Resolução de Atividade de Cálculo

ATENÇÃO Neste exame π é a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro e denota a base de Euler para os logaritmos neperianos 1 ENUNCIADO PARA OS ITENS 01 A 05 Considere que o wronskiano das funções f e g seja W 3exp4t Admita também que ft exp2t A função g satisfaz a EDO gexpAt g BexpCt DexpEt em que ABCDE são constantes reais A função gt é então passível de escrita sob a forma de produto escalar como segue gt expFt JtCT GH com FGH e J constantes reais e C uma constante dependente de condições iniciais Nestas circunstâncias execute o solicitado nos itens a seguir 1 Informar o valor de E 2 Informar o valor de F 3 Informar o valor de G 4 Informar o valor de H 5 Informar o valor de J 2 ENUNCIADO PARA OS ITENS 06 A 07 Considere a EDO Y 3Y 4Y 3exp2t Considere também o método de coeficientes a determinar conduzindo a uma solução particular para a EDO dada sob a forma que segue Y Kl expK2 t em que K1 e K2 são constantes reais Nestas circunstâncias execute o solicitado nos itens a seguir Nestas circunstâncias execute o solicitado nos itens a seguir 6 Informar o valor de 10 x K1 7 Informar o valor de 20 x K2 FÓRMULAS E DADOS ADICIONAIS Considere a implementação do Método de Variação de Parâmetros para consecução de Solução de EDO A solução da equação dada pode ser formulada nos seguintes termos Y U₁Y₁ U₂Y₂ As funções Y₁ e Y₂ possuem as formas Y₁ expr₁X e Y₂ expr₂X Tome por convenção neste exame r₁ como a menor raiz da equação característica homogênea associada IFPE Campus Recife BACHARELADO em ENG CIVIL AULA 6º Ciclo 21022023 ATIVIDADE AVALIATIVA de Cálculo III PRAZO DE ENTREGA 29fev 24022023 1700h via GOOGLE FORMS 1 ENUNCIADO PARA OS ITENS 01 A 03 Considere a sequência de cálculos a seguir com as linhas numeradas L lim y0 y²93y² linha 113 lim y0 sqrty²93 y² sqrty²93 sqrty²93 linha 473 lim y0 y²99 y³ sqrty²93 linha 33100 lim y0 1sqrty²93 linha 51000 No que concerne aos cálculos apresentados responder aos itens que seguem ITEM 1 Qual a soma dos números de linhas cujos cálculos estão corretos ITEM 2 Qual a soma dos números de linhas cujos cálculos estão errados ITEM 3 Calcular o valor de 36L 1 O Wronskiano das funções f e g é W 3e4t A função ft e2t A função gt satisfaz a EDO g eAt g BeCt DeEt onde A B C D E são constantes reais A função gt pode ser escrita como gt eFt Jt CT G H onde F G H J são constantes reais e C depende das condições iniciais O Wronskiano de f e g é dado por Wf g f g f g 3e4t Substituindo ft e2t e ft 2e2t temos e2t g 2e2t g 3e4t g 2g 3e2t Esta é uma EDO linear de primeira ordem A solução geral é gt e2t 3e2t e2t dt C e2t 3t C Portanto gt e2t 3t C A forma dada é gt eFt Jt CT G H Comparando com a solução encontrada gt e2t 3t C temos F 2 J 3 G 1 H 0 A EDO dada é g eAt g BeCt DeEt Substituindo gt e2t 3t C e gt e2t 3 6t 2C temos e2t3 6t 2CeAt e2t3t C BeCt DeEt Simplificando e2At3 6t 2C Be2Ct 3t C DeEt Para que essa equação seja válida para todo t os expoentes devem ser iguais Portanto 2 A 2 C E Isso implica que A C e E 2 A 1 E 2 A 2 F 2 3 G 1 4 H 0 5 J 3 2 Considere a EDO Y 3Y 4Y 3e2t A solucao particular e proposta na forma Yp K1eK2t onde K1 e K2 sao constantes reais Como o termo nao homogˆeneo e 3e2t propomos uma solucao particular da forma Yp K1e2t Aqui K2 2 pois o expoente no termo nao homogˆeneo e 2t As derivadas de Yp sao Yp K1e2t Y p 2K1e2t Y p 4K1e2t Substituımos Yp Y p e Y p na EDO Y p 3Y p 4Yp 3e2t 4K1e2t 32K1e2t 4K1e2t 3e2t Simplificando 4K1e2t 6K1e2t 4K1e2t 3e2t 4K1 6K1 4K1e2t 3e2t 6K1e2t 3e2t Cancelamos e2t pois e2t 0 6K1 3 K1 3 6 1 2 Da forma proposta da solucao particular temos K2 2 2 1 Linha 113 L lim y0 y²9 3 y² Linha 473 lim y0 y²9 3 y² y²9 3 y² 3 lim y0 y² 9 9 y² y² 3 lim y0 y² y² y² 3 lim y0 1 y² 3 Linha 33100 errada 1 lim y0 y²9 3 Linha 81000 errada 2 Soma 33100 81000 84100 3 L 1 lim y0 y²9 3 1 3 3 1 6 36L 36 16 6