Prova de Recuperação - Probabilidade - 2019-1

SOLUGAO 0303200 — Probabilidades REC, 2019 Nome (completo): Teste 1 Duas varidveis aleatorias continuas X e Y tém densidade de probabilidade conjunta dada por: _f Aat+y), O<a<y<l flay) = { 0, caso contrario. A densidade condicional de Y dado X é, para0 < y <1, f(yle) = ata f(y|z) = 1+ 2a — 32°. f(ylx) = (x+y). 2(a2 Pyle) = sparta: file) = See Teste 2 A urna 1 contém 2 bolas brancas e 3 azuis, enquanto que a urna 2 contém 6 bolas brancas e 4 bolas vermelhas. Joga-se uma moeda honesta: se der cara, retira-se 1 bola da urna 1; caso contrario retira-se 1 bola da urna 2. Sabendo-se que a cor da bola retirada foi branca, qual a probabilidade da moeda jogada ter resultado “cara”? 1/2. 4/5. MB 2/5. [D] 1/5. 1/3. Teste 3. Dada a seguinte distribuicao de probabilidades, calcular média da varidvel Z = T, + To: fit, (titz) = (a? — a? )e~ Mt) +a) para t; > 0,t2 > 0 (igual a zero fora desse conjunto). (a? — a?) (ty + ty) /4. (x? — a?) /4. 2Qa/x?. MB o2-/(2? — 0’). [D] (t1 + t2)/2. Teste 4 Uma editora verificou que um de seus livros, de 150 paginas, apresentava 100 erros tipograficos em média. Calcule a probabilidade de um leitor se deparar com mais de 1 erro nas primeiras 3 paginas do livro. 1—e?. e 2/3, 1 — 3e7?/8, [D] e?, | 1—3e-?. Teste 5 Sejam X e Y duas varidveis aleatérias com correlagdo p(X,Y) = 0, e a combinagao linear W =X —- 2Y. Sabendo-se que E(X) = 10, E(X?) = 120, E(Y) =5 e E(Y?) = 80, a variancia de W é: BB 240. 75. 325. [D] 130. 90. Teste 6 Oraio de umaesfera é um nimero aleatério uniformemente distribuido entre DL e 3L. Qual o valor esperado do volume da esfera? 5670 L3 /3. 32 L3 /3. BB 4077/3. [D] or’. 180L*. Teste 7 Umestudo de uma escola particular de ensino médio constatou que as pontuacgoes de seus alunos na prova de “Linguagem, codigos e suas tecnologias” do Enem sao normalmente distribuidas com uma média de 529 e uma variancia de 4268. As pontuacdes de seus alunos na prova “Matematica e suas tecnologias” séo normalmente distribuidas com uma média de 479 e uma varidncia de 5732. Dois alunos dessa escola foram selecionados aleatoriamente. Considere que X é uma varidvel aleatoria que indica a pontuacao na prova de Linguagem do primeiro aluno e Y a pontuagao da prova de Matematica do segundo aluno. Suponha que X e Y sao independentes. A probabilidade P(X > Y) vale: BB 0.6915. 0,9123. 0,1915. [D] 0,3085. 0,8085. SOLUGAO Teste 8 A experiéncia indica que a vida remanescente de um dispositivo nao é afetada pelo tempo de vida anterior e segue uma distribuicéo exponencial. De um lote de 100 dispositivos idénticos, observa-se que 100(1 — e~°:°) destes falham antes de 1000 h. Selecionam-se aleatoriamente 4 dispositivos de um outro lote de dispositivos idénticos. Qual a probabilidade dos 4 dispositivos durarem mais de 500 h? det, | el. l-eTl. [D] e. Ae 9,25, Teste 9 Uma maquina (A) produz 100 kg de balas por dia, sendo que 14% das balas produzidas nao atingem a especificacaéo exigida por um supermercado. Uma nova maquina (B) foi adquirida e produz 200 kg de balas por dia, sendo que 8% delas nao atingem a especificagéo do supermercado. Sabe-se que a producéo das duas maquinas é misturada. Coletada uma amostra aleatoria de 12 balas da produgao, a probabilidade de que esta amostra contenha exatamente duas balas fora da especificagao é: HB 0.66 x (0,9). 0,14 x (0,08)°. 0,2. [D] 0,33 x (0,1)1°. 0,1. Teste 10 Uma urna contém 7 bolas brancas e 3 bolas pretas. Sao retiradas 4 bolas sem reposicao. Qual a probabilidade de serem obtidas 2 bolas de cada cor? 1/4. 1/20. 29/128. i 3/10. 1/2. Teste 11 A policia rodovidria inspeciona em média 30 veiculos por hora em um ponto da estrada. Historicamente ha 1 veiculo irregular a cada 10 inspecionados. Na ultima hora foram encontrados 6 veiculos irregulares. Para avaliar se a média mudou para 2 veiculos irregulares a cada 10 inspecionados o policial calcula a probabilidade de ser razoavel a ocorréncia da tltima hora. O valor encontrado é: ( f ) 0.0.9). (5) oarosy (F ) aro 6 6 24 30 6 24 5 } (2/30)°(8/30)"*. [D] ( “4 ) (2/30)°(8/30)”*. Teste 12 Uma varidvel aleatéria discreta inteira k possui distribuicaéo uniforme no conjunto {0,1,2,...,7}. Definindo-se a varivel aleatéria X = 4% e Y = |senX\, os valores de E[Y] e ELX|Y < 0,5] sao, respectivamente: V2/2 e 1. MM v241)/4e7/2. lem. V2/2 e 3/2. [D] 1 e 0. Teste 13 Uma maratona é uma corrida de 42 km. O tempo de prova para maratonistas pode ser modelado, em torno de sua média, como uma distribuicéo normal, com uma variancia de 625 min? e média de 195 min. Em até quanto tempo os 8% mais rapidos terminam a prova? 2horase 40 mi- ‘160 minutos. 100 minutos. [D] 1 hora. 250 minutos. nutos. Teste 14 Suponha que um individuo jogue um jogo de azar em que é possivel perder R$1,00, empatar, ganhar R$3,00 ou ganhar R$5,00 cada vez que ele joga. A distribuicaéo de probabilidade para cada resultado é fornecida pela tabela seguinte. —R$1,00 | R$0,00 | R$3,00 | R$5,00 Probabilidade Sabendo-se que em média o individuo ganha R$0,80 por jogo, os valores de x e y séo respectivamente: 0,20 e 0,30. BB 0,30 ¢ 0,20. 0,10 e 0,40. [D] 0,50 e 0,00. 0,40 e 0,10. SOLUGAO Teste 15 Um experimento aleatério tem espago amostral S = {a,b,c,d}. Suponha que P({c,d}) = 3/8, P({b,c}) = 6/8 e P({d}) = 1/8. O valor de P({a}) é: 2/8. 6/8. 7/8. [D] 4/8. i i/s. Teste 16 O tempo de vida de um componente elétrico 6 uma variavel aleatoria com distribuigao uniforme entre 90h e 210h, que corresponde a uma variancia de 1200h?. Ao falhar, o componente é imediatamente substituido por um outro do mesmo tipo. Dispoe-se de 48 componentes iguais e independentes. Qual a probabilidade de que se ainda tenha em operacao um componente depois de um total de 7560 horas de operacao? 0,4332 0,3413 0,1587 BB 0.0668 0,9332 Probabilidade (espacgo amostral S, eventos A,B,...): P(A) > 0; P(S) = 1; P(U:Ai) = 3; P(Ai) para eventos A; disjuntos. Probabilidade condicional: P(A|B) = P(AN B)/P(B). Temos: P(A) = >>; P(A|B,)P(B:) se {Bi} formam uma partigaéo de S. Eventos Ai,...,An sdo independentes se P(A;, N---M Ai, ) = P(Ai,) x +++ x P(Ai,) para qualquer escolha de i1,... ,tx. Numero de possiveis escolhas ordenadas de k elementos entre n elementos (arranjos): n!/(n —k)!. Numero de possiveis escolhas néo-ordenadas de k elementos entre n elementos (combinagées): n!/(k!(n — k)!) = ( i ). Variavel aleatéria: funcao de S para ntimeros reais. Varidvel aleatoria X pode ser discreta (por exemplo, valores séo ni- meros inteiros); nesse caso sua distribuicgéo é caracterizada pela fungao P(X = x) para todo valor x de X e sua esperanca é ELX] = 30, 2:P(X = zi). Varidvel aleatoria pode ser continua (por exemplo, valores formam intervalo dos reais); nesse caso sua distribuicdo é caracterizada pela densidade fx (x), definida como a derivada de Fx (x), onde Fx (x) = P(X < x) éa fungao de distribuigéo cumulativa de X (Fx(x) é nao-decrescente, tende a 0 para « — —oo, e tende a 1 para x — oo). Portanto fx (x) =dP(X <2)/drePia< X < B)= fe fx(a)dx. A esperanga de varidvel aleatoria continua X é E[X] = f xfx(x)dx. A variancia de uma variavel aleatoria X qualquer é V[X] = E[(X —E[X])?] = E[X?] —E[X]?; o momento de ordem k de X 6 E[X*]. Se h(X) € uma fungao de varidvel aleatéria X, entao E[h(X)] = >>, h(a: )P(X = xi) se X é discreta, e E[h(X)] = f h(x) fx (x)dax se X é continua. Bernoulli (um ensaio, com valores 0 e 1): p = P(X = 1), e E[X] = p; V[X] = p(1 —p). Binomial (n ensaios, p probabilidade de sucesso): P(X = x) = ( " ) p’(1—p)"~*, e E[X] = np, V[X] = np(1 — p). Geométrica (p probabilidade de sucesso): P(X = x) = p(1 — p)”, e E[X] = (1 — p)/p, V[X] = (1 — p)/p?. Poisson (parametro \): P(X = 2) = e~*A*/a!, e EX] = V[X] =). Uniforme entre ae b: fx(x) = 1/(b— a) entre ae b, e ELX] = (a+ b)/2, V[X] = (b—a)?/12. Normal N(j,07): fx (x) = (1/W2702) exp(—(x — p)?/(207)), e ELX] = p, V[X] = 0?. Se X 6 N(p,0?) e Y = aX +b com a #0, entao Y é N(ap +b, (ac)’). Exponencial (parametro \): fx (x) = \exp(—Azx), e ELX] = 1/A, V[X] = 1/)?. Uma varidvel multidimensional [X1,...,Xn] discreta é descrita por sua distribuigaéo P(X) = 21,...,Xn = @n). A distribui- céo marginal de X; é P(X1 = x1) = Yes Hv P(X, = 21,...,Xn = In). As varidveis sio independentes se e somente se P(X, = @1,...,Xn = In) = Ti, P(X; = a). Para varidveis discretas, a distribuigdéo condicional de X dado Y é P(X =a2lY =y) =P(X =2,Y =y)/P(Y = y); temos também ELX|Y = y] = 30, eiP(X = a2i/Y = y). Uma varidvel multidimensional [X1,...,Xn] continua é descrita por sua densidade f(1,...,¢n) (uma densidade é uma funcgéo maior ou igual a 0, e cuja integral no espacgo inteiro é 1). Dada a densidade f(x1,...,@n), a probabilidade P([X1,...,Xn] € A), para um evento em R", é a integral fuoSy f(v1,...,0n)dxz1...dtm. A densidade marginal de X1 é fx,(41) = fo Sf flar,...,an)dx2...dan (ou seja, integral em todas as outras coordenadas; para duas varidveis X e Y, temos fx(x) = f°. f(x,y)dy). A fungaéo de distribuigaéo cumulativa Fx,,...,x,,(01,...,tn) é igual a P(X, < @1,---;Xn < an). Para X e Y, temos f(x,y) = 0°Fx,y(2,y)/Oxdy. Varidveis continuas sio independentes se e somente se f(x1,...,0n) = [[fL, fx, (xi) (equivalente a F'x,,...,x,(€1,-..,0n) = []f_, F'x,(xi)). A densidade condicional de X dado Y é f(xly) = f(z,y)/fy(y), e a esperanga condicional de X dado Y é E[X|Y = y] = f xf(aly)dz. Para duas varidveis (discretas ou continuas), a covariancia de X e Y é Cov(X,Y) = E[(X — E[X])(Y — E[Y])] e 0 coeficiente de correlagao de X e Y é p(X,Y) = Cov(X,Y)/(./V[X]/V[Y]). Se X é N(y,07) e Y = aX +b coma F 0, entaéo Y 6 N(ay 4+ b,(ac)*). Se X @ N(t1,07) e Y 6 N(j12,03), e X e Y sao independentes, entao W = X + Y é¢ N(ju + p2,07 +03) e Z= X —Y & N(jn — pio, 07 +03). Teorema do Limite Central: Seja X1,X2,... uma sequéncia de varidveis aleatorias independentes e identicamente distri- buidas com E[Xi] = pp e V[Xi] = 0°, € seja Sn = S70, Xi. Entdo Z, = (Sn — nu)/(oV/n) tem uma fungao de distribuigdo cumulativa que converge para a fungao de distribuicéo cumulativa da distribuicéo normal padrao. Solução 0303200 – Probabilidades Turma: Prof: REC, 2019 Nome (completo): No.USP: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1) Use caneta azul ou preta para marcar as caixas e preencha a caixa total- mente para correta interpretação. Exemplo: ■. Não use ⊠. 2) Insira seu número USP nas caixas ao lado. Note que há espaço para 8 dígitos! Caso seu número USP tenha 7 dígitos, considere 0 como o pri- meiro dígito à esquerda. Por exemplo, se seu número USP fosse 1234567, você preencheria: 0 1 2 3 4 5 6 7 3) A prova tem duração de 100 minutos; não haverá tempo adicional. 4) O aluno deve comprovar sua identidade com documento oficial. 5) Alunos só podem sair da sala de prova 60 minutos após o início da prova. 6) Não é permitido o uso de calculadoras. 7) Não é permitido o uso de telefones celulares ou equipamentos móveis simi- lares. Esses equipamentos devem ser colocados na frente da sala. 8) No topo de cada folha você encontra três números no formato +X/Y/Z+. O número X é o número da sua prova; ele tem que ser o mesmo em todas as folhas da sua prova. Respostas dos testes: Atenção: respostas devem ser indicadas nesta folha! Teste 1: A B C D E Teste 2: A B C D E Teste 3: A B C D E Teste 4: A B C D E Teste 5: A B C D E Teste 6: A B C D E Teste 7: A B C D E Teste 8: A B C D E Teste 9: A B C D E Teste 10: A B C D E Teste 11: A B C D E Teste 12: A B C D E Teste 13: A B C D E Teste 14: A B C D E Teste 15: A B C D E Teste 16: A B C D E Distribuição Normal P(0≤Z<z0) z0 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990