Lista de Exercicios - Complementos de Matematica UPE - Series de Potencias e Transformadas

Universidade de Pernambuco UPE Escola Politécnica de Pernambuco POLI Ciclo Básico Complementos de Matemática Profa Itacira Ataide Silva Lista de exercícios Unidade II 20222 ORIENTAÇÕES Atividade de caráter individual As respostas devem ser postadas pelo AVA até as 23h59 do dia 1104 terça feira Todas as respostas devem ser justificadas A pontuação máxima é de 2 pontos Devem ser escolhidos 2 itens de cada questão para o envio 1 Determine a série de potências Taylor ou Laurent para cada função e cada domínio descrito a fz 1zz1 R 0z1 b fz 1zz1 Rz1 c fz 1zz1 R0z11 d fz 1zz1 Rz11 e fz 1zz1 R1z2 f fz 8z1z1z R0z1 g fz 1zz1 R0z1 h fz 1z12z3 R1z3 i fz zz44 Rz2 j fz z2 sen1z2 R0z k fz 1z1z2 Rz1 l fz 1z1z2 R1z2 m fz 1z1z2 R2z 2 Classifique a ordem do polo z0 da função fz e calcule o valor do resíduo Resfzz0 a fz 1senz z00 b fz 1z senz z00 c fz 2z5z1z53z22 z05 d fz 1coshzz3 z00 e fz 1exp2zz4 z00 f fz exp2zz12 z01 g fz z2z13 z0 12 h fz 1zez1 z0 0 i fz 11cos z z0 0 3 Identifique as singularidades da função dada e classifique entre singularidade removível essencial ou polo a z exp1z b z21zsenz c zcosz d zz 4 Encontre o valor do resíduo a Rescossec2 z0 b Res1zz220 c Res1z2121 d Res1z212 1 e Res1z25z62 5 Considere que a curva C está orientada positivamente e calcule a integral a C tg z dz onde C z 2 b C zezz21 dz onde C z 2 c C 2z1z2z31 dz onde C é o retângulo definido por x 2 x 1 y ½ e y 1 d C exp1z2 dz onde C z2 6 Calcule a transformada de Laplace da função dada a et cos t b e23it 7 Calcule a transformada inversa de Laplace da função dada a 1s24 b ess12 c s4s26s11 d 2s3s44 e 2s2s1s22s5 f 1s g 1s2 8 Utilize a definição de convolução para determinar a 11 b tet c 1cost 9 Utilize o teorema da convolução para determinar a solução da seguinte equação integral a yt tet 0t yτtτdτ b yt 1 0t yτtτdτ 10 Utilize o teorema da convolução para calcular a L11s1s21 b L1ss1s21 𝑓𝑧 1 𝑧𝑧 1 1 𝑧 1 𝑧 1 Agora podemos expandir cada parcela em série de potências em torno de z 0 usando o teorema de Laurent Para a parcela 1 𝑧 temos 1 𝑧 𝑧𝑛1 𝑛0 Para a parcela 1 𝑧1 podemos usar a série de potências da função 1 𝑤 onde 𝑤 𝑧 1 1 𝑧 1 1 𝑤 𝑤𝑛 𝑛0 𝑧 1𝑛 𝑛0 Substituindo tudo de volta na expressão original temos 𝑓𝑧 1 𝑧𝑧 1 𝑧𝑛1 𝑛0 𝑧 1𝑛 𝑛0 Essa é a série de Laurent da função fz no domínio 0 𝑧 1 𝑓𝑧 1 𝑧𝑧 1 1 𝑧 1 𝑧 1 Agora podemos expandir cada parcela em série de potências em torno de 𝑧 0 𝑒 𝑧 1 respectivamente usando o teorema de Laurent Para a parcela 1 𝑧 temos 1 𝑧 𝑧𝑛 1 𝑛 Para a parcela 1 𝑧1 temos 1 𝑧 1 1 1 𝑧 𝑧𝑛 𝑛0 Repare que essa é a série de potências da função 1 1𝑧 que é uma série convergente para z 1 mas aqui estamos interessados no domínio 𝑧 1 Portanto precisamos fazer um ajuste na série para tornála válida para 𝑧 1 Podemos fazer isso rescrevendo a série da seguinte forma 1 1 𝑧 1𝑛1𝑧𝑛 𝑛1 Substituindo tudo de volta na expressão original temos 𝑓𝑧 1 𝑧𝑧 1 𝑧𝑛 1𝑛1𝑧𝑛 𝑛1 1 𝑛 Essa é a série de Laurent da função fz no domínio z 1 A função fz possui uma singularidade de ordem 1 no ponto z 0 pois o denominador senz se anula nesse ponto e sua derivada não se anula Para determinar o valor do resíduo da função fz em z 0 podemos utilizar a fórmula do resíduo 𝑅𝑒𝑠𝑓𝑧 𝑧 0 𝑙𝑖𝑚𝑧 0 𝑧 𝑓𝑧 Podemos simplificar a expressão para obter 𝑙𝑖𝑚𝑧0 𝑧 𝑓𝑧 𝑙𝑖𝑚𝑧0 𝑧 1 𝑠𝑒𝑛𝑧 𝑙𝑖𝑚𝑧0 𝑧 1 𝑧 𝑧3 3 𝑂𝑧5 𝑙𝑖𝑚𝑧0 1 1 𝑧2 3 𝑂𝑧4 1 Substituindo o limite na fórmula do resíduo obtemos 𝑅𝑒𝑠𝑓𝑧 𝑧 0 𝑙𝑖𝑚𝑧0 𝑧 𝑓𝑧 1 Portanto o valor do resíduo de fz em z 0 é 1 Como a singularidade em z 0 é de ordem 1 o polo em z 0 é de ordem 1 A função 𝑓𝑧 1 𝑧𝑠𝑒𝑛𝑧 possui uma singularidade isolada em z 0 pois tanto o termo z quanto o termo senz se anulam nesse ponto Quando isso ocorre podemos fazer a expansão de fz em série de Laurent em torno de z 0 Para isso precisamos determinar a ordem do polo em z 0 Essa ordem é dada pelo número de vezes que a singularidade aparece na expansão Podemos reescrever fz como 𝑓𝑧 1 𝑧 1 𝑠𝑒𝑛𝑧 A função senz tem um zero simples em z 0 o que significa que ela pode ser escrita como 𝑠𝑒𝑛𝑧 𝑧 𝑔𝑧 onde gz é uma função inteira e não se anula em z 0 Substituindo gz nessa expressão para fz temos 𝑓𝑧 1 𝑧 1 𝑠𝑒𝑛𝑧 1 𝑧 1 𝑧 𝑔𝑧 1 𝑧2 𝑔𝑧 Podemos encontrar a série de potências para a função gz em torno de z 0 usando a expansão em série de potências da função senz 𝑔𝑧 1𝑛 2𝑛 1 𝑧2𝑛1 𝑛0 Substituindo gz na expressão de fz temos 𝑓𝑧 1 𝑧2 𝑔𝑧 1 𝑧2 1 𝑔𝑧 1 𝑧2 1 1𝑛 2𝑛 1 𝑧2𝑛1 𝑛0 Podemos simplificar essa expressão para obter 𝑓𝑧 𝑏𝑛 𝑧𝑛 𝑛0 onde 𝑏2 1 6 𝑏1 0 e 𝑏𝑛 1𝑛1 2𝑛1 para n 0 Portanto o polo em z 0 é de ordem 2 e o valor do resíduo de fz em z 0 é 1 6 Podemos identificar a singularidade em z 0 examinando a função e notando que o termo 1 𝑧 na exponencial diverge para infinito quando z se aproxima de zero Isso significa que a função possui uma singularidade isolada em z 0 Para identificar o tipo de singularidade em z 0 podemos analisar o comportamento da função para valores próximos de zero Observamos que a função fz oscila rapidamente e assume tanto valores positivos quanto negativos quando z se aproxima de zero Podemos reescrever a função fz em termos de sua expansão em série de potência 𝑓𝑧 𝑧 𝑒 1 𝑧 𝑧 1 1 𝑧 1 2 𝑧2 1 3 𝑧3 Observamos que todos os coeficientes da série são nãonulos o que significa que a singularidade em z 0 é uma singularidade essencial Resumindo Singularidade z 0 Tipo de singularidade Essencial A função 𝑓𝑧 𝑧2 1𝑧 possui uma singularidade em z 1 pois o denominador se anula nesse ponto Para determinar o tipo de singularidade em z 1 podemos fazer a expansão em série de Taylor da função fz em torno de z 1 𝑓𝑧 𝑧 1 12 1 𝑧 1 1 𝑧 12 𝑧 𝑧2 2𝑧 1 𝑧 𝑧 2 1 𝑧 1 Podemos ver que a função fz possui um termo constante igual a 2 e um termo com uma potência não negativa de z Além disso o último termo possui uma singularidade em z 1 Portanto podemos concluir que z 1 é uma singularidade simples ou polo de primeira ordem da função fz Um polo de primeira ordem ocorre quando a função é finita no ponto de singularidade mas não é analítica em uma vizinhança desse ponto A função fz possui uma singularidade isolada no ponto z 1 Para encontrar o valor do resíduo de fz em z 1 podemos utilizar a fórmula do resíduo 𝑅𝑒𝑠𝑓𝑧 𝑧 1 1 3 𝑙𝑖𝑚𝑧1𝑧 13 𝑓𝑧 Para calcular o limite podemos fazer a substituição z 1 w onde w 0 conforme z 1 Temos 𝑓𝑧 1 𝑧2 1 2 1 1 𝑤2 1 2𝑤 𝑤2 12 1 4𝑤2 𝑤3 2 1 4𝑤4 8𝑤5 𝑂𝑤6 Substituindo essa expressão no limite temos 𝑙𝑖𝑚𝑧1𝑧 13 𝑓𝑧 𝑙𝑖𝑚𝑤0 𝑤3 1 4𝑤4 8𝑤5 𝑂𝑤6 Podemos simplificar essa expressão para obter 𝑙𝑖𝑚𝑤0 𝑤3 1 4𝑤4 8𝑤5 𝑂𝑤6 𝑙𝑖𝑚𝑤0 1 4𝑤 8𝑤2 𝑂𝑤3 1 4 Substituindo o limite na fórmula do resíduo obtemos 𝑅𝑒𝑠𝑓𝑧 𝑧 1 1 3 𝑙𝑖𝑚𝑧1 𝑧 13 𝑓𝑧 1 6 1 4 1 24 Portanto o valor do resíduo de fz em z 1 é 1 24 A função fz possui uma singularidade isolada no ponto z 1 Para encontrar o valor do resíduo de fz em z 1 podemos utilizar a fórmula do resíduo 𝑅𝑒𝑠𝑓𝑧 𝑧 1 1 3 𝑙𝑖𝑚𝑧1𝑧 13 𝑓𝑧 Para calcular o limite podemos fazer a substituição z 1 w onde w 0 conforme z 1 Temos 𝑓𝑧 1 𝑧2 1 2 1 1 𝑤2 1 2𝑤 𝑤2 12 1 𝑤4 𝑂𝑤5 Substituindo essa expressão no limite temos 𝑙𝑖𝑚𝑧1𝑧 13 𝑓𝑧 𝑙𝑖𝑚𝑤0 𝑤3 𝑂𝑤4 1 𝑤4 𝑂𝑤5 Podemos simplificar essa expressão para obter 𝑙𝑖𝑚𝑤0 𝑤3 𝑂𝑤4 1 𝑤4 𝑂𝑤5 𝑙𝑖𝑚𝑤0 1 𝑤 Substituindo o limite na fórmula do resíduo obtemos 𝑅𝑒𝑠𝑓𝑧 𝑧 1 1 3 𝑙𝑖𝑚𝑧1𝑧 13 𝑓𝑧 1 6 Portanto o valor do resíduo de fz em z 1 é infinito Isso indica que z 1 é um polo de segunda ordem e o comportamento da função fz próximo a esse ponto é muito diferente do comportamento das funções analíticas Podemos utilizar o teorema de Cauchy para calcular a integral de uma função holomorfa sobre uma curva fechada simples C e sua região interna Como a função fz tgz é holomorfa em toda parte exceto em seus polos podemos aplicar o teorema para calcular a integral sobre a região interna à curva C A curva C é um círculo de raio 2 centrado na origem e é percorrida no sentido positivo Podemos parametrizar essa curva utilizando a função 𝑧𝑡 2𝑒𝑖𝑡 para 0 t 2π Dessa forma a integral pode ser escrita como 𝑡𝑔 𝑧 𝑑𝑧 𝐶 𝑡𝑔2𝑒𝑖𝑡 2𝑖 𝑒𝑖𝑡𝑑𝑡 2𝜋 0 Podemos notar que a função fz tgz possui polos em 𝑧 𝑘𝜋 2 onde k é um número inteiro Como nenhum desses polos se encontra no interior da curva C a integral é igual a zero 𝑡𝑔 𝑧 𝑑𝑧 𝐶 0 Resumindo 𝑡𝑔 𝑧 𝑑𝑧 𝐶 0 onde C é o círculo de raio 2 centrado na origem percorrido no sentido positivo Para calcular essa integral podemos utilizamos o teorema de Cauchy ou a fórmula integral de Cauchy Primeiramente podemos verificar a existência de singularidades da função 𝑓𝑧 𝑧𝑒𝑧 𝑧21 Podemos notar que as singularidades ocorrem onde o denominador se anula 𝑧2 1 0 𝑧 1𝑧 1 0 𝑧 1 𝑜𝑢 𝑧 1 No primeiro polo em z 1 temos uma singularidade simples e o resíduo da função fz em torno de z 1 é 𝑅𝑒𝑠𝑓𝑧 1 𝑙𝑖𝑚𝑧 1𝑧 1 𝑓𝑧 𝑒 2 No segundo polo em z 1 também temos uma singularidade simples e o resíduo da função fz em torno de z 1 é 𝑅𝑒𝑠𝑓𝑧 1 𝑙𝑖𝑚𝑧 1 𝑧 1 𝑓𝑧 𝑒1 2 Aplicando a fórmula integral de Cauchy temos 𝑧𝑒𝑧 𝑧2 1 𝑑𝑧 𝐶 2𝜋𝑖 𝑅𝑒𝑠𝑓𝑧 1 𝑅𝑒𝑠𝑓𝑧 1 𝜋𝑖 𝑒 𝑒1 Podemos utilizar as propriedades da transformada de Laplace para calcular 𝐿𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 Seja 𝑓𝑡 𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 Temos 𝐿𝑓𝑡 𝐿𝑒𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 Podemos utilizar a propriedade da transformada de Laplace de uma função multiplicada por uma exponencial para obter 𝐿𝑒𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝐹𝑠 1 𝑗𝜔 𝑠 12 𝜔2 onde Fs é a transformada de Laplace de cost Para calcular Fs podemos utilizar a tabela de transformadas de Laplace e obter 𝐹𝑠 𝐿𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑠 𝑠2 1 Substituindo na fórmula acima sabendo que 𝑗 𝑒 𝜔 são iguais a 1 temos 𝐿𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑠 1 𝑠 12 1 Para calcular a transformada de Laplace da função ft 𝑒23𝑖𝑡 usamos diretamente as propriedades da transformada de Laplace especialmente a propriedade da exponencial multiplicada por uma constante complexa Seja Fs a transformada de Laplace de ft isto é Fs Lft Fazendo uso da propriedade mencionada temos 𝐹𝑠 𝐿𝑒23𝑖𝑡 𝐹𝑠 𝐿𝑒2𝑡 𝑒3𝑖𝑡 Aqui temos uma exponencial multiplicada por uma constante complexa e podemos escrever a constante complexa em sua forma polar 𝐹𝑠 𝐿𝑒2𝑡 𝑒3𝑖𝑡 𝐿 𝑒2𝑡 𝑒3𝑖 𝑒𝑖𝑎𝑟𝑔𝑒3𝑖 𝐹𝑠 𝐿 𝑒2𝑡 𝑒3𝑖𝑡 𝑒𝑖𝜋 2 Observe que a exponencial 𝑒𝑖𝜋 2 não afeta o valor absoluto da exponencial 𝑒3𝑖𝑡 mas sim adiciona uma rotação de 𝜋 2 no plano complexo Podemos então simplesmente aplicar a propriedade da exponencial multiplicada por uma constante positiva e escrever 𝐹𝑠 𝐿𝑒2𝑡 𝐿 𝑒3𝑖𝑡 𝑒𝑖𝜋 2 𝐹𝑠 1 𝑠 2 𝐿 𝑒3𝑖𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 𝑖 𝑒3𝑖𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝜋 2 𝐹𝑠 1 𝑠 2 𝐿𝑖 𝑒3𝑖𝑡 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐿𝑠𝑒𝑛𝑎𝑡 𝑎 𝑠2 𝑎2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 0 Assim podemos usar a propriedade da transformada de Laplace do seno com a escolha a 3 e obter 𝐹𝑠 1 𝑠 2 𝑖 3 𝑠2 32 𝐹𝑠 3𝑖 𝑠 2 𝑠2 9 Pela tabela de transformadas encontramos que a transformada inversa de Laplace de 1 𝑠24 é 𝐿1𝐹𝑠 1 2 𝑠𝑒𝑛2𝑡 Podemos também calcular a transformada inversa utilizando a propriedade da transformação das funções trigonométricas Para isso escrevemos Fs na forma 𝐹𝑠 1 𝑠2 4 1 2 1 𝑠 2𝑖 𝑠 2𝑖 Podemos reconhecer que 1 𝑠2𝑖𝑠2𝑖 é a transformada de Laplace da função 𝑠𝑒𝑛2𝑡𝑢𝑡 onde ut é a função degrau unitário Portanto usando a propriedade da transformação das funções trigonométricas temos 𝐿1𝐹𝑠 𝐿1 1 2 1 𝑠 2𝑖 𝑠 2𝑖 𝐿1𝐹𝑠 1 2 𝐿1 1 𝑠 2𝑖 𝑠 2𝑖 𝐿1𝐹𝑠 1 2 𝑠𝑒𝑛2𝑡𝑢𝑡 Pela tabela de transformadas encontramos que a transformada inversa de Laplace de 1 𝑠2 é 𝐿1𝐹𝑠 𝑡 Assim a transformada inversa de Laplace de Fs é t Podemos também utilizar a propriedade da transformação da função t que nos diz que 𝐿1 1 𝑠2 𝑑 𝑑𝑠 𝐿1 1 𝑠 Lembrese que a transformada inversa de Laplace de 1 𝑠 é a função degrau unitário ut Então temos 𝐿1 1 𝑠2 𝑑 𝑑𝑠 𝑢𝑡 Como a derivada da função degrau unitário ut é a delta de Dirac δt temos 𝐿1 1 𝑠2 𝛿𝑡 Para calcular 𝑡 𝑒𝑡 usando a definição de convolução temos 𝑡 𝑒𝑡𝑡 𝜏 𝑒𝑡 𝜏𝑑𝜏 𝑡 0 Fazendo a substituição u t τ temos 𝑡 𝑒𝑡𝑡 𝑡 𝑢 𝑒𝑢𝑑𝑢 𝑡 0 Expandindo a expressão temos 𝑡 𝑒𝑡𝑡 𝑡𝑒𝑢𝑑𝑢 𝑡 0 𝑢𝑒𝑢𝑑𝑢 𝑡 0 A primeira integral pode ser facilmente resolvida 𝑡𝑒𝑢𝑑𝑢 𝑡 0 𝑡𝑒𝑢0 𝑡 𝑒𝑢𝑑𝑢 𝑡 0 𝑡𝑒𝑡 𝑒𝑡 1 Para a segunda integral usamos integração por partes com u u e v eu 𝑢𝑒𝑢𝑑𝑢 𝑡 0 𝑢𝑒𝑢0 𝑡 𝑒𝑢𝑑𝑢 𝑡 0 𝑡𝑒𝑡 𝑒𝑡 1 Portanto temos 𝑡 𝑒𝑡𝑡 𝑡𝑒𝑡 𝑒𝑡 1 𝑡𝑒𝑡 𝑒𝑡 1 0 Portanto a convolução de t com 𝑒𝑡 é 𝑡 𝑒𝑡𝑡 0 Para calcular 1 cost usando a definição de convolução temos 1 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑡 1𝜏 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝜏𝑑𝜏 𝑡 0 Como a função 1 é constante podemos retirar ela da integral 1 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑡 1 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝜏𝑑𝜏 𝑡 0 Fazendo a substituição u t τ temos 1 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑡 1 𝑐𝑜𝑠𝑢𝑑𝑢 𝑡 0 E integrando temos 1 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑡 1 𝑠𝑒𝑛𝑢0 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 Portanto a convolução de 1 com cost é 1 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 Usando o teorema da convolução temos que a solução da equação integral será a convolução da função 𝑡𝑒𝑡 com yt ou seja 𝑦𝑡 𝑡𝑒𝑡 𝑦𝑡 Substituindo na equação integral original temos 𝑦𝑡 𝑡𝑒𝑡 𝑦𝜏𝑡 𝜏𝑑𝜏 𝑡 0 Agora aplicamos o teorema da convolução para encontrar a solução 𝑦𝑡 𝑡𝑒𝑡 𝑦𝑡 𝑡𝑒𝑡 𝑦𝑡 Portanto a solução da equação integral é 𝑦𝑡 𝑡𝑒𝑡 𝑦𝑡 Observando a forma da solução percebemos que ela se trata de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem linear e homogênea que pode ser resolvida pela separação de variáveis 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑡𝑒𝑡 𝑦 𝑑𝑦 𝑦 𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡 Integrando ambos os lados temos 𝑙𝑛𝑦 𝑡𝑒𝑡 𝑒𝑡 𝐶 Sendo C uma constante de integração a ser determinada pelas condições iniciais do problema Aplicando exponenciação em ambos os lados temos 𝑦 𝑒𝑡𝑒𝑡 𝑒𝑡 𝐶 𝑦 𝑒𝑡𝑒𝑡 𝑒𝑡 𝐶 Portanto a solução geral da equação integral é 𝑦𝑡 𝐴𝑒𝑡𝑒𝑡𝑜𝑢 𝑦𝑡 𝐵𝑒𝑡𝑒𝑡 Sendo A e B constantes a serem determinadas pelas condições iniciais do problema Usando o teorema da convolução temos que a solução da equação integral será a convolução da função 1 com yt subtraída de yt 𝑦𝑡 1 𝑦𝑡 𝑦𝑡 Ou seja podemos reescrever a equação integral original como 𝑦𝑡 1 𝑦𝑡 1 Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados temos 𝐿𝑦𝑡 𝐿1 𝑦𝑡 𝐿1 Sendo 𝐿𝑦𝑡 𝑌𝑠 𝐿1 𝑦𝑡 1 𝑌𝑠 𝑌𝑠 𝑠 e 𝐿1 1 𝑠 Portanto temos 𝑌𝑠 𝑌𝑠 𝑠 1 𝑠 Simplificando a expressão temos 𝑌𝑠 1 𝑠2 𝑠 Fatorando o denominador temos 𝑌𝑠 1 𝑠𝑠 1 Agora aplicando a transformada inversa de Laplace podemos encontrar a solução da equação diferencial original 𝑦𝑡 𝐿1 1 𝑠𝑠 1 Para isso usamos a fórmula 𝐿1 1 𝑠𝑠 1 𝐿1 1 𝑠 𝐿1 1 𝑠 1 Sabemos que 𝐿1 1 𝑠 é a função degrau unitário ut Para 𝐿1 1 𝑠1 usamos a seguinte fórmula 𝐿1 1 𝑠 1 𝑒𝑡 Portanto temos 𝑦𝑡 𝑢𝑡 𝑒𝑡 A solução para a equação integral é 𝑦𝑡 𝑢𝑡 𝑒𝑡 Para calcular 𝐿1 1 𝑠1𝑠21 usando o teorema da convolução primeiro identificamos as transformadas inversas de Laplace dos termos no denominador Temos 𝐿1 1 𝑠 1 𝑒𝑡 𝐿1 1 𝑠2 1 𝑠𝑒𝑛𝑡 Portanto podemos escrever a expressão desejada como 𝐿1 1 𝑠 1𝑠2 1 𝐿1 1 𝑠 1 𝐿1 1 𝑠2 1 𝑢𝑡 Onde ut é a função degrau unitário Então temos 𝐿1 1 𝑠 1𝑠2 1 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑢𝑡 Para calcular 𝐿1 𝑠 𝑠1𝑠21 usando o teorema da convolução primeiro identificamos as transformadas inversas de Laplace dos termos no denominador Temos 𝐿1 1 𝑠 1 𝑒𝑡 𝐿1 1 𝑠2 1 𝑠𝑒𝑛𝑡 Além disso sabemos que a transformada inversa de Laplace da função s Fs é ft onde ft é a transformada inversa de Laplace de Fs e ft é a sua derivada Portanto podemos reescrever a expressão desejada como 𝐿1 𝑠 𝑠 1𝑠2 1 𝐿1 1 𝑠 1 𝐿1𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑢𝑡 Onde ut é a função degrau unitário Então temos 𝐿1 𝑠 𝑠 1𝑠2 1 𝑒𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑢𝑡 Derivando a expressão temos 𝑒𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 Portanto a transformada inversa de Laplace de 𝑠 𝑠1𝑠21 é 𝑓𝑡 𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑢𝑡