Lista Preparatória - Probabilidade 2021-1

Probabilidade Lista preparatória 1. Sejam X e Y variaveis aleatorias independentes com distribuic~ao exponencial de par^ametros e , respectivamente. Encontre a express~ao para IP (X < Y ) 2. Encontre um valor aproximado para IP (X < ) quando X P( ) 3. O vetor aleatorio (X; Y ) tem distribuic~ao de probabilidade conjunta P (X = x; Y = y) = k(x + 1)(y + 1); x; y = 0; 1; 2; 3: (a) Obter o valor de k. (b) Obter as distribuic~oes marginais de X e de Y . (c) Obter a distribuic~ao de XjY . (d) X e Y s~ao independentes? (e) Obter P (X + Y > 2) e P (X2 + Y 2 1). 4. Leonora leu um estudo onde estava a rmado que o numero de milhares de quilome-tros que um automovel pode andar, antes de precisar ser descartado, e uma variavel aleatoria exponencial com par^ametro 180. Claudio tem um carro usado que andou apenas 50.000 Km. Se Leonora comprar esta carro, qual e a probabilidade que ela consiga pelo menos mais 120.000 Km com ele? Repita a estimativa, supondo que a quilometragem total do carro n~ao e exponencialmente distribuida, mas sim (em milhares de quilometros) uni- formalmente distribu da entre (0, 200). Qual dos dois cenarios e o melhor e por qual motivo? 5. O tempo (em horas) necessario para reparar uma maquina e uma variavel aleatoria distribu da exponencialmente, com par^ametro = 1=2. Calcule (a) A probabilidade de que um tempo de reparo exceda 2 horas? (b) A probabilidade condicional de que um reparo leve pelo menos 10 horas, visto que sua durac~ao excede 9 horas? 6. Se X U( 1; 1), calcule: (a) P [jXj > 1=2]; (b) A func~ao de densidade de probabilidade de jXj. 7. Se X tem distribuic~ao exponencial com par^ametro = 1, calcule a func~ao densidade de probabilidade da variavel Y , de nida por Y = log X. 8. Se X U(0; 1), encontre a func~ao densidade de probabilidade de Y = expX . 1 9. A durac~ao de uma determinada bateria tem distribuic~ao aproximadamente Normal com media de 1000 horas e desvio padr~ao de 50 horas. Encontre a proporc~ao de baterias cuja durac~ao esta entre 800 e 1000 horas. Em um lote de 100 baterias, qual a quantidade esperada de baterias que ir~ao durar entre 800 horas e 1000 horas? 10. Uma empresa vende gr~aos de cafe em pacotes de 5 kg. O peso dos pacotes tem distribuic~ao aproximadamente Normal com aquela media e desvio padr~ao 0,1 Kg. Encontre a probabilidade de um pacote pesar no m nimo 4150 g. 11. O comprimento de agulhas tem distribuic~ao Normal com media 5cm. Sabendo que 50% das agulhas produzidas tem comprimento entre 4,95cm e 5,05 cm, encontre o desvio padr~ao da distribuic~ao. 12. Devemos selecionar uma amostra de uma populac~ao onde a quantidade de interesse tem distribuic~ao Normal com media 5 e desvio padr~ao 1,5. Qual e o menor tamanho de amostra n, tal que com probabilidade 0,97 a media amostral n~ao que a uma distancia superir a 0,8 da media populacional? 13. Duas empresas est~ao enfrentando um lit gio devido ao fato do medidor que usam em suas negociac~oes estar apresentando resultados at picos. Por quest~oes contratuiais e a empresa compradora tem dados sobre a proporc~ao de unidades que apresentam mais do que 3 um e mais do que 5 um de erro em relac~ao ao valor contratado. Estas probabilidades s~ao respectivamente 0.8413 e 0.0228. Assumindo que os erros em relac~ao ao contratado tem distribuic~ao Normal, encontre sua media e desvio padr~ao. 14. O numero de alunos que se inscrevem em um curso de psicologia e uma variavel aleatoria de Poisson com media 100. O professor responsavel pelo curso decidiu que se o numero de matr culas for 120 ou mais, ele ministrar o curso em duas turmas separadas, ao passo que se houver menos de 120 alunos matriculados, ele ensinar todos os alunos juntos em uma unica turma. Qual a probabilidade de o professor ter que lecionar para duas turmas? 15. If 10 fair dice are rolled, nd the approximate probability that the sum obtained is between 30 and 40, inclusive. Repita o calculo para 50 dados e a soma entre 150 e 200. Compare as respostas, observando que ha uma proporcionalidade respeitada nas perguntas. 16. Uma pessoa tem um estoque de 100 l^ampadas cujas vidas s~ao exponenciais inde- pendentes com media de 5 horas. Se as l^ampadas s~ao usadas uma de cada vez, com uma l^ampada defeituosa sendo substitu da imediatamente por um nova, calcule a probabilidade de que ainda haja l^ampadas em seu estoque apos 525 horas. 17. Uma seguradora tem 10.000 automoveis em sua carteira de segurados. A reivindi-cac~ao anual esperada por segurado e de R$ 500,00, com um desvio padr~ao de R$ 100,00. (a) Qual o valor esperado gasto com pagamentos de seguro por ano? 2 (b) Apresente um intervalo centrado no valor encontrado acima que tenha 95% de chances de ter o valor gasto com pagamentos de seguros por esta seguradora para o proximo ano. (c) Quanto a seguradora deveria cobrar de anuidade por carro se quiser colocar a probabilidade de terminar o ano com lucro em 99%? 3