Lista 3 - Física 2 2021-2

Fisica II para a Escola Politécnica - 4323102 2018-2 LISTA DE EXERCICIOS 3 Esta lista trata dos conceitos de ondas harmonicas progressivas (funcgao de onda, inten- sidade, interferéncia, velocidade de propagacao, frequéncia, periodo, comprimento de onda, numero de onda, etc), ondas estaciondrias, modos normais e ondas sonoras (intensidade, efeito Doppler, velocidades supersénicas). Tais conceitos sao abordados nos capitulos 5 (segdes 5.1 a 5.7) e 6 (segdes 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.8 e 6.9) do livro-texto: e Moysés Nussenzveig, Curso de Fisica Basica, vol. 2. - Fluidos, Oscilagoes e Ondas e Calor. Ondas harmO6nicas progressivas 1. Tsunami! Em 26 de dezembro de 2004, um forte terremoto ocorreu na costa da Sumatra e provocou ondas imensas que mataram cerca de 200 mil pessoas. Os satélites que observavam essas ondas do espaco mediram 800 km de uma crista de onda para a seguinte, e um periodo entre ondas de 1 h. Qual era a velocidade dessas ondas em m/s e km/h em alto mar? A sua resposta ajuda vocé a entender por que as ondas causaram tamanha devastacgao? R: 220 m/s ~ 800 km/h. 2. [Poli 2007] A figura abaixo mostra my pv ‘\ duas fotografias tiradas em instantes oost NL Noy \ \ de tempo diferentes de uma corda mi | |i 1 | | \ na qual se propaga, no sentido posi- =, ney yy Voy 4 . . ne E 0.00 \ ' \ ! tivo do eixo x, uma onda harmonica = \ oy 7, . 7, tografia (linha cheia) foi tirada no -0,05 — ee pom wen ye “pope co instante de tempo t = 0 e a se- wo Pe fn lof hen nnn A . . . Voy / gunda (linha tracejada) no instante 0,10 MF Oe JN de tempo t = 0,50 s. 0 2 4 6 8 10 x(m) (a) Determine a velocidade v de propagacao da onda na corda; (b) Determine a amplitude, o numero de onda, a frequéncia angular a constante de fase e escreva a equacao do perfil de onda y(z, t); (c) Determine a velocidade transversal mAxima de um ponto da corda. R: (a) v = 2 m/s (b) A = 9,1 m; k = 0,57 m'; w = 7871; 6 = 0; y(2,t) = 0,1 cos (Za — xt) m (c) 0,17 m/s. 3. Verifique explicitamente que as seguintes funcdes sao solucdes da equacao de onda: (a) y(a,t) = k(x + vt); (b) y(a,t) = Ae*@-’), onde Ae k sdo constantes e i = /—1; 1 Instituto de Fisica - USP Fisica II para a Escola Politécnica - 4323102 2018-2 4. A fungao de onda de uma onda harmonica numa corda é y(a,t) = 0,001 sin [62,87 +314t] (teyemmetems) (a) Em que sentido a onda avanga e qual a sua velocidade? (b) Calcule o comprimento de onda, a frequéncia e o periodo da onda. (c) Qual a aceleragaéo maxima de um ponto da corda. R: sentido negativo do eixo x com velocidade v = 5 m/s (b) AX = 10 cm; T = 0,02 se f = 50 Hz (c) maz = 98,6 m/s?. 5. [Poli 2010] O perfil de uma onda transversal progressiva em uma corda muito longa é dado, em unidades do sistema internacional por: y(x,t) = 2,0 x 107? cos [27(0, 5a + 102)] Sabendo que a tensao aplicada na corda é de 100 N, determine: (a) a amplitude de vibragao desta corda; (b) o comprimento de onda e a frequencia (em Hz); (c) o sentido e a velocidade de propagacao da onda; (d) a distancia, ao longo da corda, entre dois pontos cuja diferenca de fase é 7/6; R: (a) A = 2,0 x 10-7 m (b) f = 10 Hz (c) v = 20 m/s no sentido negativo de x (d) 0,17 m. 6. [Poli 2006] Uma corda uniforme, de 20 m de comprimento e massa de 2 kg, esta esticada sob uma tensao de 10 N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude de 3 cm e frequéncia de 5 oscilagdes por segundo. O deslocamento inicial da extremidade é de 1,5 cm para cima. (a) Ache a velocidade de propagagao v e o comprimento de onda 4 da onda progressiva gerada na corda. (b) Escreva, como fungao do tempo, o deslocamento transversal y de um ponto da corda situado a distancia x da extremidade que se faz oscilar, apds ser atingido pela onda e antes que ela chegue a outra extremidade. (c) Calcule a intensidade J da onda progressiva gerada. R: v = 10 m/s, \ = 2,0 m (b) y(z,t) = 0,03 cos (wx — 107t + F) m (c) T= on W. 2 Instituto de Fisica - USP F´ısica II para a Escola Polit´ecnica - 4323102 2018-2 Ondas n˜ao-harmˆonicas 7. A forma de uma onda em uma corda em um instante espec´ıfico ´e mostrada na figura. A onda est´a se deslo- cando para a direita, no sentido +x. (a) Determine o sentido da velocidade transversal dos seis pontos assinalados sobre a curva. Quando a velocidade for nula, mencione este fato. Explique seu racioc´ınio. (b) Determine o sentido da acelera¸c˜ao transversal dos seis pontos assinalados sobre a curva. Explique seu racioc´ınio. (c) Como suas respostas deveriam ser alteradas se a onda est´a se deslocando para a esquerda, no sentido −x? R: 1, 0; 2, +; 3, -; 4, 0; 5, -; 6, + (b) 1, -; 2, +; 3, -; 4, +; 5, -; 6, 0; (c) em (a), as respostas teriam o sinal contr´ario e em (b) n˜ao haveria altera¸c˜ao. Superposi¸c˜ao (interferˆencia) de ondas 8. Determine a amplitude da onda resultante da combina¸c˜ao de duas ondas senoidais que se propagam no mesmo sentido, possuem mesma frequˆencia, tˆem amplitudes de 3,0 cm e 4,0 cm, e a onda de maior amplitude est´a com a fase adiantada de π 2 rad. R: y(x, t) = 5, 0 sin(kx − ωt + 0, 93) cm. 9. Dois pulsos ondulat´orios triangulares est˜ao se aproximando em uma corda esticada, como indicado na figura. Os dois pulsos s˜ao idˆenticos e se deslocam com velocidade igual a 2,0 cm/s. A distˆancia entre as extremidades dianteiras dos pulsos ´e igual a 1,0 cm para t = 0. Desenhe a forma da corda para t = 0, 250 s, t = 0, 750 s, t = 1, 000 s e t = 1, 250 s. 10. Reflex˜ao. Um pulso ondulat´orio deslocando- se sobre uma corda para t = 0 possui as di- mens˜oes indicadas na figura. A velocidade da onda ´e igual a 5,0 m/s. 3 Instituto de F´ısica - USP Fisica II para a Escola Politécnica - 4323102 2018-2 (a) Se o ponto O for uma extremidade fixa, desenhe a onda total sobre a corda para t= 1,0 ms, 2,0 ms, 3,0 ms, 4,0 ms, 5,0 ms, 6,0 ms e 7,0 ms; (b) Repita o item (a) quando o ponto O for uma extremidade livre. Ondas estacionarias e modos normais 11. Uma onda estacionaria resulta da soma de duas ondas transversais progressivas dadas por: yi = 0,05 cos(ra — 4rt) yo = 0,05 cos(aax + 4at) onde x, y, € yg estao em metros e t em segundos. (a) Qual é o menor valor positivo de x que corresponde a um no? (b) Em quais instantes no intervalo 0 < t < 0,5, a particula em x = 0 tera velocidade nula? R: (a) = 0,5 m (b) t=0s, 0,258 €0,5s. 12. [Poli 2010] Uma corda de comprimento L presa nas extremidades 7 = 0 e « = L, sub- metida a uma tensao de 96 N, oscila no terceiro harmoénico de uma onda estacionaria. O deslocamento transversal da corda é dado por T y(a,t) = 5sin a) sin(6zt) onde x e y sao dados em metros e t em segundos. (a) Qual é o comprimento L da corda? (b) Qual é a massa da corda? (c) Calcule a velocidade transversal maxima de um ponto situado sobre um ventre da onda. (d) Se a corda oscilar no quinto harménico, qual sera o periodo de oscilagao? R: (a) L =6 m (b) m = 4,0 kg (c) uy’ = 30a m/s (d) T5 = 0,2 m. 13. O segmento de uma corda de certo instrumento entre a ponte de apoio das cordas e a extremidade superior (a parte que vibra livremente) possui comprimento igual a 60,0 cm e massa igual a 2,0 g. Quando tocada, a corda emite um nota Ay (440 Hz). (a) (a) Em que ponto o violoncelista deve colocar o dedo (ou seja, qual é a distancia x entre o ponto e a ponte de apoio das cordas) para produzir uma nota Ds (587 Hz)? Nas duas notas A, e Ds a at r corda vibra no modo fundamental. Lise f (b) Sem afinar novamente, é possivel produzir uma ij A nota G4, (392 Hz) nessa corda? Justifique sua re- Sa ie / sposta. ‘ — R: (a) 45 cm, (b) nao. 4 Instituto de Fisica - USP Fisica II para a Escola Politécnica - 4323102 2018-2 14. Uma corda sob tensao Tj; oscila no terceiro harmonico com uma frequéncia f3, e as ondas na corda tem comprimento de onda A3. Se aumentarmos a tensao da corda para T; =4T;, de forma que a corda continue a oscilar no terceiro harmonico, qual sera: (a) a frequéncia de oscilagaéo em termos de f3; (b) o comprimento da onda em termos de 3? R: (a) f = 2fs (b) A= As. 15. Uma corda, submetida a uma tensaéo de 200 N e presa em ambas as extremidades, oscila no segundo harmonico de uma onda estaciondria. O deslocamento da corda é dado por: 1 y(a;t) = 10 sin (5) sin(127t) onde x = 0 numa das extremidades da corda, 7 é dado em metros e t em segundos. (a) Qual é o comprimento da corda? (b) Qual é a velocidade escalar das ondas na corda? (c) Qual é a massa da corda? (d) Se a corda oscilar num padrao de onda referente ao terceiro harmonico, qual sera o periodo de oscilagao? R: (a) L =4m (b) v = 24 m/s (c) m= 1,39 kg e (d) 7 =0, 111 s. 16. Desafinada. A corda B de uma guitarra feita de aco (densidade igual a 7800 kg/m?) possui comprimento igual a 63,5 cm e didmetro igual a 0,406 mm. A frequéncia fun- damental é f = 247 Hz. (a) Ache a tensao na corda. (b) Quando a tensao F’ varia de uma pequena quantidade AF’, a frequéncia f varia de uma pequena quantidade Af. Mostre que Af 1AF f 2F R: (a) 99,4 N Ondas sonoras 17. Dois alto-falantes, A e B, emitem sons uniformemente no ar, em todas as : direcoes, a 20°C. A poténcia actistica emi- $ . tida por A é igual a 8 x 10°* Wi, ea poténcia de B é igual a 6 x 107° W. Os 4.00 m —s<— 3.00 m dois alto-falantes estao vibrando em fase | com frequéncia igual a 172 Hz. 5 Instituto de Fisica - USP F´ısica II para a Escola Polit´ecnica - 4323102 2018-2 (a) Determine a diferen¸ca de fase entre os dois sinais em um ponto C ao longo da reta que une A e B, a 3 m de B e 4 m de A. (b) Determine a intensidade e o n´ıvel da intensidade sonora no ponto C devido ao alto-falante A quando o alto falante B ´e desligado, bem com a intensidade e o n´ıvel da intensidade sonora devido ao alto-falante B quando o alto-falante A ´e desligado. (c) Quando os dois alto-falantes est˜ao ligados, calcule a intensidade e o n´ıvel da intensidade sonora no ponto C. 18. [HMN 6.5] O tubo de Kundt que costumava ser empregado para medir a velocidade do som em gases, ´e um tubo de vidro que cont´em o g´as, fechado numa extremidade por uma tampa M que se faz vibrar com uma frequˆencia ν conhecida (por exemplo, acoplando-a a um alto falante) e na outra por um pist˜ao P que se faz deslizar, variando o comprimento do tubo. O tubo cont´em um p´o fino (serragem, por exemplo). Ajusta- se o comprimento do tubo com o auxilio do pist˜ao at´e que ele entre em ressonˆancia com a frequˆencia ν, o que se nota pelo refor¸co da intensidade sonora emitida. Observa-se ent˜ao que o p´o fica acumulado em mont´ıculos igualmente espa¸cados, de espa¸camento ∆ℓ, que se pode medir. (a) A que correspondem as posi¸c˜oes dos topos dos mont´ıculos? (b) Qual ´e a rela¸c˜ao entre ∆ℓ, ν e a velocidade do som no g´as? (c) Com o tubo cheio de CO2 a 20◦C e ν = 880 Hz, o espa¸camento m´edio medido ´e de 15,2 cm. Qual ´e a velocidade do som no CO2 a 20◦C? R: (b) v = 2ν∆ℓ (c) 267,5 m/s Batimentos 19. Dois violonistas tentam tocar a mesma nota de comprimento de onda igual a 6,50 cm ao mesmo tempo, mas um dos instrumentos est´a levemente desafinado e toca uma nota de comprimento igual a 6,52 cm. Qual ´e a frequˆencia de batimentos que esses m´usicos ouvem quando tocam juntos. R: ≃ 16 Hz.. 20. Dois tubos de ´org˜ao, abertos em uma extremidade e fechados em outra, medem cada um 1,14 m de comprimento. O comprimento de um desses tubos ´e aumentado em 2 cm. Calcule a frequˆencia de batimentos que eles produzem quando tocam juntos em sua frequˆencia fundamental. R: 1,3 Hz. 21. Duas cordas idˆenticas sob a mesma tens˜ao F possuem uma frequˆencia fundamental igual a f0. A seguir, a tens˜ao em uma delas ´e aumentada de um valor bastante pequeno ∆F. (a) Se elas s˜ao tocadas ao mesmo em sua frequˆencia fundamental, mostre que a frequˆencia do batimento produzido ´e fbat = 1 2f0 ∆F F . 6 Instituto de F´ısica - USP F´ısica II para a Escola Polit´ecnica - 4323102 2018-2 (b) Duas cordas de violino idˆenticas, quando est˜ao em ressonˆancia e esticadas com a mesma tens˜ao, possuem uma frequˆencia fundamental igual a 440 Hz. Uma das cordas ´e afinada novamente, tendo sua tens˜ao aumentada. Quando isso ´e feito, ouvimos 1,5 batimentos por segundo quando as duas cordas s˜ao puxadas simultaneamente em seus centros. Em que porcentagem variou a tens˜ao na corda? R: ≃ 0, 7 %. Efeitos Doppler (opcional) 22. [HMN 6.12] Dois trens viajam em sentidos opostos, sobre trilhos, com velocidades da mesma magnitude. Um deles vem apitando. A frequˆencia do apito percebida por um passageiro do outro trem varia entre os valores de 348 Hz, quando est˜ao se aproximando, e 249 Hz quando est˜ao se afastando. A velocidade de som no ar ´e de 340 m/s. (a) Qual ´e a velocidade dos trens (em km/h)? (b) Qual ´e a frequˆencia do apito? R: (a) 90 km/h, (b) 300 Hz 23. [HMN 6.14] Uma fonte sonora fixa emite som de frequˆencia ν0. O som ´e refletido por um objeto que se aproxima da fonte com velocidade u. O eco refletido volta para a fonte, onde interfere com as ondas que est˜ao sendo emitidas, dando origem a batimentos, com frequˆencia ∆ν. Mostre que ´e poss´ıvel determinar a magnitude |u| da velocidade do objeto m´ovel em fun¸c˜ao de ∆ν, ν0 e da velocidade do som v. O mesmo princ´ıpio ´e utilizado (com ondas eletromagn´eticas em lugar de ondas sonoras) na detec¸c˜ao do excesso de velocidade nas estradas, com aux´ılio do radar. R: |u| = v∆ν 2ν0+∆ν 24. Medicina com ultra-som. Uma onda sonora de 2 MHz se propaga ao longo do ventre de uma mulher gr´avida, sendo refletida pela parede do cora¸c˜ao do feto. A parede do cora¸c˜ao se move no sentido do receptor do som quando o cora¸c˜ao bate. O som refletido ´e a seguir misturado com o som transmitido, e 85 batimentos por segundo s˜ao detectados. A velocidade do som nos tecidos do corpo ´e 1500 m/s. Calcule a velocidade da parede do cora¸c˜ao do feto no instante em que essa medida ´e realizada. Velocidades supersˆonicas e cone de Mach (opcional) 25. [HMN 6.18] Um avi˜ao a jato supersˆonico est´a voando a Mach 2 (o dobro da velocidade do som). (a) Qual ´e o ˆangulo de abertura do cone de Mach? (b) 2,5 s depois de o avi˜ao ter passado diretamente acima de uma casa, a onda de choque causada pela sua passagem atinge a casa, provocando um estrondo sˆonico. A velocidade do som no ar ´e de 340 m/s. Qual ´e a altitude do avi˜ao em rela¸c˜ao `a casa? R: (a) 30◦ (b) 981 m. 7 Instituto de F´ısica - USP Fisica II para a Escola Politécnica - 4323102 2018-2 Desafio 26. [HMN 5.11/5.12] Duas cordas muito lon- gas, bem esticadas, de densidades lineares . [41 € [lg, estao ligadas uma a outra. Toma- A 2 se a posicao de equilibrio como eixo x e — As —wAy a origem O no ponto de juncao, sendo BO x y o deslocamento transversal da corda A (figura). Uma onda harmonica progressiva y;(x,t) = A; cos(kiz — wt), viajando na corda 1 (x < 0), incide sobre o ponto de juncao, fazendo-o oscilar com frequéncia angular w. Isto produz na corda 2 (2 > 0) uma onda progressiva de mesma frequéncia y;(z,t) = A, cos(kex — wt) (onda transmitida) e da origem na corda 1 a uma onda que viaja em sentido contrario y,(x,t) = By, cos(kyx + wt) (onda refletida). Dada a onda incidente yi, de amplitude A,, deseja-se obter a amplitude de reflerdo p = B,/A, ¢ a amplitude de transmissdo T = Ao/A\. (a) Dada a tensao T da corda, calcule as velocidades de propagacao v, € v2 nas cordas 1 e 2, bem como os respectivos nimeros de onda k; e ky. O deslocamento total na corda 1 é y; + y, e na corda 2 é y%. (b) Mostre que, no ponto de jungao x = 0, deve-se ter y;(0,t) + y,(0,t) = y(0,t). (c) Aplicando a 3a lei de Newton ao ponto de juncgao x = 0, mostre que, nesse ponto, deve-se ter também 3 9 Ut aa (Yi + Yr =>, Ox C . I Ox Z (d) A partir de (b) e (c), calcule as amplitudes de reflexao e transmissao p e T em fungao das velocidades v; € v2. Discuta o sinal de p. A refletividade r da jungao é definida como a razao entre a intensidade da onda refletida e a intensidade da onda incidente e a transmissividade t como a razao entre a intensidade da onda transmitida e a intensidade da onda incidente. (e) Calcule re t. (f) Mostre que r +t = 1 e interprete esse resultado. 8 Instituto de Fisica - USP