Exercícios Resolvidos - Transferência de Calor e Convecção

ATIVIDADE Questão 1 A cobertura de um coletor solar plano está a 35ºC e o ar ambiente a 10ºC O ar passa paralelamente à cobertura com velocidade de 2 ms Nesta situação determine a a taxa de perda térmica convectiva b se a cobertura estiver instalada a 2 m da borda frontal do telhado e faceada à superfície do telhado qual a perda térmica convectiva Questão 2 Uma placa plana retangular de 1 m de largura e 2 m de comprimento imersa em água é arrastada com velocidade constante de 15 ms horizontalmente Calcule a força necessária supondo os três casos seguintes a a camada limite mantémse laminar desde o bordo de ataque até o bordo de fuga b a camada limite é turbulenta desde o bordo de ataque c o número de Reynolds crítico é 5105 Adote 15106 m2s 1000 kgm3 Questão 3 Água quente a 50ºC é enviada de um prédio onde ela é gerada a um prédio adjacente no qual é utilizada no aquecimento de ambiente interno A transferência entre os prédios se dá por meio de uma tubulação de aço k 60 Wm1K1 de 100 mm de diâmetro externo e 8 mm de espessura de parede Durante o inverno as condições ambientais representativas envolvem ar a T 5ºC e v 3 ms em escoamento transversal ao redor da tubulação a se o custo de produção de água quente é de R 005 por kWh qual é o custo diário representativo da perda de calor de uma tubulação não isolada termicamente por metro de comprimento de tubo A resistência à convecção associada ao escoamento da água na tubulação pode ser desprezada b determine a economia associada à aplicação de um revestimento isolante de uretano k 0026 Wm 1K1 de 10 mm de espessura na superfície externa da tubulação PLACA PLANA Summary of convection heat transfer correlations for external flowa Correlation Conditionsc δ 5x Rex 12 Laminar Tf Cfx 0664Re x 12 Laminar local Tf Nux 0332Re x 12 Pr 13 Laminar local Tf Pr 06 δo δ Pr 13 Laminar Tf Cfx 1328Re x 12 Laminar average Tf Nux 0664Re x 12 Pr 13 Laminar average Tf Pr 06 Nux 0565Pex 12 Laminar local Tf Pr 005 Pe 100 Cfx 00592Re x 15 Turbulent local Tf Rex 108 δ 037x Rex 15 Turbulent Tf Rex 108 Nux 00296Re x 45 Pr 13 Turbulent local Tf Rex 108 06 Pr 60 ReD C m 04 4 0989 0330 4 40 0911 0385 40 4000 0683 0466 4000 40000 0193 0618 40000 400000 0027 0805 NuD hDk C ReD m Pr 13 ATIVIDADE Questão 1 A cobertura de um coletor solar plano está a 35ºC e o ar ambiente a 10ºC O ar passa paralelamente à cobertura com velocidade de 2 ms Nesta situação determine a a taxa de perda térmica convectiva b se a cobertura estiver instalada a 2 m da borda frontal do telhado e faceada à superfície do telhado qual a perda térmica convectiva SOLUÇÃO Nós sabemos que o número de Nusselt se relaciona com o coeficiente convectivo através da seguinte equação hx kNu x L Então substituindo os valores encontrados no passo 1 temos hL 0025121921 hL 55 Wm2 K E sabemos que a equação para o calor trocado por convecção é dada por q hAs Ts T Então substituindo os valores conhecidos nessa equação temos q 551215 10 q 55 W Agora para a letra b nós vamos calcular o número de Reynolds para o telhado e o coletor agora com comprimento L 3 m então teremos Re VLν 23146106 ReL 4109589 4110 5 Então como temos Rexc 5105 esse escoamento será laminar dessa forma nesse caso tendo comprimento inicial não aquecido iremos utilizar a equação 742 dada por Nu x Nu x ξ0 1 ξ x 34 13 E a expressão para Nu x ξ0 é dada pela equação 723 que será Nu x ξ0 hx x k 0332Re x 12 Pr 13 Substituindo essa expressão na equação anterior temos Nu x 0332Re x 12 Pr 13 1 ξ x 34 13 E substituindo a expressão para o número de Reynolds temos Nu x 0332 Vx ν 12 Pr 13 1 ξ x 34 13 Então agora podemos escrever a taxa de transferência de calor em função do comprimento inicial não aquecido então teremos q ξL q dA ξL hTs T dA Sabemos que podemos escrever o coeficiente convectivo em função do Nusselt então a equação acima se torna q ξL 0332 Vx ν 12 Pr 13 k 1 ξ x 34 13 Ts T W dx Ts T 0332 Vν 12 Pr 13 kW ξL x 12 dx 1 ξ x 34 13 Precisamos resolver essa integral numericamente então substituindo os valores conhecidos e utilizando uma calculadora chegamos em q 15 100332 2 146106 12 071 13 00251 2 2 3 x 12 dx 1 2 x 34 13 q 39 W Questão 2 Uma placa plana retangular de 1 m de largura e 2 m de comprimento imersa em água é arrastada com velocidade constante de 15 ms horizontalmente Calcule a força necessária supondo os três casos seguintes a a camada limite mantémse laminar desde o bordo de ataque até o bordo de fuga b a camada limite é turbulenta desde o bordo de ataque c o número de Reynolds crítico é 5105 Adote 15106 m2s 1000 kgm3 SOLUÇÃO A força deverá ser igual à resistência ao avanço ou à força de arrasto Em qualquer um dos casos 𝐹𝑎𝑠 1 2 𝐶𝑎𝑠 𝜌 𝑣0 2 𝐴 Onde A é duas vezes a área da placa pois as tensões de cisalhamento agem de ambos os lados A alteração que se tem em a b e c será em relação ao 𝐶𝑎𝑠 Logo 𝐹𝑎𝑠 1 2 𝐶𝑎𝑠 1000 152 2 2 1 𝑭𝒂𝒔 𝟒 𝟓𝟎𝟎 𝑪𝒂𝒔 a se a camada limite é totalmente laminar temse 𝑅𝑒𝐿 𝑣0 𝐿 𝑣 15 2 15 106 2 106 𝐶𝑎𝑠 1328 𝑅𝑒𝐿 𝐶𝑎𝑠 1328 2 106 𝐶𝑎𝑠 0945 103 𝐹𝑎𝑠 4500 𝐶𝑎𝑠 4500 0945 103 𝑭𝒂𝒔 𝟒 𝟐𝟓 𝑵 b Se a camada limite fosse totalmente turbulenta o cálculo do 𝐶𝑎𝑠 seria dado por 𝐶𝑎𝑠 0074 𝑅𝑒𝐿 5 𝐶𝑎𝑠 0074 2 106 5 𝐶𝑎𝑠 407 103 𝐹𝑎𝑠 4500 𝐶𝑎𝑠 4500 407 103 𝑭𝒂𝒔 𝟏𝟖 𝟑 𝑵 c Se 𝑅𝑒𝑐𝑟 5 105 significa que na abcissa 𝑥𝑐𝑟 𝑅𝑒𝑐𝑟 𝑣0 𝑣 5 105 15 106 15 𝑥𝑐𝑟 05 𝑚 haverá a passagem de laminar para turbulento Logo nem o resultado do item a nem o do item b são reais o certo será utilizar a abaixo com a correção devido à existência do trecho laminar É óbvio que o desvio entre c e b será muito menor que o entre c e a pois o trecho laminar é muito pequeno 𝐶𝑎𝑠 0074 𝑅𝑒𝐿 5 𝑘 𝑅𝑒𝐿 Da tabela para 𝑅𝑒𝑐𝑟 5 105 obtémse 𝑘 1700 Logo 𝐶𝑎𝑠 407 103 1700 2 106 𝐶𝑎𝑠 322 103 𝐹𝑎𝑠 4500 𝐶𝑎𝑠 4500 322 103 𝑭𝒂𝒔 𝟏𝟒 𝟓 𝑵 Nesse caso o erro cometido ao se considerar a camada limite totalmente turbulenta será 𝑒𝑟𝑟𝑜 183 145 183 100 𝒆𝒓𝒓𝒐 𝟐𝟎 𝟖 É claro que o erro será tanto menor quanto menor for 𝑥𝑐𝑟 em relação ao comprimento total da placa ou em outras palavras quando o comprimento do trecho da camada limite laminar for desprezível comparado com o da camada limite turbulenta Questão 3 Água quente a 50ºC é enviada de um prédio onde ela é gerada a um prédio adjacente no qual é utilizada no aquecimento de ambiente interno A transferência entre os prédios se dá por meio de uma tubulação de aço k 60 Wm1K1 de 100 mm de diâmetro externo e 8 mm de espessura de parede Durante o inverno as condições ambientais representativas envolvem ar a T 5ºC e v 3 ms em escoamento transversal ao redor da tubulação a se o custo de produção de água quente é de R 005 por kWh qual é o custo diário representativo da perda de calor de uma tubulação não isolada termicamente por metro de comprimento de tubo A resistência à convecção associada ao escoamento da água na tubulação pode ser desprezada b determine a economia associada à aplicação de um revestimento isolante de uretano k 0026 Wm1K1 de 10 mm de espessura na superfície externa da tubulação SOLUÇÃO NuuD 03 062 ReD05 Prand13 1 04Pr2314 1 ReD 2820005845 Ao substituir os valores temos que NuuD 105562 Calcule o coeficiente médio de convecção por calor hc ka D NuuD 00263 01 18880 27763 W m2 K Calcular o diâmetro interno sem isolamento Di D0 2t Aqui espessura é t Di 01 20008 0084 m Calcular a resistência térmica sem isolamento Rtotwo lnD0Di 2 π kp 1 π D0 h Aqui kp está a condutividade térmica do tubo Rtotwo ln010084 2 π 60 1 π 01 27763 0115 mK W Calcule a perda de calor por unidade de comprimento sem isolamento qwo Ts T Rtotwo 50 5 0115 04783 kWm Calcule a perda de energia diária correspondente Qwo qwo dia Qwo 04783 kWm 1 dia 24h 1 dia 114792 kWh m Calcular o custo associado Cwo Qwo C Aqui o custo por quiloWatt hora é C Cwo 114792 kWh m 01 kWh 114792 m Portanto o custo da perda de calor de um tubo não isolado para o ar por metro de comprimento do tubo é 114792 m Letra b Calcule o número de Reynolds ReD V D0 v ReD 3 012 1589 106 22656 Como o número de Reynolds é maior que 2000 o fluxo é turbulento Calcule o número médio de Nusselt NuuD 03 062 ReD05 Prand13 1 04Pr2314 1 ReD 2820005845 Ao substituir os valores temos que NuuD 120823 Calcule o coeficiente médio de convecção por calor hc ka D NuuD 00263 012 120823 26480 W m2 K Calcular a resistência térmica sem isolamento Rtot lnD0Di 2 π kp 1 π D0 h Aqui kp está a condutividade térmica do tubo Rtot ln01201 2 π 0026 1 π 012 26480 1216 mK W Calcule a perda de calor por unidade de comprimento sem isolamento qw Ts T Rtotwo 50 5 1216 004523 kWm PLACA PLANA Summary of convection heat transfer correlations for external flow Correlation Conditions δ 5x Rex 12 Laminar Tf Cf 0664 Rex 12 Laminar local Tf Nux 0332Re 12 x Pr 13 Laminar local Tf Pr 06 δt δPr 13 Laminar Tf Cfα 1328Rex 12 Laminar average Tf Nux 0664Re 12 x Pr 13 Laminar average Tf Pr 06 Nux 0565Pex 12 Laminar local Tf Pr 005 Pex 100 Cfβ 00592Re 15 x Turbulent local Tf Rex 108 δ 037x Rex 15 Turbulent Tf Rex 108 Nux 00296Re 45 x Pr 13 Turbulent local Tf Rex 108 06 Pr 60 ReD C m 04 4 0989 0330 4 40 0911 0385 40 4000 0683 0466 4000 40000 0193 0618 40000 400000 0027 0805 NuD hDk C Rem D Pr 13 ATIVIDADE Questão 1 A cobertura de um coletor solar plano está a 35ºC e o ar ambiente a 10ºC O ar passa paralelamente à cobertura com velocidade de 2 ms Nesta situação determine a a taxa de perda térmica convectiva b se a cobertura estiver instalada a 2 m da borda frontal do telhado e faceada à superfície do telhado qual a perda térmica convectiva SOLUÇÃO Nós sabemos que o número de Nusselt se relaciona com o coeficiente convectivo através da seguinte equação hx kNuxL Então substituindo os valores encontrados no passo 1 temos hL 0025121921 hL 55 Wm2K E sabemos que a equação para o calor trocado por convecção é dada por q hAsTs T Então substituindo os valores conhecidos nessa equação temos q 55121510 q 55 W Agora para a letra b nós vamos calcular o número de Reynolds para o telhado e o coletor agora com comprimento L 3 m então teremos Re VLν 23146106 ReL 4109589 41105 Então como temos Rexc 5105 esse escoamento será laminar dessa forma nesse caso tendo comprimento inicial não aquecido iremos utilizar a equação 742 dada por Nux Nu x ξ01 ξx3413 E a expressão para Nux ξ0 é dada pela equação 723 que será INuxξ0 hx xk 0332 Re x 12 Pr 13 Substituindo essa expressão na equação anterior temos Nux 0332 Re x 12 Pr 131 ξx 34 13 E substituindo a expressão para o número de Reynolds temos Nux 0332 Vxν12 Pr13 1 ξx3413 Então agora podemos escrever a taxa de transferência de calor em função do comprimento inicial não aquecido então teremos q ξL q dA ξL hTs T dA Sabemos que podemos escrever o coeficiente convectivo em função do Nusselt então a equação acima se torna q ξL 0332 Vxν12 Pr13 k1 ξx3413 Ts T W dx Ts T0332 Vν12 Pr13 k W ξL x1 ξx3413 dx Precisamos resolver essa integral numericamente então substituindo os valores conhecidos e utilizando uma calculadora chegamos em q 15100332214610612 07113 00251 2 23 x 12 dx1 2x3413 q 39 W Questão 2 Uma placa plana retangular de 1 m de largura e 2 m de comprimento imersa em água é arrastada com velocidade constante de 15 ms horizontalmente Calcule a força necessária supondo os três casos seguintes a a camada limite mantémse laminar desde o bordo de ataque até o bordo de fuga b a camada limite é turbulenta desde o bordo de ataque c o número de Reynolds crítico é 5105 Adote 15106 m2s 1000 kgm3 SOLUÇÃO A força deverá ser igual à resistência ao avanço ou à força de arrasto Em qualquer um dos casos Fas1 2Casρv0 2A Onde A é duas vezes a área da placa pois as tensões de cisalhamento agem de ambos os lados A alteração que se tem em a b e c será em relação ao Cas Logo Fas1 2Cas100015 2221 Fas4500Cas a se a camada limite é totalmente laminar temse ReLv0L v 152 1510 6210 6 Cas1328 ReL Cas 1328 210 6 Cas094510 3 Fas4500Cas4500094510 3 Fas425 N b Se a camada limite fosse totalmente turbulenta o cálculo do Cas seria dado por Cas0074 5 ReL Cas 0074 5210 6 Cas40710 3 Fas4500Cas450040710 3 Fas183 N c Se Recr510 5 significa que na abcissa xcr Recr v0v 510 51510 6 15 xcr05m haverá a passagem de laminar para turbulento Logo nem o resultado do item a nem o do item b são reais o certo será utilizar a abaixo com a correção devido à existência do trecho laminar É óbvio que o desvio entre c e b será muito menor que o entre c e a pois o trecho laminar é muito pequeno Cas0074 5ReL k R eL Da tabela para Recr510 5 obtémse k1700 Logo Cas4 0710 3 1700 210 6 Cas32210 3 Fas4500Cas450032210 3 Fas14 5 N Nesse caso o erro cometido ao se considerar a camada limite totalmente turbulenta será erro183145 183 100 erro208 É claro que o erro será tanto menor quanto menor for xcr em relação ao comprimento total da placa ou em outras palavras quando o comprimento do trecho da camada limite laminar for desprezível comparado com o da camada limite turbulenta Questão 3 Água quente a 50ºC é enviada de um prédio onde ela é gerada a um prédio adjacente no qual é utilizada no aquecimento de ambiente interno A transferência entre os prédios se dá por meio de uma tubulação de aço k 60 Wm1K1 de 100 mm de diâmetro externo e 8 mm de espessura de parede Durante o inverno as condições ambientais representativas envolvem ar a T 5ºC e v 3 ms em escoamento transversal ao redor da tubulação a se o custo de produção de água quente é de R 005 por kWh qual é o custo diário representativo da perda de calor de uma tubulação não isolada termicamente por metro de comprimento de tubo A resistência à convecção associada ao escoamento da água na tubulação pode ser desprezada b determine a economia associada à aplicação de um revestimento isolante de uretano k 0026 Wm 1K1 de 10 mm de espessura na superfície externa da tubulação SOLUÇÃO O coeficiente de condutividade térmica é k 00263 WmK O número Prandtl é Pr 0707 Calcule o número de Reynolds ReD VD0v ReD 3 01 1589 10⁶ 18880 Como o número de Reynolds é maior que 2000 o fluxo é turbulento Calcule o número médio de Nusselt NuD 03 062Re05D Prand13 1 ReD 282000 ⁵⁸⁴₅ 1 04Pr²₃¹₄ Ao substituir os valores temos que NuD 105562 Calcule o coeficiente médio de convecção por calor hc kaD NuD 0026301 18880 27763 Wm²K Calcular o diâmetro interno sem isolamento Di D0 2t Aqui espessura é t Di 01 20008 0084 m Calcular a resistência térmica sem isolamento Rtotwo lnD0Di 2πk p 1 πD0 h Aqui kp está a condutividade térmica do tubo Rtotwo ln010084 2π60 1 π 01 27763 0115 mKW Calcule a perda de calor por unidade de comprimento sem isolamento qwo Ts T Rtotwo 50 5 0115 04783 kWm Calcule a perda de energia diária correspondente Qwo qwo dia Qwo 04783 kWm 1dia 24h1dia 114792 kWhm Calcular o custo associado Cwo Qwo C Aqui o custo por quiloWatt hora é C Cwo 114792 kWhm 01 kWh 114792 m Portanto o custo da perda de calor de um tubo não isolado para o ar por metro de comprimento do tubo é 114792 m Letra b Calcule o número de Reynolds ReD VD0 v ReD 3 012 1589 10⁶ 22656 Como o número de Reynolds é maior que 2000 o fluxo é turbulento Calcule o número médio de Nusselt NuD 03 062Re05D Prand13 1 ReD 282000 ⁵⁸⁴₅ 1 04Pr²₃¹₄ Ao substituir os valores temos que NuD 120823 Calcule o coeficiente médio de convecção por calor hc ka D NuD 00263 012 x 120823 26480 W m² K Calcular a resistência térmica sem isolamento Rtot lnD0 Di 2πkp 1 πD0 h Aqui kp está a condutividade térmica do tubo Rtot ln012 01 2π0026 1 π x 012 x 26480 1216 m K W Calcule a perda de calor por unidade de comprimento sem isolamento qw Ts T Rtotwơ 50 5 1216 004523 kW m Calcule a perda de energia diária correspondente Qw qw x dia Qw 004523 kW m x 1dia x 24h 1dia 108552 kW h m Calcular o custo associado Cw Qw x C Aqui o custo por quiloWatt hora é C Cw 108552 kW h m x 01 kW h 0108552 m Calcule a economia diária S Cwo Cw 10394 m Portanto a economia diária é 10394 m PLACA PLANA Summary of convection heat transfer correlations for external flowa Correlation Conditionssigmadelta 5x Rex12 Laminar Tf Cfx 0664Rex12 Laminar local Tf Nux 0332Rex12 Pr13 Laminar local Tf Pr 06 deltax delta Pr13 Laminar Tf overlineCfx 1328Rex12 Laminar average Tf overlineNux 0664Rex12 Pr13 Laminar average Tf Pr approx 06 Nux 0565Pex12 Laminar local Tf Pr 005 Pex geq 100 Cfx 00592Rex15 Turbulent local Tf Rex leq 108 delta 037 x Rex15 Turbulent Tf Rex leq 108 Nux 00296Rex45 Pr13 Turbulent local Tf Rex leq 108 06 leq Pr leq 60 ReD C m 04 4 0989 0330 4 40 0911 0385 40 4000 0683 0466 4000 40000 0193 0618 40000 400000 0027 0805 overlineNuD overlinehD k C ReDm Pr13