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Engenharia Mecânica ·
Mecânica Geral 2
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Nome da disciplina Mecânica Geral Especial Professor Juscelino Data 03052023 Assunto da aula Dinâmica Vetorial email institucional nagaiumcbr Cel opcional xxxxxxxxxxxxxx Caso tenha dúvida entrar em contato pelo MS TEAMS Força e Movimento Exemplos resolvidos 1 O vetor posição de uma partícula é dado por rt 06t2 i 3t j 01t3 k tudo no SI Determine as componentes normal e tangencial da aceleração e o raio principal de curvatura da trajetória da partícula quando t 3s 𝑣 𝑑𝑟 𝑑𝑡 12𝑡𝑖 3𝑗 03𝑡2𝑘 𝑣 36𝑖 3𝑗 27𝑘 𝑎 𝑑𝑣 𝑑𝑡 12𝑖 0𝑗 06𝑡𝑘 𝑎 12𝑖 0𝑗 18𝑘 𝑣 362 32 272 5408𝑚𝑠 𝑎𝑡 𝑣 𝑎 𝑣 𝑎𝑡 36𝑖 3𝑗 27𝑘 12𝑖 0𝑗 18𝑘 11132 𝑎𝑡 432 486 5408 1697 m𝑠2 𝑎𝑁 𝑣 𝑎 𝑣 𝑣 𝑎 𝑖 𝑗 𝑘 36 3 27 12 0 18 54𝑖 324𝑗 36𝑘 𝑎𝑁 54𝑖 324𝑗 36𝑘 5408 1341𝑚𝑠2 2 Um pêndulo simples formado por uma esfera de 50 gramas pendurada de um fio de 25 cm oscila pela ação da gravidade No instante representado na figura em que o fio faz um ângulo de 30 com a vertical a esfera sobe e o valor da sua velocidade é 1 ms Encontre o módulo da força de tensão no fio nesse instante e a aceleração tangencial da esfera 𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛30 0245𝑁 𝑚 𝑔 𝑐𝑜𝑠30 04244𝑁 𝐹𝑡 0245𝑁 𝐹𝑁 𝑇 04244𝑁 𝑎𝑁 𝑣2 𝑟 12 025 4 0245 𝑇 00245𝑎𝑡 𝑇 04244𝑁 005 4 𝑎𝑡 49 𝑚 𝑠2 𝑇 0642𝑁 3 A motocicleta da figura tem massa total de 300kg e movese a 9 ms quando passa pelo A Se a velocidade é constante determine em x 3 m a A força normal sobre a motocicleta b A força tangencial c componente x e y da força normal d Componente x e y da força tangencial e o módulo a direção e o sentido da força que age sobre a motocicleta 𝑣 𝑣 𝑢𝑡 𝑣 9𝑚𝑠 𝑢𝑡 𝑎𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑡 0 𝑎𝑛 𝑣2 𝑟 𝑟 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 3 2 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 2 2 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 1 𝑟 1 22 3 2 2 5590𝑚 𝑎𝑛 92 559 1449𝑚𝑠2 𝐹𝑁 3001449 𝐹𝑁 4347 𝑘𝑁 𝐹𝑡 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 𝜃 𝑎𝑟𝑐 tg2 𝜃 63435 𝛼 90 63435 𝑎𝑁 3888𝑘𝑁𝑖 193𝑘𝑁𝑗 4 Três cilindros A B e C foram pendurados no sistema de duas roldanas que mostra a figura Num instante a velocidade do bloco A é vA 3 ms para cima e a sua aceleração é aA 2 ms² para baixo no mesmo instante a velocidade e aceleração do bloco C são vC 1 ms para baixo aC 4 ms² para cima Determine a velocidade e aceleração do bloco B no mesmo instante indicando se são para cima ou para baixo Definemse 4 variáveis yA yB yC e yR para medir as posições dos cilindros e da roldana móvel em relação a referencial fixo por exemplo o teto como mostra a figura abaixo Como o cilindro A e a roldana móvel estão ligados por um fio então yA yR constante I e os cilindros B e C com outro fio que passa pela roldana móvel implica yB yR yC yR constante II Derivando essas duas equações I e II em relação ao tempo obtêmse as relações para as velocidades Como as distâncias y aumentam quando os objetos descem então as velocidades para baixo são positivas e para cima são negativas Assim sendo as velocidades dadas no enunciado são vA 3 e vC 1 e da equação acima obtemos vB 5 ou seja a velocidade do cilindro B é 5 ms para baixo Derivando novamente a relação entre as velocidades obtémse a relação entre as acelerações aB 2aA aC Substituindo os valores dados aA 2 e aC 4 obtémse a B 0 ou seja a aceleração do cilindro B é nula 5 Para medir o coeficiente de atrito estático entre um bloco e um disco fezse rodar o disco com uma aceleração angular α 5 rads² constante O disco parte do repouso em t 0 e no instante t 082 s o bloco começa a derrapar sobre o disco Determine o valor do coeficiente de atrito estático A figura mostra o diagrama de corpo livre do bloco onde Rn é a reação normal e Fa a força de atrito estático Como não há movimento vertical a reação normal é igual ao peso e a força de atrito é a força resultante Fa m a Enquanto o bloco acompanha o movimento do disco a sua aceleração a é a mesma aceleração do movimento circular do disco ou seja No instante em que o bloco começa a derrapar a força de atrito estático é máxima e Para encontrar a velocidade angular no instante em que o bloco começa a derrapar integrase a equação que relaciona a aceleração angular com a velocidade angular e o tempo α dωdt Usando o método de separação de variáveis E substituindo na expressão para o coeficiente de atrito Bibliografia básica BEER F P Mecânica vetorial para engenheiros estática Porto Alegre McGrawHill 2012 httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788580550481 HIBBELER R C Mecânica para engenharia Dinâmica 12 ed São Paulo Pearson 20112012 httpumcbv3digitalpagescombruserspublications9788576058144 MERIAM J L KRAIGE L G Mecânica para engenharia 7 ed Rio de Janeiro LTC 2015 v 1 Estática httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788521630401 Bibliografia Complementar BEER Ferdinand Pierre JOHNSTON JR E Russel CORNWELL Phillip J Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 9 ed Porto Alegre McGrawHill 2012 httpintegradaminhabibliotecacombrbooks9788580551440 HIBBELER R C Mecânica para engenharia Estática 12 ed São Paulo Pearson 2011 httpumcbv3digitalpagescombruserspublications9788576058151 MERIAM J L KRAIGE L G Mecânica para engenharia 7 ed Rio de Janeiro LTC 2015 v 2 Dinâmica httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788521630425 SHAMES I H Estática mecânica para engenharia São Paulo Pearson 2002 httpumcbv3digitalpagescombruserspublications9788587918130 OLIVEIRA J U Cinelli de Introdução aos Princípios de Mecânica Clássica LTC 102012 httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788521621843
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instante e a aceleração tangencial da esfera 𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛30 0245𝑁 𝑚 𝑔 𝑐𝑜𝑠30 04244𝑁 𝐹𝑡 0245𝑁 𝐹𝑁 𝑇 04244𝑁 𝑎𝑁 𝑣2 𝑟 12 025 4 0245 𝑇 00245𝑎𝑡 𝑇 04244𝑁 005 4 𝑎𝑡 49 𝑚 𝑠2 𝑇 0642𝑁 3 A motocicleta da figura tem massa total de 300kg e movese a 9 ms quando passa pelo A Se a velocidade é constante determine em x 3 m a A força normal sobre a motocicleta b A força tangencial c componente x e y da força normal d Componente x e y da força tangencial e o módulo a direção e o sentido da força que age sobre a motocicleta 𝑣 𝑣 𝑢𝑡 𝑣 9𝑚𝑠 𝑢𝑡 𝑎𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑡 0 𝑎𝑛 𝑣2 𝑟 𝑟 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 3 2 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 2 2 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 1 𝑟 1 22 3 2 2 5590𝑚 𝑎𝑛 92 559 1449𝑚𝑠2 𝐹𝑁 3001449 𝐹𝑁 4347 𝑘𝑁 𝐹𝑡 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 𝜃 𝑎𝑟𝑐 tg2 𝜃 63435 𝛼 90 63435 𝑎𝑁 3888𝑘𝑁𝑖 193𝑘𝑁𝑗 4 Três cilindros A B e C foram pendurados no sistema de duas roldanas que mostra a figura Num instante a velocidade do bloco A é vA 3 ms para cima e a sua aceleração é aA 2 ms² para baixo no mesmo instante a velocidade e aceleração do bloco C são vC 1 ms para baixo aC 4 ms² para cima Determine a velocidade e aceleração do bloco B no mesmo instante indicando se são para cima ou para baixo Definemse 4 variáveis yA yB yC e yR para medir as posições dos cilindros e da roldana móvel em relação a referencial fixo por exemplo o teto como mostra a figura abaixo Como o cilindro A e a roldana móvel estão ligados por um fio então yA yR constante I e os cilindros B e C com outro fio que passa pela roldana móvel implica yB yR yC yR constante II Derivando essas duas equações I e II em relação ao tempo obtêmse as relações para as velocidades Como as distâncias y aumentam quando os objetos descem então as velocidades para baixo são positivas e para cima são negativas Assim sendo as velocidades dadas no enunciado são vA 3 e vC 1 e da equação acima obtemos vB 5 ou seja a velocidade do cilindro B é 5 ms para baixo Derivando novamente a relação entre as velocidades obtémse a relação entre as acelerações aB 2aA aC Substituindo os valores dados aA 2 e aC 4 obtémse a B 0 ou seja a aceleração do cilindro B é nula 5 Para medir o coeficiente de atrito estático entre um bloco e um disco fezse rodar o disco com uma aceleração angular α 5 rads² constante O disco parte do repouso em t 0 e no instante t 082 s o bloco começa a derrapar sobre o disco Determine o valor do coeficiente de atrito estático A figura mostra o diagrama de corpo livre do bloco onde Rn é a reação normal e Fa a força de atrito estático Como não há movimento vertical a reação normal é igual ao peso e a força de atrito é a força resultante Fa m a Enquanto o bloco acompanha o movimento do disco a sua aceleração a é a mesma aceleração do movimento circular do disco ou seja No instante em que o bloco começa a derrapar a força de atrito estático é máxima e Para encontrar a velocidade angular no instante em que o bloco começa a derrapar integrase a equação que relaciona a aceleração angular com a velocidade angular e o tempo α dωdt Usando o método de separação de variáveis E substituindo na expressão para o coeficiente de atrito Bibliografia básica BEER F P Mecânica vetorial para engenheiros estática Porto Alegre McGrawHill 2012 httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788580550481 HIBBELER R C Mecânica para engenharia Dinâmica 12 ed São Paulo Pearson 20112012 httpumcbv3digitalpagescombruserspublications9788576058144 MERIAM J L KRAIGE L G Mecânica para engenharia 7 ed Rio de Janeiro LTC 2015 v 1 Estática httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788521630401 Bibliografia Complementar BEER Ferdinand Pierre JOHNSTON JR E Russel CORNWELL Phillip J Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 9 ed Porto Alegre McGrawHill 2012 httpintegradaminhabibliotecacombrbooks9788580551440 HIBBELER R C Mecânica para engenharia Estática 12 ed São Paulo Pearson 2011 httpumcbv3digitalpagescombruserspublications9788576058151 MERIAM J L KRAIGE L G Mecânica para engenharia 7 ed Rio de Janeiro LTC 2015 v 2 Dinâmica httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788521630425 SHAMES I H Estática mecânica para engenharia São Paulo Pearson 2002 httpumcbv3digitalpagescombruserspublications9788587918130 OLIVEIRA J U Cinelli de Introdução aos Princípios de Mecânica Clássica LTC 102012 httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788521621843