Lista de Exercícios Resolvida - Números Complexos

LISTA 1 NÚMEROS COMPLEXOS 1 Determine os números complexos z a ib que são as raízes cúbicas de 1 isto é satisfazem z3 1 e esboce suas posições no plano complexo Dica Use a fatoração x3 y3 x yx2 xy y2 2 Expresse os resultados das seguintes operações na forma a bi onde a e b são reais a 3 5i 7 9i b 3 5i7 9i c 3 5i7 9i d i1 i1 3i e i235 3 Mostre que a Se z z então z é real puro b Se z z então z é imaginário puro c Se z2 z2 então z é ou um real puro ou um imaginário puro d Se Imz 0 então Re1z 0 4 Determine qual dos dois números complexos 10 8i e 11 6i está mais próximo da origem 5 Determine os seguintes números complexos na forma exponencial z reiθ sendo θ o valor principal π θ π Nota¹ lembrese que θ deve ser dado em radianos Nota² se θ não for um arco notável você pode deixar θ tan¹ ba indicado na exponencial sem precisar de calculadora pra achar um valor decimal aproximado da tangente inversa a z i 1 i b z 2 13i c z 3 i6 d z 1 i2 12 123i 1 z3 1 z3 1 0 Utilizando a identidade dada z3 1 z 1z2 z 1 0 z₁ 1 é raiz z2 z 1 0 as demais raízes z 1 12 4 2 z₂ 1 3 i 2 z₃ 1 3 i 2 No plano complexo plotted diagram of complex plane with z1 at 10 z2 and z3 at complex positions 2 a 3 5i 7 9i 10 14i b 3 5i7 9i 3 5i7 9i 21 45 27i 35i 66 8i c 3 5i7 9i 3 5i7 9i 3 5i7 9i 7 9i7 9i 24 62i130 1265 3165 i d i1 i1 3i i1 i1 3i 1 i1 i1 3i1 3i i4 2i 2 10 2i 110 110 i5 e i235 i230 i3 i458 i3 158 i i 3a z z z 0 bi 0 b R a bi a bi 2bi 0 b 0 z a R b z z z a bi a b R a bi a bi 2a 0 a 0 z bi imaginário puro c z2 z2 z2 z z z z z2 De a z2 é real puro daí z a bi z2 a2 b2 2abi z2 R 2abi 0 a 0 ou b 0 a 0 z bi imaginário puro b 0 z a real puro d Imz 0 b 0 z a bi b 0 1 z 1 a bi a bi a bia bi a bi a2 b2 Re1z a a2 b2 Aqui há uma inconsistência pois caso Rez 0 então Re1z 0 O ex está incorreto Proximidade da origem significa módulo z a bi a² b² z₁ 10 8i Z₁ 10² 8² 164 241 z₂ 11 6i z₂ 11² 6² 121 36 157 Veja que 157 164 z₂ z₁ z₂ 11 6i está mais próximo da origem 5a z c 1 i z c1 i 1 i1 i 1 i 2 1 2 c 2 3º quadrante z r 14 14 12 e θ tg1 12 12 π π4 π 3π4 z 12 e3π4 i b z 2 1 3i 21 3i 1 3i1 3i 2 23 i 4 12 32 i 2º quadrante z 14 34 1 e θ tg1 32 12 π π3 π 4π3 z e4π3 i cc z 3 i6 z₁ z₁ 3 1 2 e θ tg1 1 3 π6 z 2 eπ6 i6 26 eπ c 64 eπ i d z 1 i2 12 3 2 i z₁ z₂ z₁ 1 1 2 z₂ 14 34 1 θ₁ tg1 1 1 π4 θ₂ tg1 32 12 π3 z 2 eπ4 i2 eπ3 i 2 eπ2 i eπ3 i 2 e5π6 i z 2 e5π6 i