Trabalho e Energia: Conceitos e Cálculos

Nome da disciplina Mecânica Geral Especial Professor Juscelino Data 17052023 Assunto da aula Trabalho e Energia email institucional nagaiumcbr Cel opcional xxxxxxxxxxxxxx Caso tenha dúvida entrar em contato pelo MS TEAMS Trabalho e energia O computador que você usa ou o seu telefone precisam de energia para funcionar Você precisa de energia para se manter vivo São diferentes tipos de energia a energia elétrica que alimenta o seu telefone ou a energia bioquímica que lhe alimenta O que elas têm em comum e que ambas podem ser obtidas a partir de ou transformadas em movimento É através do movimento que transformamos outros tipos de energia em energia elétrica É através do movimento que usamos a energia acumulada em nosso corpo a partir dos alimentos Nesta unidade iremos estudar em detalhe um tipo de energia que tem um papel muito importante na nossa vida a energia do movimento ou energia cinética Energia cinética A energia cinética K é a energia associada ao estado de movimento de um objeto Quanto mais depressa o objeto se move maior é a energia cinética Quando um objeto est a em repouso a energia cinética é nula Para um objeto de massa m cuja velocidade é v 𝐾 𝑚 𝑣2 2 A unidade de energia cinética ou qualquer outra forma de energia no SI é o joule J definida em termos das unidades de massa e velocidade 1 J 1 kg m²s² Supondo que a moça da figura esteja correndo com uma velocidade de 10 kmh 28 ms e tenha massa de 50 kg sua energia cinética é 𝐾 50 282 2 200 𝐽 Trabalho Quando você aplica uma força e aumenta a velocidade de um objeto a energia cinética K mv²2 do objeto aumenta Quando você aplica uma força e diminui a velocidade de um objeto a energia cinética do objeto diminui Trabalho W é a energia transferida para um objeto ou de um objeto através de uma força que age sobre o objeto Quando a energia é transferida para o objeto o trabalho é positivo quando a energia é transferida do objeto o trabalho é negativo Trabalho portanto é a energia transferida realizar trabalho é o ato de transferir energia O trabalho tem a mesma unidade que a energia joule J é e uma grandeza escalar Para encontrar uma expressão para calcular o trabalho considere um objeto de massa m que se desloca ao longo da direção horizontal sem atrito por exemplo uma bola de boliche deslizando sobre uma pista extremamente lisa Se uma força constante age sobre a bola podemos relacionar a força à aceleração através da segunda lei de Newton na direção horizontal ou x 𝐹𝑥 𝑚 𝑎𝑥 Quando a bola sofre um deslocamento 𝑑 a força muda a velocidade da bola desde um valor inicial 𝑣𝑜 até um valor final 𝑣 Como a força é constante a aceleração também é constante e podemos escrever 𝑣2 𝑣𝑜2 2𝑎𝑥𝑑𝑥 Usando a segunda lei de Newton e substituindo 𝑎𝑥 por Fx m e dividindo toda a equação por 2 ficamos com 1 2 𝑚𝑣2 1 2 𝑚𝑣𝑜2 𝐹𝑥𝑑𝑥 Os termos do lado esquerdo da equação são as energias cinéticas antes 𝑚𝑣𝑜22 e depois 𝑚𝑣22 do deslocamento dx Assim o lado esquerdo da equação nos diz que a energia cinética da bola foi alterada e o lado direito da equação nos diz que a mudança é igual a Fx d Ou seja o trabalho realizado pela força sobre a bola é 𝑊 𝐹𝑥𝑑𝑥 Para calcular o trabalho que uma força realiza sobre um objeto quando este sofre um deslocamento usamos apenas a componente da força na direção do deslocamento do objeto A componente da força perpendicular ao deslocamento não realiza trabalho Suponha que a força 𝐹 não seja paralela ao deslocamento 𝑑 mas faz um ângulo 𝜑 com ele Neste caso teremos Fx F cos 𝜑 e assim 𝑊 𝐹 𝑑 cos 𝜑 ou ainda usando a defini c ao de produto escalar 𝑊 𝐹 𝑑 O trabalho realizado por uma força sobre um objeto pode ser positivo ou negativo Se o ângulo 𝜑 e menor do que 90 cos 𝜑 é positivo e o trabalho é positivo Se 𝜑 é maior do que 90 e menor do que 180 cos 𝜑 é negativo e o trabalho é negativo A unidade de trabalho no SI é o joule a mesma da energia cinética Entretanto como pode ser visto na equação acima uma unidade equivalente é o newtonmetro N m Outra unidade correspondente também muito usada é a caloria cal usada para representar a quantidade de energia presente nos alimentos por exemplo Teorema do trabalhoenergia O texto abaixo foi retirado da referência 1 Como vimos existe uma relação entre a variação da energia cinética da bola de boliche desde um valor inicial Ki mvo²2 até um valor final Kf mv² e o trabalho W Fx d realizado sobre a bola de boliche No caso de outros objetos que também se comportam como partículas podemos generalizar essa equação Chamando a variação da energia cinética de ΔK Kf Ki podemos escrever ΔK Kf Ki W Por exemplo se a energia cinética de uma partícula é inicialmente 5 J e a partícula recebe uma energia de 2 J trabalho positivo uma força acelera a partícula a energia cinética final é 7 J Por outro lado se a partícula cede uma energia de 2 J trabalho negativo uma força desacelera a partícula a energia cinética final é 3 J Trabalho realizado pela força gravitacional constante Vamos examinar o trabalho realizado sobre um objeto pela força gravitacional Você arremessa uma bola para cima com velocidade inicial v0 e portanto com energia cinética inicial Ki mvo²2 Na subida a bola é desacelerada pela força gravitacional Fg ou seja a energia cinética da bola diminui porque Fg realiza trabalho sobre a bola durante a subida Podemos usar a equação W F d cos φ para calcular o trabalho realizado sobre a bola durante o deslocamento 𝑑 No lugar de F usamos mg que é o módulo de Fg Logo o trabalho Wg realizado pela força gravitacional Fg sobre a bola é Wg m g d cos φ Como o ângulo φ 180 pois durante a subida a força Fg tem o sentido contrário ao do deslocamento 𝑑 Wg m g d cos 180 m g d1 m g d O sinal negativo indica que durante a subida a for ca gravitacional remove uma energia m g d da energia cinética da bola o que est a de acordo com o fato de que a velocidade da bola diminui durante a subida Depois que a bola atinge a altura máxima e começa a descer o ângulo φ 0 pois a força tem o mesmo sentido do deslocamento e assim Wg m g d cos 0 m g d1 m g d O sinal positivo indica que durante a descida a força gravitacional transfere uma energia m g d para a energia cinética da bola o que est a de acordo com o fato de que a velocidade da bola aumenta durante a descida Trabalho realizado por uma força elástica variável Vamos examinar o trabalho realizado sobre um objeto por uma força variável a força elástica exercida por uma mola Muitas forças na natureza têm a mesma forma matemática que a força exercida por uma mola então examinando esta força em particular podemos compreender muitas outras A figura abaixo mostra uma mola no estado relaxado ou seja nem comprimida nem distendida Uma das extremidades est a fixa e um objeto est a preso na outra extremidade Se comprimimos a mola empurrando o bloco para a esquerda a mola empurra o bloco para a direita Se distendemos a mola puxando o bloco para a direita a mola puxa o bloco para a esquerda A força 𝐹𝑆 que a mola exerce é proporcional ao deslocamento 𝑑 a partir da posição no estado relaxado A força elástica é dada pela lei de Hooke F kd 𝐹𝑆 𝑘 𝑑 O sinal negativo na equação indica que o sentido da força elástica é sempre oposto ao sentido do deslocamento da mola A constante k é a constante elástica e ela dá uma medida da rigidez da mola Quanto maior o valor de k mais dura é a mola ou seja maior é a força exercida pela mola para um dado deslocamento A unidade de k no SI é o newton por metro Nm Para calcular o trabalho realizado pela força da mola vamos precisar usar os métodos do cálculo infinitesimal Suponha que o bloco vá desde a posição xi até a posição xf Não poderemos usar a expressão W F d cosφ porque ela sá pode ser usada quando a força é constante Neste caso a força não é constante pois ela obedece a lei de Hooke considerando apenas a direção x temos Fx kx A expressão correta para calcular o trabalho realizado Ws neste caso e 𝑊𝑠 𝐹𝑥 𝑥𝑓 𝑥𝑖 𝑑𝑥 e usando a lei de Hooke 𝐹𝑥 𝑘 𝑥 temos 𝑊𝑠 𝑘 𝑥 𝑥𝑓 𝑥𝑖 𝑑𝑥 𝑊𝑠 𝑘 𝑥 𝑥𝑓 𝑥𝑖 𝑑𝑥 1 2 𝑘 𝑥2 𝑥𝑓 𝑥𝑖 1 2 𝑘 𝑥𝑓 2 𝑥𝑖 2 Ou seja o trabalho realizado por uma força elástica é 𝑊𝑠 1 2 𝑘 𝑥𝑖 2 1 2 𝑘 𝑥𝑓 2 O trabalho realizado pela mola pode ser positivo ou negativo dependendo de quais são as posições inicial xi e final xf Por exemplo se a mola está inicialmente no estado relaxado xi 0 então 𝑊𝑠 1 2 𝑘 𝑥𝑓 2 Trabalho realizado por uma força variável Numa situação real como jogar uma bola de boliche a força que age sobre a bola não é constante mas variável É razoável supor que a orientação da força a permanece constante já que a bola é acelerada para a frente na horizontal no entanto é também razoável supor que seu módulo varia E neste caso não podemos usar a expressão W F d cos φ para calcular o trabalho realizado Suponha que a força que aplicamos sobre a bola na direção horizontal varia como mostrado na figura Queremos obter uma expressão para o trabalho realizado por esta força Fx sobre a bola quando ela se desloca desde a posição xi até a posição xf Para tanto usaremos novamente os métodos do cálculo Substituiremos a curva original por uma curva aproximadamente igual consistindo de várias faixas estreitas de largura Δx e intensidade constante Fjmed correspondente ao valor médio de Fx no intervalo como mostrado na figura Como a força Fjmed é constante em cada intervalo Matematicamente é possível fazer as faixas infinitamente pequenas ou em linguagem matemática 𝑊𝑠 lim 𝑥0 Σ 𝐹𝑗 𝑚𝑒𝑑 Δ𝑥 o que é exatamente a definição da integral da função Fx entre os limites xi e xf Logo o trabalho realizado pela força sobre a bola é 𝑊𝑠 𝐹𝑥 𝑥𝑓 𝑥𝑖 𝑑𝑥 Que a expressão para determinar o trabalho realizado por uma força variável Exemplos 1 Um objeto de 102kg está inicialmente movendose em linha reta com uma velocidade de 53ms Se ele sofre uma desaceleração de 2ms² até ficar imóvel a Qual a intensidade da força utilizada 𝐹 𝑃 𝑁 𝑚𝑎 Decompondo as forças segundo eixos cartesianos encontramos 𝑒𝑚 𝑥 𝐹 𝑚𝑎 𝑒𝑚 𝑦 𝑃 𝑁 0 Logo F ma 204N b Qual a distância que o objeto percorreu antes de parar 𝑣2 𝑣𝑜2 2𝑎𝑥𝑑𝑥 𝑑 𝑣𝑜2 2𝑎 70225 𝑚 c Qual o trabalho realizado pela força de desaceleração 2 Uma arca de 50kg é empurrada por uma distância de 6m com velocidade constante numa rampa com inclinação de 30 0 por uma força horizontal constante O coeficiente de atrito cinético entre a arca e a rampa é 020 a Calcule o trabalho realizado pela força aplicada Como a arca se move com velocidade constante a aceleração é nulo e portanto Decompondo as forças encontramos b Calcule o trabalho realizado pelo peso da arca c Calcule o trabalho realizado pela força de atrito É fácil perceber que é nulo o trabalho executado pela resultante de forças Podemos mostrar isso de diversas maneiras O trabalho executado pela normal é nulo pois ela é perpendicular ao vetor deslocamento 3 Qual o trabalho realizado por uma força 𝐹 2 𝑥 2 𝑖 em Newtons onde x está em metros que é exercida sobre uma partícula enquanto ela se move da posição inicial 𝑥𝑖 5 em metros até a posição final 𝑥𝑓 10 𝑖 em metros 𝑊𝑠 𝐹𝑥 𝑥𝑓 𝑥𝑖 𝑑𝑥 𝑊𝑠 2 𝑥 2 𝑑𝑥 10 5 𝑊𝑠 𝑥2 2𝑥10 5 102 20 52 10 65 𝑗 Bibliografia básica BEER F P Mecânica vetorial para engenheiros estática Porto Alegre McGrawHill 2012 httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788580550481 HIBBELER R C Mecânica para engenharia Dinâmica 12 ed São Paulo Pearson 20112012 httpumcbv3digitalpagescombruserspublications9788576058144 MERIAM J L KRAIGE L G Mecânica para engenharia 7 ed Rio de Janeiro LTC 2015 v 1 Estática httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788521630401 Bibliografia Complementar BEER Ferdinand Pierre JOHNSTON JR E Russel CORNWELL Phillip J Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 9 ed Porto Alegre McGrawHill 2012 httpintegradaminhabibliotecacombrbooks9788580551440 HIBBELER R C Mecânica para engenharia Estática 12 ed São Paulo Pearson 2011 httpumcbv3digitalpagescombruserspublications9788576058151 MERIAM J L KRAIGE L G Mecânica para engenharia 7 ed Rio de Janeiro LTC 2015 v 2 Dinâmica httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788521630425 SHAMES I H Estática mecânica para engenharia São Paulo Pearson 2002 httpumcbv3digitalpagescombruserspublications9788587918130 OLIVEIRA J U Cinelli de Introdução aos Princípios de Mecânica Clássica LTC 102012 httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788521621843