4i v 5j e w 3k Então temos que u v w 4i 5j 3k Graficamente c r2 2FO2 BC2 BE2 Então nós teremos que Veja que 2FO BC é o seguinte vetor 2FO BC logo 2FO BC BF Então r2 BF BE Com isso nós obtemos agora que FF BF BE Portanto r2 2FO BC FE 2 a B 12 24 0 b PC PE P 12 24 36 Logo PC C P 12 24 36 0 24 0 12 0 36 PC 12 0 36 c 2PA Veja que A 12 0 0 Então 2PA 2A P 212 0 0 12 24 36 20 24 36 0 48 72 2PA 0 48 72 d BE Usando que B 12 24 0 temos que BE EB 12 24 0 0 0 36 12 24 36 BE 12 24 36 3 Vetor soma é o que parte da origem e vai até o ponto P Conforme abaixo O módulo do vetor é v sqrt3i2 4k2 6j2 sqrt9 16 36 sqrt45 16 sqrt61 v sqrt61 4 Esse é o 3º octante terceiro octante 5 G 3AB 2CD OP Da figura temos que AB 1 4 2 3 3 1 CD D C 4 3 1 2 3 1 OP P O 3 1 0 0 3 1 Logo G 3AB 2CD OP 3 3 1 2 3 1 3 1 0 Então o vetor G é o vetor nulo 6 3WU 4UU 12 G W Onde u 1 3 e G 2 3 Portanto temos que 3WU 4UU 12 G W 4WU G2 4UU WU 18 G UU WU 18 2 3 1 3 WU 108 278 Portanto WU 108 278 7 A 2 5 3 e B 3 4 2 Vamos buscar P a b c tal que AP 2PB De fato AP 2PB P A 2 B P 3P 2B A 3a b c 6 8 4 1 5 3 a b c 53 133 73 Portanto o ponto P é P 53 133 73 8 Com efeito 5 1 3 2G 1 2 3 4G 6G 1 2 3 5 4 3 6G 4 2 6 G 23 16 1 9 u 5 15 10 e v 1 3 2 Esses vetores são paralelos de fato basta ver que u é múltiplo de v Com efeito u 5 15 10 51 3 2 5v Logo u 5v Esses vetores u e v são paralelos 10 Com efeito aqui temos que S x QP yWU 2Zr x P Q y 1 1 2 2Z 1 0 3 x 0 1 1 y 1 1 2 2Z 1 0 3 x y 2z x y x 2y 6z S 2 2 2 Então igualando componente a componente nós obtemos que x y 2z 2 i x y 2 ii x 2y 6z 2 iii Somando i e iii temos que 2z 4 z 2 Logo disso ficamos com x y 2 x x y 2 x y x 2y 10 x y Somando x b1 com x obtemos y 8 portanto segue que x 8 2 x 10 Logo a solução do problema é obtida para x 10 y 8 e z 2