Prova de Recuperação - Probabilidade - 2022-1

y +1/1/60+ y 0303200  Probabilidades Turma: Prof: REC, 2022 Nome (completo): Teste 1 Recentemente, um astrônomo descobriu n galáxias com propriedades similares. Para i = 1, . . . ,n, a variável aleatória Xi representa o número de buracos negros na i-ésima galáxia; pode-se supor que os Xi são independentes e seguem uma distribuição de Poisson com parâmetro λ. A probabilidade de que cada uma das n galáxias tenha pelo menos um buraco negro é: A (1 − e−λ). B e−λn. C λe−λ. D 1 − e−λn. E (1 − e−λ)n. Teste 2 Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25%, 35% e 40% da produção, respec- tivamente. Cada uma dessas máquinas produz um pequeno percentual de ítens fora da especicação  produtos defeituosos. Esse valor é de 5%, 4% e 2% para as A, B e C, respectivamente. Um parafuso é selecionado aleatori- amente, e verica-se que ele é defeituoso. Qual é a probabilidade desse parafuso ter sido produzido pela máquina A? A 0,36 B 0,21. C 0,43. D 0,54. E 0,12. Teste 3 Três moedas são lançadas: moeda A, moeda B e moeda C. São três moedas comuns não viciadas. Cara vale 1 e coroa vale 0. Criamos uma variável aleatória X denida por X = A + 2B + 3C, em que A é o valor observado na moeda A, B é o valor observado na moeda B e C é o valor observado na moeda C. Qual é a variância de X? A 175/4. B 7/2. C 3/2. D 7. E 25/2. Teste 4 Seja a variável aleatória X discreta que tem a seguinte distribuição de probabilidades: X -2 -1 1 2 P(X) 1 4 1 4 1 4 1 4 A variável discreta Y é denida por Y = X2. Considere as armações: 1) X e Y são variáveis independentes. 2) Cov(X,Y) = 0. 3) E(XY) = 0. Escolha a alternariva correta. A Somente 2 está correta. B Somente 2 e 3 estão corretas. C As armações 1, 2 e 3 estão cor- retas. D Somente 3 está correta. E Somente 1 está correta. Teste 5 Em um jogo de tiro ao alvo há 10 alvos. Um bom jogador erra um alvo com probabilidade de 10%. Qual é a probabilidade de um jogador treinado acertar mais do que 8 alvos? A 0,910. B 0,19. C 1 − 0,19. D 1,9 · 0,99 E 0,9 · 0,19. Teste 6 Uma urna contém 4 bolas azuis e 5 bolas vermelhas. Seja a variável aleatória X que assume o valor 1 se a primeira bola sorteada é vermelha e 0 se é azul. Seja também a variável aleatória Y que assume o valor 1 se a segunda bola sorteada é vermelha e 0 se é azul. O sorteio é feito sem reposição. Determine Cov(X,Y). A 0. B −5/162. C 1. D 5/162. E 5/182. Teste 7 Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial. Sabe-se que E(X) = a e E(y) = b. Então P(Y > X) vale: A b a+b. B a a+b. C b a. D 1 a+b. E a+b a . y y LTT TTT tit tl lilt +1/2/59+ e (2 e Teste 8 Sejam X e Y duas varidveis aleatorias continuas cuja densidade de probabilidade conjunta é dada por: _ f katy) para0<a<le0<y<2 fay) = { 0 caso contrario. k é uma constante. Qual o valor de P[Y < 1]? v2 5 i Mi 2k Teste 9 A densidade de probabilidade f(x) de uma varidvel aleatéria X é dada por: a -l<2<0, 1/2 0<2<1, fay q l<2r<2, 0 caso contrario. Sendo a uma constante positiva. Quanto vale P|X < 1|X > 0]? 3/4 2/3 4/5 [D] 1/2 1/3 Teste 10 Duas varidveis aleatorias, X e Y, tem distribuicgéo cumulativa de probabilidade conjunta dada por _ a-(e~@+¥) — e-*® —e-¥ 41), para + >0,y>0. Fxy(@y) = 0, caso contrario. Quanto vale f(x|y) quando X =1eY =1? 1 | et. e7?. [D] l-el. oF, @ @ LTT TTT ti tt e ll | iii” fC +1/3/58+ © Probabilidade (espacgo amostral S, eventos A,B,...): P(A) > 0; P(S) = 1; P(U;A;) = 30; P(Ai) para eventos A; disjuntos. Probabili- dade condicional: P(A|B) = P(AN B)/P(B). Temos: P(A) = 5°, P(A|Bi)P(B;) se {Bi} formam uma partigdo de S. Eventos Ai,...,An sao independentes se P(A;, 1--- Aj,) = P(Aj,) x --- x P(A;,) para qualquer escolha de 71,...,iz. Numero de possiveis escolhas ordenadas de k elementos entre n elementos: n!/(n — k)!. Numero de possiveis escolhas nao-ordenadas de k elementos entre n elementos (combinagées): n!/(k!(n — k)!) = ( L ). Varidvel aleatéria: funcéo de S para nimeros reais. Varidvel aleatoria X pode ser discreta (por exemplo, valores séo nimeros inteiros); nesse caso sua distribuigdo é caracterizada pela fungao P(X = x) para todo valor « de X e sua esperanga é E[X] = 5°, i;P(X = «;). Variavel aleatoria pode ser continua (por exemplo, valores formam intervalo dos reais); nesse caso sua distribuigdo ¢ caracterizada pela densidade fx (x), definida como a derivada de Fx (x), onde Fx (x) = P(X < a) é a funcao de distribuigéo cumulativa de X (Fx (x) é nao-decrescente, tende a 0 para x + —oo, e tende a 1 para x > oo). Portanto fx (x) = dP(X <2)/dveP(a< X < B)= fe fx (x)dx. A esperanga de varia- vel aleatoria continua X 6 E[X] = fafx(ax)dzx. A variancia de uma variavel aleatoria X qualquer 6 V[X] = E[(X —E[X])?] = E[X?]-E[X]?; o momento de ordem k de X é E[X*]. Se h(X) 6 uma funcao de variavel aleatoria X, entéo E[h(X)] = 0; h(ai)P(X = 2;) se X é discreta, e E[h(X)] = f h(x) fx ()dax se X 6 continua. Bernoulli (um ensaido, com valores 0 e 1): p = P(X = 1), e E[X] = p; V[X] = p(1 —p). Binomial (n ensaios, p probabilidade de sucesso): P(X = x) = ( " ) ra — p)”—*, e E[X] = np, V[X] = np(1 — p). Geométrica (p probabilidade de sucesso): P(X = x) = p(1—p)”, e E[X] = (1 — p)/p, V[X] = (1 — p)/p?. Poisson (parametro A): P(X = a) = e~*A*/z!, e E[X] = V[X] =). Normal N(p,07): fx (x) = (1/V 270?) exp(—(a — p)?/(207)), e ELX] = pw, V[X] = o?. Se X é N(u,07) e Y =aX +b com a £0, entado Y é N(aut+b,(ac)”). Se X é N(j11,0?) e Y 6 N(ju2,02), e X e Y sao independentes, entio W = X + Y é N(y1 + 2,07? +03)e Z=X-Y @ N(u1 — M2, 07 +03). Exponencial (parametro ): fx (x) = Aexp(—Az), e E[X] = 1/A, V[X] = 1/)?. Uma variavel multidimensional [Xj,...,Xn] discreta é¢ descrita por sua distribuigéo P(X, = 1,...,Xn = @n). A distribuigado marginal de X, é P(X, = 21) = Dene - Von P(X, = 21,...,Xn = %p). As varidveis sio independentes se e somente se P(X, = 21,...,Xn = &n) = []j_, P(Xi = a; ). A distribuigao condicional de X dado Y é P(X =a|Y =y) =P(X =2,Y = y)/P(Y =y). Uma varidvel multidimensional [X1,...,Xn] continua é descrita por sua densidade f(x1,...,7n) (uma densidade é uma fungado maior ou igual a 0, e cuja integral no espaco inteiro é 1). Dada a densidade f(x1,...,@n), a probabilidade P([X1,...,Xn] € A), para um evento em RK”, €a integral f--- ta f(@1,-..,0n)dax1...dapn. A densidade marginal de X é¢ fx, (#1) = f--- f f(1,.--,an)dx2...dxy (ou seja, integral em todas as outras coordenadas; para duas varidveis X e Y, temos fx(x) = f°. f(a,y)dy). A fungdo de distribuigdéo cumulativa Fx, Xp, (@1,--.,@n) @ igual a P(X1 < a1,...,Xn < an). Para X e Y, temos f(x,y) = 0?Fx,y(x,y)/Oxdy. Varidveis continuas sao independentes se e somente se f(#1,...,0n) = []jL, fx, (2) (equivalente a Fx,,...x,,(a1,---,tn) = [[jL, Fx, (2i)). A densidade condicional de X dado Y é f(z|y) = f(x,y)/fy (y), e a esperanga condicional de X dado Y é E[X|Y = y] = f xf(aly)dz. Para duas varidveis (discretas ou continuas), a covariancia de X e Y € Cov(X,Y) = E[(X — E[X])(Y — E[Y])] e 0 coeficiente de correlagdo de X e Y é p(X,Y) = Cov(X,Y)/(/V[X] /V[Y]). Se X é N(u,07) e Y = aX +b com a £0, entdo Y 6 N(au + b,(ac)?). Se X 6 N(p1,07) e Y € N(2,02), e X e Y sao independentes, entioW =X +Y 6 N(p1 + p2,07 +03) e Z=X—Y @ N(u1 — po, 0? +03). Teorema do Limite Central: Seja X1,X2,... uma sequéncia de varidveis aleatérias independentes e identicamente distribuidas com E[X;] = we V[Xi] = 07, e seja Sn = 0%, Xi. Entdo Z, = (Sn — np)/(oV/n) tem uma funcao de distribuigéo cumulativa que converge para a fungao de distribuicéo cumulativa da distribuicaéo normal padrao. @ @ y +1/4/57+ y 0303200  Probabilidades Turma: Prof: REC, 2022 Nome (completo): No.USP: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1) Use caneta azul ou preta para marcar as caixas e preencha a caixa totalmente para correta interpretação. Exemplo: ■. Não use ⊠. 2) Insira seu número USP nas caixas ao lado. 3) A prova tem duração de 100 minutos; não haverá tempo adicional. 4) O aluno deve comprovar sua identidade com documento ocial. 5) Alunos só podem sair da sala de prova 60 minutos após o início da prova. 6) Não é permitido o uso de calculadoras. 7) Não é permitido o uso de telefones celulares ou equipamentos móveis similares. Esses equipamentos devem ser colocados na frente da sala. Respostas dos testes: Atenção: respostas devem ser indicadas nesta folha! Teste 1: A B C D E Teste 2: A B C D E Teste 3: A B C D E Teste 4: A B C D E Teste 5: A B C D E Teste 6: A B C D E Teste 7: A B C D E Teste 8: A B C D E Teste 9: A B C D E Teste 10: A B C D E Distribuição Normal P(0≤Z<z0) z0 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 y y