Anotações sobre Dinâmica Vetorial e Leis de Newton

Nome da disciplina Mecânica Geral Especial Professor Juscelino Data 26042023 Assunto da aula Dinâmica Vetorial email institucional nagaiumcbr Cel opcional xxxxxxxxxxxxxx Caso tenha dúvida entrar em contato pelo MS TEAMS Força e Movimento Apesar de o termo força abrigar uma noção quase intuitiva é importante entender que do ponto de vista da Física a noção de força está intimamente relacionada com a alteração do estado de movimento de uma partícula isto é a presença de forças entre as partes da matéria se faz sentir através de um movimento ou de afastamento forças repulsivas ou de aproximação forças atrativas das mesmas As leis de Newton 1ª Lei de Newton ou Lei da Inercia Um corpo em repouso ou em movimento retilíneo uniforme permanecerá nesse estado se a resultante das forças que nele atuam for nula Existe na natureza uma tendência de não se alterar o estado de movimento de uma partícula isto é uma partícula em repouso tende naturalmente a permanecer em repouso e uma partícula com velocidade constante tende a manter a sua velocidade constante Essa tendência natural de tudo permanecer como está é conhecida como inércia No caso da Mecânica essa observação a respeito do comportamento da natureza levou Newton a enunciar a sua famosa Lei da Inércia que diz Qualquer corpo em movimento retilíneo e uniforme ou em repouso tende a manterse em movimento retilíneo e uniforme ou em repouso 2ª lei de Newton ou princípio fundamental da dinâmica A taxa de variação temporal do momento linear 𝑝 𝑚𝑣 de um corpo é igual à força resultante nele exercida e tem a direção dessa força A partir dela e através de métodos matemáticos podemos fazer previsões velocidade e posição por exemplo sobre o movimento dos corpos Qualquer alteração da velocidade de uma partícula é atribuída sempre a um agente denominado força Basicamente o que produz mudanças na velocidade são forças que agem sobre a partícula Como a variação de velocidade indica a existência de aceleração é de se esperar que haja uma relação entre a força e a aceleração 𝐹𝑅 𝑑𝑝 𝑑𝑡 𝐹𝑅 𝑑𝑚𝑣 𝑑𝑡 𝐹𝑅 𝑚𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑣𝑑𝑚 𝑑𝑡 𝐹𝑅 𝑚𝑎 𝑣 𝑑𝑚 𝑑𝑡 Nos casos em que a massa do corpo não varia esta lei toma a forma mais conhecida 𝐹𝑅 𝑚𝑎 3ª Lei de Newton ou Lei da ação e reação Para cada ação existe uma reação igual e oposta as forças resultantes da interação entre dois corpos são iguais e simétricas cada uma delas aplicada a um dos corpos É de se esperar portanto que se um corpo A exerce uma força sobre um corpo B chamada de ação A também experimenta uma força chamada de reação que resulta da interação com B Newton percebeu não só que isso acontece sempre mas indo mais longe especificou as principais características das forças que resultam da interação entre dois corpos Essa questão foi objeto da sua terceira lei Em primeiro lugar uma força nunca aparece sozinha Elas aparecem aos pares uma delas é chamada de ação e a outra de reação Em segundo lugar é importante observar que cada uma dessas duas forças atua em objetos distintos Finalmente essas forças aos pares tem a mesma magnitude mas diferem uma da outra pelo sentido elas têm sentido oposto uma da outra Unidades de massa No SI a unidade de massa é o quilograma kg Esta é a massa de um cilindro de platina iridiada mantido no Bureau Internacional de Pesos e Medidas Paris e em 20 de maio de 2019 foi definido em termos de constantes físicas fundamentais constante de Planck h Força resultante em coordenadas cartesianas Componentes das forças 𝐹 𝐹𝑥𝑖 𝐹𝑦𝑗 𝐹𝑧𝑘 𝐹 𝐹 𝐹𝑥 2 𝐹𝑦 2 𝐹𝑧 2 ângulos diretores A resultante deverá ser determinada pela soma das componentes cartesianas das diversas forças em presença Considere 𝐹1 𝐹1𝑥𝑖 𝐹1𝑦𝑗 𝐹1𝑧𝑘 𝐹2 𝐹2𝑥𝑖 𝐹2𝑦𝑗 𝐹2𝑧𝑘 e 𝐹3 𝐹3𝑥𝑖 𝐹3𝑦𝑗 𝐹3𝑧𝑘 A resultante será 𝐹𝑅 𝛴𝐹𝑥𝑖 𝛴𝐹𝑦𝑗 𝛴𝐹𝑧𝑘 𝐹𝑅 𝐹𝑅𝑥𝑖 𝐹𝑅𝑦𝑗 𝐹𝑅𝑧𝑘 𝐹𝑅 𝐹𝑅 𝐹𝑅𝑥 2 𝐹𝑅𝑦 2 𝐹𝑅𝑧 2 EX Sobre uma partícula com massa de 200 gramas atuam duas forças unidades SI 𝐹1 2𝑡𝑖 4𝑗 e 𝐹2 2𝑖 𝑗 em que t é o tempo A partícula parte do repouso em t 0 na posição 𝑟 𝑖 𝑗 𝑘 Calcule a posição da partícula em t 3s Sol A força resultante é a soma das duas forças 𝐹𝑅 2𝑡 1𝑖 5𝑗 dividindo pela massa 02 kg obtémse a aceleração vetorial 𝑎 10𝑡 1𝑖 25𝑗 integrando 𝑑 𝑣 𝑎 𝑑𝑡 𝑑 𝑣 0 𝑣 10𝑡 1𝑖 25𝑗 𝑡 0 𝑑𝑡 𝑣 5𝑡2 10𝑡 𝑖 25 𝑡 𝑗 Integrando novamente 𝑑𝑟 𝑟 𝑟0 𝑣 𝑑𝑡 𝑡 𝑡0 𝑑𝑟 𝑟 𝑖𝑗𝑘 5𝑡2 10𝑡 𝑖 25 𝑡 𝑗 𝑑𝑡 𝑡 𝑡0 Para t3s 𝑟 𝑖 1135 𝑗 𝑘 Componentes normal e tangencial da força A aceleração de um objeto tem em geral uma componente tangencial e uma componente normal 𝑎 𝑎𝑡𝑢𝑡 𝑎𝑛𝑢𝑛 A força resultante sobre o objeto pode também ser escrita como a soma das suas projeções nas direções tangencial e normal pois 𝐹𝑅 𝑚𝑎 𝑣 𝑑𝑚 𝑑𝑡 𝐹𝑅 𝑚 𝑎𝑡𝑢𝑡 𝑎𝑛𝑢𝑛 𝑣 𝑢𝑡 𝑑𝑚 𝑑𝑡 𝐹𝑅 𝑚 𝑎𝑡𝑢𝑡 𝑚𝑎𝑛𝑢𝑛 𝑣 𝑢𝑡 𝑑𝑚 𝑑𝑡 𝐹𝑅 𝑚 𝑎𝑡𝑢𝑡 𝑣 𝑑𝑚 𝑑𝑡 𝑢𝑡 𝑚𝑎𝑛𝑢𝑛 𝐹𝑅 𝐹𝑡𝑢𝑡 𝐹𝑁𝑢𝑁 Se a força resultante sobre uma partícula com velocidade 𝑣 for 𝐹𝑅 a componente 𝐹𝑡 na direção paralela a 𝑣 faz aumentar ou diminuir a velocidade conforme estiver no mesmo sentido ou no sentido oposto de 𝑣 A componente 𝐹𝑁 perpendicular a 𝑣 faz curvar a trajetória da partícula no sentido dessa componente Ex Um pêndulo simples formado por uma esfera de 50 gramas pendurada de um fio de 25 cm oscila pela ação da gravidade No instante representado na figura em que o fio faz um ângulo de 30 com a vertical a esfera sobe e o valor da sua velocidade é 1 ms Encontre o módulo da força de tensão no fio nesse instante e a aceleração tangencial da esfera Resolução Convém fazer um diagrama de corpo livre da esfera isto é um diagrama indicando unicamente as forças externas que atuam sobre o objeto Neste caso ignorando a resistência do ar só há duas causas possíveis para essas forças o fio e a atração da gravidade Assim sendo as únicas forças externas sobre a esfera são a tração 𝑇 do fio que atua na direção do fio e o peso m𝑔 na direção vertical e sentido para baixo A figura mostra as forças e os ângulos conhecidos Uma vez identificadas as forças escolhese um sistema de eixos para calcular as componentes das forças Neste caso como o movimento é circular e é conveniente usar os eixos tangencial e normal representados pelas leras t e n no diagrama de corpo livre O eixo normal aponta na direção do centro de curvatura da trajetória que neste caso é a mesma direção do fio O eixo tangencial é tangente à trajetória circular e portanto o vetor velocidade é perpendicular ao fio Como a esfera está subindo o vetor velocidade tem o sentido do eixo t no diagrama A tensão do fio tem unicamente componente normal e não tangencial A componente tangencial do peso é 𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛30 0245𝑁 e a componente normal é 𝑚 𝑔 𝑐𝑜𝑠30 04244𝑁 Assim as componentes tangencial e normal da força resultante são 𝐹𝑡 0245𝑁 e 𝐹𝑁 𝑇 04244𝑁 A aceleração tangencial é até agora desconhecida mas a aceleração normal pode ser calculada com os dados conhecidos 𝑎𝑁 𝑣2 𝑟 12 025 4 Igualando as componentes tangencial e normal a 𝑚𝑎𝑡 e 𝑚𝑎𝑁 obtémse o seguinte sistema de equações 0245 𝑇 00245𝑎𝑡 𝑇 04244𝑁 005 4 e a solução do sistema é a 𝑎𝑡 49 𝑚𝑠2 𝑇 0642𝑁 O sinal negativo da aceleração tangencial indica que a velocidade está a diminuindo Bibliografia básica BEER F P Mecânica vetorial para engenheiros estática Porto Alegre McGrawHill 2012 httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788580550481 HIBBELER R C Mecânica para engenharia Dinâmica 12 ed São Paulo Pearson 20112012 httpumcbv3digitalpagescombruserspublications9788576058144 MERIAM J L KRAIGE L G Mecânica para engenharia 7 ed Rio de Janeiro LTC 2015 v 1 Estática httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788521630401 Bibliografia Complementar BEER Ferdinand Pierre JOHNSTON JR E Russel CORNWELL Phillip J Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 9 ed Porto Alegre McGrawHill 2012 httpintegradaminhabibliotecacombrbooks9788580551440 HIBBELER R C Mecânica para engenharia Estática 12 ed São Paulo Pearson 2011 httpumcbv3digitalpagescombruserspublications9788576058151 MERIAM J L KRAIGE L G Mecânica para engenharia 7 ed Rio de Janeiro LTC 2015 v 2 Dinâmica httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788521630425 SHAMES I H Estática mecânica para engenharia São Paulo Pearson 2002 httpumcbv3digitalpagescombruserspublications9788587918130 OLIVEIRA J U Cinelli de Introdução aos Princípios de Mecânica Clássica LTC 102012 httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788521621843