Trabalho da Força Gravitacional Próximo à Superfície da Terra

Nome da disciplina Mecânica Geral Especial Professor Juscelino Data 24062026 Assunto da aula Trabalho e Energia email institucional nagaiumcbr Cel opcional xxxxxxxxxxxxxx Caso tenha dúvida entrar em contato pelo MS TEAMS Trabalho da força gravitacional próximo à superfície da Terra Próximo à superfície da Terra a força gravitacional ou força peso sobre um corpo de massa m é dada por Fg m g onde g é a aceleração da gravidade produzido pela Terra Próximo à sua superfície g possui valor constante aproximado de 981 ms² Ao soltarmos qualquer objeto e desprezar a resistência do ar ela cairá com aceleração de módulo igual a g Vamos calcular o trabalho da força gravitacional sobre o corpo descendo uma rampa e mostrar explicitamente que ele não depende do comprimento da rampa mas somente da altura h da posição inicial A em relação à posição final B conforme mostra a figura A força gravitacional Fg e o vetor deslocamento S formam um ângulo A componente de Fg na direção do deslocamento é mg cos Como m g cos é constante ao longo da rampa podemos usar a equação do trabalho para uma força constante Por outro lado a rampa forma a hipotenusa de um triângulo retângulo que tem a altura h como sendo um dos seus catetos Como h é cateto adjacente em relação ao ângulo temos que Substituindo cos na equação do trabalho obtemos onde o segundo termo é zero porque a força gravitacional é perpendicular ao deslocamento horizontal Logo conforme esperado para uma força conservativa Podemos generalizar o resultado para qualquer caminho de A para B como o caminho ondulado acima da rampa Para isto basta dividirmos a trajetória em pequenos trechos verticais e horizontais Os trechos horizontais dão trabalho nulo e a soma dos trechos verticais será 𝑊𝐴𝐵 𝑚 𝑔 ℎ Não é difícil mostrar que o trabalho de subida de B até A é WBA mgh de forma que o trabalho do trajeto fechado descida subida é zero como deveria ser Energia Potencial Anteriormente discutimos o que são forças conservativas Por outro lado devemos lembrar que o trabalho é a transferência de energia realizada por uma força ou conjunto de forças que agem num corpo Quando se tem o trabalho de uma força resultante mostramos o teorema do trabalhoenergia cinética A pergunta natural que se faz é para onde vai a energia quando o trabalho é negativo corpo perde energia Similarmente de onde vem a energia quando o trabalho é positivo corpo ganha energia A figura mostra a oscilação de um pêndulo simples Embora exista a força de tração do fio caso contrário estaria em queda livre podemos concentrar na força gravitacional força peso agindo sobre a massa pendurada pelo fio Claramente a energia cinética da massa varia com a posição do pêndulo Por outro lado já vimos que o trabalho da força gravitacional transfere energia para a massa na descida e retira energia na subida Afinal de onde vem e para onde vai essa energia transferida Como resposta a energia transferida pelo trabalho é armazenada no sistema no caso do pêndulo o sistema é formado pelo pêndulo em si e a Terra responsável por gerar a força gravitacional Esta energia é chamada de energia potencial A sua variação energia potencial final menos a inicial é definida como sendo Como U só depende das posições inicial e final é importante enfatizar que a energia potencial só é definida em termos do trabalho de forças conservativas A força de atrito por exemplo é uma força nãoconservativa Logo não faz sentido algum definir uma energia potencial de atrito Temos assim que por definição A variação da energia potencial é o negativo do trabalho realizado por uma força conservativa No caso unidimensional com força variável temos onde xi é a posição inicial do corpo quando a energia potencial do sistema é Ui e xf a posição final quando a energia potencial é Uf ou seja Em princípio existe uma função matemática UUx mas somente a sua variação tem significado físico Logo podemos definir a energia potencial a menos de um valor numérico constante Na prática isso quer dizer que podemos escolher U 0 para algum valor de referência de x de acordo com a nossa conveniência Energia potencial gravitacional próxima à superfície da Terra No assunto anterior sobre o Trabalho de Forças Conservativas mostramos que o trabalho da força gravitacional de A até B é Fazendo a posição A como sendo a inicial e B a final e tomando um eixo vertical y positivo para cima a energia potencial gravitacional é dada por Vamos tomar como a origem da coordenada y0 yf a base do triângulo onde se encontram os pontos B e B Se assumirmos que nesse ponto a energia potencial é zero Uf 0 temos que para uma altura yi y a energia potencial gravitacional será Energia Mecânica e a Sua Conservação Discutimos até aqui duas formas de energia a energia cinética que está associada a um corpo em movimento e a energia potencial que é uma energia armazenada por um sistema Por sistema entendemos como sendo o universo físico constituído por um ou mais corpos móveis sob ação de uma ou mais forças conservativas Caso o sistema esteja isolado podemos juntar dois resultados encontrados até aqui a saber Pelo teorema trabalhoenergia cinética o trabalho de uma força resultante é igual a variação da energia cinética do corpo Caso uma força conservativa haja num corpo a energia potencial do sistema é dada por Caso uma força conservativa seja também a força resultante podemos igualar as duas expressões acima obtemos A equação mostra que a grandeza KU calculada no final do processo subíndice f é igual a do início subíndice i ou seja ela é conservada Definimos a soma KU E como sendo a energia do sistema Temos que A energia do sistema que é a soma das energias cinética e potencial se conserva em um sistema fechado onde só atuam forças conservativas É muito comum chamarmos a energia do sistema como a energia mecânica do sistema Esta nomenclatura traz confusão quando U é a energia potencial eletrostática ou outra forma de energia que não a gravitacional e a elástica Forças não conservativas O que ocorre com a energia do sistema quando há forças nãoconservativas Por exemplo a experiência do cotidiano mostra que se dermos um empurrão num bloco sobre uma superfície horizontal ele desliza mas eventualmente entra em repouso por mais que a superfície seja bem lisa Neste sistema conforme já discutido a força responsável para frear o bloco é a força de atrito que mostramos que é uma força nãoconservativa Neste exemplo observamos que Ki Ui Kf Uf Temos que Ui Uf 0 não há nenhuma força conservativa relevante ao movimento mas como o bloco para Kf 0 diferente de Ki Mesmo assim podemos escrever alguma equação de conservação ou não de energia A resposta é sim baseada na lei da conservação a energia total uma lei fundamental da Física que afirma que a soma de todas as formas de energia se conserva num determinado processo Até o presente momento não há um único fenômeno sequer que viola esta lei da Física Devemos concluir portanto que além da energia cinética e da energia potencial há outros tipos de energia Numa situação geral quando forças conservativas e nãoconservativas atuam no sistema o trabalho resultante é dado por onde Wcons é a soma dos trabalhos realizados por forças conservativas e Wncons é a soma dos trabalhos realizados por forças nãoconservativas Temos que O trabalho da força resultante é a variação da energia cinética A variação da energia potencial é menos o trabalho das forças conservativas Portanto Logo A energia dissipada representada por Wncons entra com sinal negativo lembrese que obtivemos trabalho negativo para a força de atrito de forma que Ef Ei Mas para onde vai a energia dissipada No caso do atrito Wncons contabiliza a energia retirada do sistema dissipada num processo em que a energia do sistema se transforma em calor Exemplos 1 Um colar de 90 N desliza sem atrito ao longo de uma haste vertical como mostrado A mola unida ao colar tem um comprimento indeformado de 10 cm e uma constante de 540 Nm Se o colar é solto do repouso na posição 1 determine a sua velocidade depois de ter movido 15 cm para a posição 2 Solução Aplicar o princípio da conservação de energia entre as posições 1 e 2 Posição 1 𝑥1 20 𝑐𝑚 10 𝑐𝑚 01 𝑚 𝑈𝑒𝑙𝑎𝑠 1 2 𝑘 𝑥2 1 2 540 012 27 𝐽 𝑈𝑔 0 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑈1 𝑈𝑔 𝑈𝑒𝑙𝑎𝑠 27 𝐽 𝐾1 0 Posição 2 𝑥1 25𝑐𝑚 10 𝑐𝑚 015 𝑚 𝑈𝑒𝑙𝑎𝑠 1 2 𝑘 𝑥2 1 2 540 0152 61 𝐽 𝑈𝑔 𝑚𝑔ℎ 90 015 135 𝐽 𝑈2 𝑈𝑔 𝑈𝑒𝑙𝑎𝑠 61 135 74 𝐽 𝑈2 1 2 𝑚 𝑣2 1 2 90 981 𝑣2 2 459 𝑣2 2 Conservação de energia 𝐾1 𝑈1 𝑈2 𝐾2 𝑈2 0 27 459 𝑣2 2 74 𝑣2 148 𝑚𝑠 2 O bloco de 225 N é empurrado contra a mola e liberado do repouso em A Desprezando atrito determine a menor compressão da mola para que o bloco dê a volta em torno da trajetória ABCDE e permaneça o tempo todo em contato com ele SOLUÇÃO Definindo a força normal exercida pelo loop como zero em D para resolver a velocidade mínima temos 𝑃 𝐹𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑝𝑒𝑡𝑎 𝑚 𝑔 𝑚 𝑣𝐷 2 𝑅 𝑣𝐷 𝑟 𝑔 06 981 243 𝑚𝑠 Aplicar o princípio da conservação de energia entre os pontos A ponto 1 e D ponto 2 𝑈1 𝑈𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑈𝑔 1 2𝑘 𝑥2 0 1 2 540 𝑥2 270 𝑥2 𝐾1 0 𝑈2 𝑈𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑈𝑔 0 225 12 𝑈2 27 𝐽 𝐾2 1 2 𝑚 𝑣𝐷 2 1 2 225 981 589 0675 𝐽 𝐾1 𝑈1 𝐾2 𝑈2 0 270 𝑥2 0675 27 𝑥 011 𝑚 Bibliografia básica BEER F P Mecânica vetorial para engenheiros estática Porto Alegre McGrawHill 2012 httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788580550481 HIBBELER R C Mecânica para engenharia Dinâmica 12 ed São Paulo Pearson 20112012 httpumcbv3digitalpagescombruserspublications9788576058144 MERIAM J L KRAIGE L G Mecânica para engenharia 7 ed Rio de Janeiro LTC 2015 v 1 Estática httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788521630401 Bibliografia Complementar BEER Ferdinand Pierre JOHNSTON JR E Russel CORNWELL Phillip J Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 9 ed Porto Alegre McGrawHill 2012 httpintegradaminhabibliotecacombrbooks9788580551440 HIBBELER R C Mecânica para engenharia Estática 12 ed São Paulo Pearson 2011 httpumcbv3digitalpagescombruserspublications9788576058151 MERIAM J L KRAIGE L G Mecânica para engenharia 7 ed Rio de Janeiro LTC 2015 v 2 Dinâmica httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788521630425 SHAMES I H Estática mecânica para engenharia São Paulo Pearson 2002 httpumcbv3digitalpagescombruserspublications9788587918130 OLIVEIRA J U Cinelli de Introdução aos Princípios de Mecânica Clássica LTC 102012 httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788521621843