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Engenharia de Telecomunicações ·
Variáveis Complexas
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3 25 ptos Dada uxy 1 9xy2 4y2 3x3 4x2 x a Prove que uxy é a parte real de uma função analítica fz uxy 1 vxy b Calcule fz c Encontre a função fz sabendo que f1 1 Solução a Vamos a provar que a função u é harmônica De fato Ux 9y2 9x2 8x 1 Uxx 18x 8 Uy 18xy 8y Uyy 18x 8 Assim Uxx Uyy 18x 8 18x 8 0 Então U é harmônica e portanto uxy é a parte real de uma função analítica b Sabemos que Se fxy uxy i vxy fxiy uxyx i vxyx fxiy uxyx i uxyy Assim fz 9y2 9x2 8x 1 i 18xy 8y c Pelas equações de Cauchy Riemanns ux vy uy vx De ux vy 9y2 9x2 8x 1 vy vxy 3y3 9x2y 8xy y gx vx 18xy 8y gx uy 18xy 8y gx uy 18xy 8y gx 18xy 8y 18xy 8y gx gx 0 gx C Assim vxy 3y3 9x2y 8xy y C Logo 5 i f1 f0 1i u01 i v01 5 i 1 4 i3 1 C 5 i 5 i2 C 2 C 1 C 1 Portanto fz 1 9xy2 4y2 3x3 4x2 x i3y3 9x2y 8xy y 1
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