P2 - Probabilidade - 2019-2

Solução 0303200 – Probabilidades Turma: Prof: Prova 2, 2019 Nome (completo): Teste 1 Uma caixa contém nove notas de 2 reais, e uma nota de 50 reais. Retiro aleatoriamente duas notas dessa caixa, sem reposição; a variável aleatória X é o valor total, em reais, das duas notas retiradas da caixa. O valor esperado de X é A 4/5 B 16/5 C 80/5 D 68/5 E 52/5 Teste 2 Uma moeda honesta é lançada 3 vezes. Seja X o número de caras nos dois primeiros lançamentos e Y o número de caras nos dois últimos lançamentos. A covariância Cov(X,Y ) vale: A 3/8 B −5/4 C 1/8 D 5/4 E 1/4 Teste 3 Um plantador de côcos divide sua fazenda em lotes de 10.000m2 para efetuar o plantio rotativo. Ele tem 500 lotes de côco no total. Todo mês ele colhe côcos de 10 lotes onde os côcos já estão maduros. Em 10% dos lotes de plantas maduras, em média, ocorrem pragas e os côcos não podem ser colhidos. Qual a probabilidade de em 1 mês não conseguir colher os côcos em apenas 2 dos lotes? A 2/500 B 2/50 C (0,1 × 0,9)/250 D 45 × 0,120,98 E 8 × 0,9 Teste 4 Cada viagem que um cobrador profissional realiza até a casa do devedor custa 25 reais. Se encontrar o devedor em casa, evento que tem probabilidade de 1/4, o cobrador consegue receber o valor devido; os eventos relacionados a diferentes viagens são independentes. Qual é o custo médio de cobrança de um devedor ? A 150 B 75 C 4 D 125 E 100 Teste 5 Uma variável aleatória contínua X possui a seguinte função densidade de probabilidade: f(x) =    x, 0 ≤ x ≤ 1 2 − x, 1 < x ≤ 2 0, caso contrário. O valor esperado de X é: A 1 B 0 C 2 D 0,5 E 1,5 Teste 6 O guarda florestal Pedro sabe que em média ocorrem 2 incêndios florestais acidentais por mês na reserva de que cuida, onde o número de incêndios em um mês segue uma distribuição de Poisson. Além disso, os incêndios em cada mês são independentes entre si. Em cinco meses de observação, qual a probabilidade de ocorrerem incêndios apenas em 1 dos meses? A 5e−8(1 − e−2) B 5/12 C e−2(1 − e−2) D 5e−2 E 5e−5/12/12 Teste 7 Uma variável aleatória contínua X possui a seguinte função densidade de probabilidade: f(x) = (1/τ)e−x/τ, x ≥ 0 para τ > 0. O valor esperado de X é: A τ B 1/τ 2 C τ 2 D 0 E 1/τ SOLUGAO Teste 8 Um dado honesto é arremessado duas vezes, e define-se uma varidvel aleatéria X que representa o nimero de arremessos em que o resultado é igual a “1”. A varidncia de X vale: 1/36 12/36 14/36 [D] 20/36 BB 10/36 Teste 9 Um meliante possui um conjunto grande de chaves especiais para tentar abrir uma porta de uma mansao. A probabilidade de cada chave abrir a porta é 1/10 e cada tentativa leva exatamente 2 minutos. Uma viatura passaré em exatamente 6,5 minutos apés o meliante comecar suas tentativas e o prenderé com certeza se o meliante estiver fora da casa, mas com probabilidade 0,1 se este estiver dentro da casa. Qual é 0 valor mais pr6éximo da probabilidade do meliante ser preso? 0,5 0,65 HB 0.76 [D] 0,8 0,72 Teste 10 A tabela abaixo mostra a distribuicao de probabilidade conjunta de duas varidveis discretas X e Y. Nao foram mostrados os valores de a e b mas sabe-se que as duas varidveis sao independentes. ; P(Y =1) | P(Y =2) | P(Y =3) AX=a) P(X=5)| 008 | a | 002 _| px=o)| 01 |b | 0.03 _| Determine P(X — Y = 4). 0,58 0,7 0,15 0.23 0,37 Teste 11 Sejam X e Y duas varidveis aleatorias discretas com valores inteiros. Sabe-se que sao possiveis apenas os pares (x,y) no conjunto A = {a,y € Z: |x| + |y| < 1}; além disso, todos os pares nesse conjunto sAo equiprovaveis. Calcule E[Y|X = 1], o valor esperado de Y usando a distribuigéo de probabilidade condicional de Y dado {X = 1}. A resposta correta é: 2 0,2 0,6 [D] 1 Mo Teste 12 Um dado possui a seguinte propriedade: os resultados 1, 2 e 3 sao equiprovaveis, e os resultados 4, 5 e 6 também sao equiprovaveis; no entanto, a probabilidade de se obter um 5 é 0 dobro da de se obter um 1. Se a variavel aleatoria X representa o resultado de um arremesso deste dado, o valor esperado de X é: 3,5 3 | [D] 10 7 Teste 13 Sabe-se que apenas 36% dos alunos da disciplina de Probabilidade compram o livro-texto enquanto 64% usam livros da biblioteca e/ou estudam apenas por notas de aula e materiais disponiveis no Moodle. Foram selecionados aleatoriamente 25 alunos da disciplina. A probabilidade de que o nimero de alunos que compram o livro-texto dentre os selecionados seja maior que 5 desvios-padrdes acima de seu valor médio é (lembre-se: desvio padrao é a raiz quadrada da variancia): 21 / on 25 25 _ x 25-2 x 25-a@ Aji > (2 ) ostro.36 > ( ® )os6r0.64 xr=1 xe=22 2 (25 (25 [B] x 25-2 25-2 x BI > ( , ) 030 0,64 Ay, ( : ) 030 0,64 r=21 r=22 25 25 x 25-x C]1— > ( : ) 036 0,64 i SOLUGAO Teste 14 —_Considere duas varidveis aleatérias X e Y, com valores esperados E[|X] = 0 e E[Y] = 4 e variancias o?(X) =3e07(Y) =5, respectivamente. O valor de E[X? + Y?] é: 6 12 0 24 48 Teste 15 Um shopping de Sao Paulo possui um supermercado e uma farmacia. Sejam as variaveis aleatérias X e Y, que representam o ntimero de vezes que um cliente assiduo desse shopping faz compras no supermercado e na farmacia durante um més, respectivamente. A distribuigéo de probabilidade conjunta esta na tabela abaixo. O valor médio do ntimero de vezes que um cliente fez compra no supermercado dado que comprou na 3 vezes na farmacia vale: p(y) z=1 | 0,05 0,10 0,05 xz=2 | 0,10 0,15 0,10 x=A4 } 0,25 0,15 0,05 3 11/4 MB o/4 [D] 7/2 1 Probabilidade (espacgo amostral S, eventos A,B,...): P(A) > 0; P(S) = 1; P(U:Ai) = 3; P(Ai) para eventos A; disjuntos. Probabilidade condicional: P(A|B) = P(AN B)/P(B). Temos: P(A) = 57, P(A|B:)P(B:) se {B;} formam uma partigao de S. Eventos Ai,...,An sdo independentes se P(A;, N---M Ai, ) = P(Ai,) x +++ x P(Ai,) para qualquer escolha de i1,... ,tx. Numero de possiveis escolhas ordenadas de k elementos entre n elementos (arranjos): n!/(n —k)!. Numero de possiveis escolhas néo-ordenadas de k elementos entre n elementos (combinagées): n!/(k!(n — k)!) = ( i ). Variavel aleatéria: funcao de S para nimeros reais. Varidvel aleatoria X pode ser discreta (por exemplo, valores sao numeros inteiros); nesse caso sua distribuigdéo é caracterizada pela fungao P(X = x) para todo valor x de X e sua esperanca é ELX] = 30, 2iP(X = 2). Varidvel aleatéria pode ser continua (por exemplo, valores formam intervalo dos reais); nesse caso sua distribuicdo é caracterizada pela densidade fx (x), definida como a derivada de Fx (x), onde Fx (x) = P(X < x) éa fungao de distribuigéo cumulativa de X (F'x(x) é nao-decrescente, tende a 0 para « — —oo, e tende a 1 para x — oo). Portanto fx (x) =dP(X <2)/drePia< X < B)= fe fx(a)dx. A esperanga de varidvel aleatoria continua X é E[X] = f xfx(x)dx. A variancia de uma variavel aleatoria X qualquer ¢é V[X] = E[(X —E[X])?] = E[X?] —E[X]?; o momento de ordem k de X 6 E[X*]. Se h(X) € uma fungao de variavel aleatéria X, entao E[h(X)] = >>, h(w:)P(X = xj) se X é discreta, e E[h(X)] = f h(x) fx (x)dax se X é continua. Bernoulli (um ensaio, com valores 0 e 1): p = P(X = 1), e E[X] = p; V[X] = p(1 —p). Binomial (n ensaios, p probabilidade de sucesso): P(X = x) = ( " ) p’(1—p)"~*, e E[X] = np, V[X] = np(1 — p). Geométrica (p probabilidade de sucesso): P(X = x) = p(1— p)”, e E[X] = (1 — p)/p, V[X] = (1 — p)/p?. Poisson (parametro \): P(X = 2) = e~*A*/a!, e ELX] = V[X] =). Uma varidvel multidimensional [X1,...,X»] discreta é descrita por sua distribuigaéo P(X1 = 71,...,Xn =n). A distribuigdo marginal de X; ¢ P(X, = 21) = es > Dee P(X, = 21,...,Xn = In). As varidveis sio independentes se e somente se P(Xy = a1,...,.Xn = tn) = [][f_, P(X: = vi). Para varidveis discretas, a distribuigéo condicional de X dado Y é P(X =a2lY =y) =P(X =2,Y =y)/P(Y = y); temos também ELX|Y = y] = 30, eiP(X = a2i/Y = y). Para duas varidveis (discretas ou continuas), a covariancia de X e Y é Cov(X,Y) = E[(X — E[X])(Y — E[Y])] e 0 coeficiente de correlagao de X e Y é p(X,Y) = Cov(X,Y)/(./V[X]/V[Y]). Solução 0303200 – Probabilidades Turma: Prof: Prova 2, 2019 Nome (completo): No.USP: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1) Use caneta azul ou preta para marcar as caixas e preencha a caixa total- mente para correta interpretação. Exemplo: ■. Não use ⊠. 2) Insira seu número USP nas caixas ao lado. Note que há espaço para 8 dígitos! Caso seu número USP tenha 7 dígitos, considere 0 como o pri- meiro dígito à esquerda. Por exemplo, se seu número USP fosse 1234567, você preencheria: 0 1 2 3 4 5 6 7 3) A prova tem duração de 100 minutos; não haverá tempo adicional. 4) O aluno deve comprovar sua identidade com documento oficial. 5) Alunos só podem sair da sala de prova 60 minutos após o início da prova. 6) Não é permitido o uso de calculadoras. 7) Não é permitido o uso de telefones celulares ou equipamentos móveis simi- lares. Esses equipamentos devem ser colocados na frente da sala. 8) No topo de cada folha você encontra três números no formato +X/Y/Z+. O número X é o número da sua prova; ele tem que ser o mesmo em todas as folhas da sua prova. Respostas dos testes: Atenção: respostas devem ser indicadas nesta folha! Teste 1: A B C D E Teste 2: A B C D E Teste 3: A B C D E Teste 4: A B C D E Teste 5: A B C D E Teste 6: A B C D E Teste 7: A B C D E Teste 8: A B C D E Teste 9: A B C D E Teste 10: A B C D E Teste 11: A B C D E Teste 12: A B C D E Teste 13: A B C D E Teste 14: A B C D E Teste 15: A B C D E