Cinemática Vetorial: Movimento no Plano e Análise de Velocidade e Aceleração

Nome da disciplina Mecânica Geral Especial Professor Juscelino Data 29032023 Assunto da aula Cinemática Vetorial email institucional nagaiumcbr Cel opcional xxxxxxxxxxxxxx Caso tenha dúvida entrar em contato pelo MS TEAMS Movimento no Plano Componentes normal e tangencial Quando a trajetória ao longo da qual uma partícula se move é conhecida costuma ser conveniente descrever o movimento utilizandose eixos de coordenadas 𝑢 𝑛 e 𝑢 𝑡 os quais atuam normal e tangente à trajetória respectivamente e no instante considerado tem sua origem localizada na partícula Considere a partícula mostrada na Figura acima que se move em um plano ao longo de uma curva fixa tal que em dado instante ela está na posição s medida a partir do ponto O A única escolha para o eixo normal pode ser feita observandose que geometricamente a curva é construída a partir de uma série de segmentos do arco diferenciais ds O plano que contém os eixos n e t é referido como o plano osculador e nesse caso ele é fixo no plano do movimento Velocidade A velocidade da partícula v tem uma direção que é sempre tangente à trajetória 𝑣 𝑣 𝑢 𝑡 Aceleração A aceleração da partícula é a taxa de variação temporal da velocidade Assim 𝑎 𝑑𝑣𝑢 𝑡 𝑑𝑡 𝑎 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑢 𝑡 𝑣 𝑑𝑢 𝑡 𝑑𝑡 Observese que a derivada do vetor tangencial não é nula porque esse vetor não é necessariamente igual em diferentes instantes A figura abaixo mostra como calcular a derivada de 𝑢 𝑡 Deslocando os dois vetores unitários tangenciais 𝑢 𝑡 e 𝑢 𝑡 para um ponto comum o aumento de 𝑢 𝑡 no intervalo dt é o vetor 𝑑𝑢 𝑡 que une os dois vetores Sendo o módulo de 𝑢 𝑡 igual a 1 os dois vetores unitários 𝑢 𝑡 𝑒 𝑢 𝑡 descrevem um arco de círculo com raio 1 e ângulo dθ Se o ângulo for medido em radianos o comprimento desse arco será igual a dθ Se o intervalo de tempo dt for aproximadamente zero os dois pontos considerados A e B estarão muito próximos na trajetória o vetor 𝑑𝑢 𝑡 será perpendicular à trajetória e o seu módulo será aproximadamente igual ao arco de círculo dθ concluise que a derivada de 𝑑𝑢 𝑡 é 𝑑𝑢𝑡 𝑢 𝑡𝑑𝜃 𝑑𝑢 𝑡 𝑑𝜃 𝑢 𝑛 A aceleração será 𝑎 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑢 𝑡 𝑣 𝑑𝜃 𝑢 𝑛 𝑑𝑡 em que 𝑢 𝑛 é o vetor unitários normal perpendicular à trajetória e dθdt é a velocidade angular Em cada ponto da trajetória existem um centro e um raio de curvatura Cada percurso infinitesimal de comprimento dS pode ser aproximado por um arco de circunferência de raio r e ângulo dθ a distância percorrida é o comprimento desse arco dS r d θ Assim sendo concluise que o valor da velocidade angular é 𝑑𝑆 𝑟𝑑𝜃 𝑎 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑢 𝑡 𝑣 𝑟 𝑑𝑆 𝑑𝑡 𝑢 𝑛 𝑎 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑢 𝑡 𝑣 𝑟 𝑣 𝑢 𝑛 𝑎 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑢 𝑡 𝑣2 𝑟 𝑢 𝑛 𝑎 𝑎𝑡𝑢 𝑡 𝑎𝑛𝑢 𝑛 A aceleração é um vetor com componentes tangente e normal perpendicular à trajetória A componente na direção tangente será dada por 𝑎𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑡 A componente normal da aceleração é igual ao produto do valor da velocidade v pelo valor da velocidade angular vr assim 𝑎𝑛 𝑣2 𝑟 Tendo em conta que os vetores unitários 𝑢 𝑡 e 𝑢 𝑛 são perpendiculares em todos os pontos da trajetória implica que o módulo da aceleração é o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo em que os catetos são as componentes tangencial e normal da aceleração o teorema de Pitágoras para esse triângulo é então 𝑎 𝑎𝑡2 𝑎𝑛2 Se a trajetória é expressa como y f x o raio da curvatura r em qualquer ponto sobre a trajetória é determinado pela equação 𝑟 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 3 2 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 Exemplo 1 Um motorista está percorrendo uma seção curva de rodovia a 96 kmh Ele então aciona os freios impondo ao carro uma taxa de desaceleração constante Sabendo que após 8 s a velocidade escalar for reduzida para 72 kmh determine a aceleração do automóvel imediatamente após os freios terem sido acionados Resp Calculamos os componentes tangencial e normal da aceleração Determinamos a intensidade e a direção da aceleração 96 kmh 2667 ms 72 kmh 20 ms Calculamos os componentes tangencial e normal da aceleração 𝑎𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑡 20 2667 8 08 𝑚𝑠² 𝑎𝑛 𝑣2 𝑟 2667² 750 095 𝑚𝑠² Determinamos a intensidade e a direção da aceleração 𝑎 𝑎𝑡2 𝑎𝑛2 0832 0952 𝑎 126 𝑚𝑠² tan 𝛼 𝑎𝑛 𝑎𝑡 095 083 𝛼 𝑡𝑎𝑛1 095 083 𝛼 489 2 O avião a jato deslocase na trajetória parabólica mostrada na figura Quando ele passa pelo ponto sua velocidade é de 200 ms e está crescendo a uma taxa de 08 ms² Determine o módulo da aceleração do jato no ponto A Resp 𝑎 𝑎𝑡2 𝑎𝑛2 𝑎𝑛 𝑣2 𝑟 e 𝑟 1𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 3 2 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑04 𝑥2 𝑑𝑥 08 𝑥 𝑒𝑚 𝑥 5 𝑚 𝑑𝑦 𝑑𝑥 08 5 4 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑑 08𝑥 𝑑𝑥 08 𝑟 1 042 3 2 08 𝑟 87616 𝑘𝑚 87616 𝑚 Aceleração 𝑎𝑡 08 𝑚𝑠² 𝑎𝑛 𝑣2 𝑟 200² 87616 04565 𝑚𝑠² 𝑎 𝑎𝑡2 𝑎𝑛2 082 045652 𝑎 092 𝑚𝑠² Bibliografia básica BEER F P Mecânica vetorial para engenheiros estática Porto Alegre McGrawHill 2012 httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788580550481 HIBBELER R C Mecânica para engenharia Dinâmica 12 ed São Paulo Pearson 20112012 httpumcbv3digitalpagescombruserspublications9788576058144 MERIAM J L KRAIGE L G Mecânica para engenharia 7 ed Rio de Janeiro LTC 2015 v 1 Estática httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788521630401 Bibliografia Complementar BEER Ferdinand Pierre JOHNSTON JR E Russel CORNWELL Phillip J Mecânica vetorial para 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