P2 - Física 2 2019-2

Fisica 2 para a Escola Politécnica (4323102) P2 - (11/10/2019) Tabela 1: Respostas das alternativas corretas das questoes Q1-Q4 para as diferentes provas. _ Prova | QL 2 Q3 | Q4 | _A = 1235421698123 | de |b | dd | (Be 1294012008123) b | dab | [C= 1254589008123) a | cee | D- 190514098123) ¢ | a |e) a | Critério Corregao Dissertativas Q5 e 1,5 ponto - a expressao correta com todos os valores numéricos corretos. e 1,5-1,0 ponto - a expressao correta mas com algum erro (numérico, sinal, ....). e 0,5 ponto - a expressao correta mas esqueceu de considerar a forga peso. Q6 e 1,5 ponto - a resposta correta (mostrando o desenvolvimento realizado), com a definigao correta dos das grandezas. e 1,0 ponto - usar a expressao para 0 movimento amortecido forgado, sem especificar que Q. e 0,5 ponto - usar a expressao para 0 movimento amortecido forgado mas especificar Q errado (por exemplo, 2 = /w? — *). Q7 e 0,5 ponto - a resposta correta, fazendo a comparagaéo entre os valores de y/2 € wo. Q8 e 2,5 ponto - Fazer todo o desenvolvimento corretamente, mesmo utilizando respostas er- radas anteriores (de Q6 ou Q7), mas utilizando as condigo6es iniciais para a solucao geral. e 2,0 até 0,5 - Fazer o desenvolvimento parcial, mesmo utilizando respostas erradas dos itens anteriores, utilizando as condicoes iniciais para a solucao geral. Erros relevantes: a) Subtrai-se 0,5 ponto da nota se nao for explicitada a definigao de w da solugao homogénea; b) Subtrai-se 0,5 ponto da nota se foi esquecido o fator e~7/*" na solugdo homogéna. O valor da nota dependera do desenvolvimento apresentado, e quais etapas foram realizadas. e ( - Escrever a expressao geral, e nao aplicar as condicgoes iniciais. e ( - Aplicar as condigoes iniciais para a solugéo particular ou solugaéo homogéna, e nao para a solucao geral que é a soma das duas solucoes. 1 Fisica 2 para a Escola Politécnica (4323102) P2 - (11/10/2019) Utilize, para todas as questoes, onde se fizer necessario: e A aceleracéo da gravidade na superficie da Terra é representada por g. Quando necessario, adote para g o valor de 10 m/s?. e A forga viscosa é da forma foise = —bv onde b é uma constante positiva e Uv o vetor velocidade do corpo. e x(t) = Ae~2'cos (wt + @) onde w = 4/w? — v ey=2. e x(t) = (A+ Btje~2". e a(t) =e77" [aje™ + age] onde 6 = /% — wi. e x(t) = A(Q) cos [Qt + O(Q)] _ Fo/m . — __ 7 y= [(ug—22)?+9202] 7°” tan 00) w5 0? * e Poténcia média: P = myx? e sin?(wt + ¢) = cos*(wt + ¢) = 1/2 e Despreze a massa da mola. e Despreze o atrito com o ar. Identidades trigonométricas sin(a + b) = sinacosb + cosasinb cos(a + b) = cosacosb — sinasinb ; ; _ (atb a—b ; ; a+b\ . f(a—b sina + sin b = 2sin | —— ]} cos | ——— sin a — sinb = 2cos | —— ] sin | —— 2 2 2 2 a+b a—b . a+b\ . a—b cos a+cos b = 2. cos {| —— ] cos | ——— cos a—cos b = —2sin | —— } sin | ——— 2 2 2 2 Exponenciais complexas 20-20 20 —20 e” = cos@ + rsin8 sin = “—_* — cosg = te 2a 2 2 Fisica 2 para a Escola Politécnica (4323102) P2 - (11/10/2019) ENUNCIADO DAS QUESTOES DE MULTIPLA ESCOLHA Q1 até Q4 Enunciado da questao Q1. [1,0 ponto] Osciladores harménicos amortecidos costumam ser modelados pela equacao dife- rencial P 1] x x 9 sa iF Iz Tr = 0. 1 dt Y dt 0 (1) Uma maneira de encontrar as solugoes desta equacao diferencial é assumir a fungao tentativa x(t) = e™ como solucgao e encontrar quais os valores de r que realmente a tornam solucao da equacao diferencial (1). Fazendo a substituigéo de x(t) = e”’ em (1), vemos que os valores de r que tornam a funcao tentativa solucao de (1) sao: 2-3) ~#! p+ VG) ~«! m=-xz 7 =~) -—W e Tm=-a+ =) -—wW 2 ' 2 2 0 ? 9 9 0 ( ) Os valores de r levam a trés solugoes distintas, as quais sao classificadas conforme o radicando presente em 1; € rg seja maior, igual ou menor que zero. Com base nestas informagoes, escolha a alternativa correta: (a) Todas as trés solugdes da equagao diferencial (1) referentes aos radicandos maior, menor ou igual a zero modelam oscilagoes, porque toda exponencial de um ntimero real pode ser expressa em termos de fungoes periddicas, como senos e cossenos. (b) Na situagao onde r assume valores complexos, s6 a parte real de r tem significado fisico. (c) O caso onde wo > 7/2 corresponde ao tinico caso onde ocorrem oscilagdes porque podemos expressar x(t) como uma fungaéo periddica. (d) Se a frequéncia natural wo do sistema for muito maior que o fator dissipativo 7/2, a am- plitude de oscilagao vai aumentando conforme o tempo passa. (e) Quando 7/2 > wo, o oscilador retorna muito mais rapidamente para a posicao de equilibrio do que quando 3 = wy. Resolugao da questao Q1. (a) Errada - Apenas a solugao com radicando menor que zero (} < wo) tera comportamento oscilatorio. (b) Errada - Tanto a parte real como a complexa tém significado fisico. A parte real esta relacionada com a constante de decaimento da amplitude e a parte complexa com a frequéncia (ou periodo) de oscilagao. (c) Certa - Para o radicando menor que zero (3 < wo) o oscilador apresenta amortecimento subcritico, descrito por fungdes periddicas. (d) Errada - Nenhuma das trés solugdes apresenta este tipo de comportamento em fungao do tempo. Em todos os casos, a amplitude decai com o tempo. (e) Errada - O sistema volta mais rapidamente para a posigao de equilibrio quando } = wy. 3 Física 2 para a Escola Politécnica (4323102) P2 - (11/10/2019) Enunciado da questão Q2. [0,5 ponto] O gráfico abaixo representa a posição de uma partícula x(t) em função do tempo t, para um oscilador harmônico amortecido. A amplitude inicial A, em cm, e a frequência angular ω, em rad/s, desse oscilador são, respectivamente, dadas por: (a) 2 e π/5 (b) 2 e 0,1 (c) 20 e π/5 (d) 200 e 0,1 (e) 200 e π/5 0 1 2 -1 -2 x (m) t (s) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Resolução da questão Q2. A frequência do movimento pode ser calculada conhecendo-se o período do movimento e usando a relaçao ωT = 2π. Do gráfico tiramos que T = 10 s, logo ω = 2π T = 2π 10 ⇒ T = π 5 s Pelo gráfico também tiramos que a amplitude inicial é 2 m ou 200 cm. 4 Física 2 para a Escola Politécnica (4323102) P2 - (11/10/2019) Enunciado da questão Q3. [1,0 ponto] A amplitude de um oscilador harmônico com amortecimento subcrítico diminui 1/e de seu valor inicial, em 10 s. O valor do tempo característico de decaimento deste oscilador é: (a) 5 s (b) 10 s (c) 15 s (d) 20 s (e) 25 s Resolução da questão Q3. Para o oscilador harmônico com amortecimento subcrítico a amplitude A(t) no instante t é dada por A(t) = A0e− γ 2 t = A0e− t τ sendo A0 a amplitude em t = 0 e τ do tempo característico de decaimento. Como a amplitude cai 1/e de seu valor inicial em 10 s podemos escrever: A(t = 10 s) A0 = 1 e ou A0e− 10 τ A0 = 1 e ⇒ e− 10 τ = e−1 ⇒ τ = 10 s Tabela 2: Respostas do exercício para as diferentes provas. Prova Decaimento (%) tempo (s) τ (s) A (1/e) 10 10 B 50% 14 20 C 25% 21 15 D 25% 7 5 5 Fisica 2 para a Escola Politécnica (4323102) P2 - (11/10/2019) Enunciado da questao Q4. [1,5 ponto] Um sistema de suspensao mecdnica . ideal de massa m e constante eldstica k oscila sem | | | Pit | 7 | amortecimento, sujeito a forga externa da forma gs | Ty] | fT F(t) = 42cos(wt) (N). Um estudo demonstra que, -~ eb AP | 4 uando o sistema atinge o regime estacionario, a £4 quan _atinge 0 1 rio, a S48 YS amplitude de oscilacéo do sistema em funcao da 7 LA | tt frequéncia angular da forga externa se comporta peo | | UNE como na figura ao lado. O valor da constante elastica Ej i f | Tr k, do sistema de suspensao é: © (rad/s) (a) 8 N/m (b) 16 N/m (c) 18 N/m (d) 24 N/m (e) 27 N/m Resolugao da questao Q4. A amplitude de uma oscilagao forgada, no regime estacionario, é descrita pela expressao Fo A(w) = —~— 3 ) = aaa (3) onde wo = \/k/m. O grafico mostra que a frequéncia natural de oscilagao do sistema é wy = 3rad/s. Além desta informagao, podemos utilizar qualquer outro ponto do grafico para determinar a amplitude para uma dada frequéncia w. Escolhemos, por conveniéncia, a frequéncia w = 4 rad/s, que corresponde 4 amplitude de oscilagéo A = 2 m. Substituindo na expressao (3) temos: Fo 42 Mm = —— = ——— = kg. 4 Ajuz—u) 2/9 — 16] (4) onde utilizamos Fo = 42 N, como indicado no texto do problema. Com isso 0 valor da constante elastica vale: k=m-w5 =3-3? = 27 N/m. (5) 6 Física 2 para a Escola Politécnica (4323102) P2 - (11/10/2019) Tabela 3: Respostas do exercício para as diferentes provas. Prova ω0 (rad/s) A(ω) m F0 (N) k (N/m) A 4 A(5) = 2 27 24 B 4 A(5) = 2 18 16 C 3 A(4) = 2 28 18 D 3 A(4) = 2 42 27 ENUNCIADO DAS QUESTÕES DISCURSIVAS Q5 até Q8 Uma mola de massa desprezível, comprimento L0 e constante k = 1, 125 × 104 N/m se encontra presa ao teto. Na sua extremidade livre é pendurado um bloco de massa m = 50 kg. O sistema é abandonado em um meio viscoso cujo coeficiente de atrito viscoso é ρ = 100 N.s/m, sob a ação da força peso (⃗Fp = +mg ˆ), da força da mola (⃗Fm = −ky ˆ) e da força viscosa (⃗Fv = −ρ dy dt ˆ). A função que descreve a posição do bloco no tempo, y(t), deste sistema será escrita como: y(t) = yp(t) + yh(t) onde yp(t) é a solução particular (ou estacionária) da equação não-homogênea e yh(t) é a solução da equação diferencial homogênea. Adotando o eixo y como está indicado na figura, resolva as questões Q5, Q6, Q7 e Q8. 0 y m L0 Considere o bloco como partícula. Despreze a força de empuxo sobre o bloco. (Q5) [1,5 ponto] Escreva a equação diferencial que descreve o movimento deste oscilador, explicitando os valores numéricos dos coeficientes no sistema MKS. Resolução da questão Q5. A força resultante Fr no bloco é dada por: ⃗Fr = −ky ˆ − ρdy dt ˆ + mgˆ A expressão acima pode ser reescrita como: md2y dt2 + ky + ρdy dt = +mg Dividindo por m teremos: d2y dt2 + γ dy dt + ω2 0y = g 7 Fisica 2 para a Escola Politécnica (4323102) P2 - (11/10/2019) onde definimos w = k/m ey = p/m. Substituindo os valores numéricos obtemos wy = Vk/m = (1,125 x 10*)/50 = 225 = 15 rad/s e y = p/m = 100/50 = 2 s~! e a equacao diferencial que descreve 0 movimento deste oscilador sera escrita como: 2 Hy 4 2d 4 295y = +10 8 Fisica 2 para a Escola Politécnica (4323102) P2 - (11/10/2019) (Q6) [1,5 ponto] Determine a solucao particular y,(t) da equacgao diferencial nao-homogénea. Resolugao da questao Q6. A equagao diferencial nao homogénea descreve um oscilador amortecido forgado, que tem como solugao a fungao Yp(t) = A(Q) cos(Qt + ¢) onde F/ 0o/™m [us — 02)? + 920? ° Q + tan o(Q) = ae expressoes dadas na pagina 2 desta prova. Neste problema 2 = 0, logo Fi A(.= 0) = Welt) _ 4 5 [aa [wg 22)? +9202] . Q + tan @(Q) = up — =0> Logo, a solugao particular é dada por: Yp(t) = a 9 Física 2 para a Escola Politécnica (4323102) P2 - (11/10/2019) (Q7) [0,5 ponto] O movimento do oscilador descrito pela equação homogênea é crítico, sub- crítico ou supercrítico? Justifique sua resposta numericamente. Resolução da questão Q7. A equação homogênea descreve um oscilador harmônico amortecido que tem como possíveis soluções um movimento supercrítico (γ 2 > ω0), crítico (γ 2 = ω0) ou subcrítico (γ 2 < ω0), de- pendendo da comparação entre os valores de ω0 e γ/2. Neste problema, ω0 = 15 rad/s e γ/2 = 1 s−1. Logo γ 2 < ω0 ⇒ movimento subcrítico 10 Fisica 2 para a Escola Politécnica (4323102) P2 - (11/10/2019) (Q8) [2,5 pontos| Uma vez que no instante t = 0 a posicgao do bloco é y(t = 0) = 0easua velocidade u(t = 0) = 0, determine a solugao geral y(t). Resolva de forma literal, sem fazer substituigoes numéricas. Resolugao da questao Q8. A equacéo homogénea descreve um movimento subcritico que tem como solugao a fungao yn (t) = Ae~2* cos(wt + y) onde 2 w= fu? — t = (225 —1 = 224s" Assim, a solugao geral fica: y(t) = yp(t) + yn(t) = 32 + Ae~2* cos(wt + ¢). Impondo as condigoes que em t = 0, y(t) = 0 e v(t) = 0 obtemos as equacoes: [a 0, yO Aue + a0 [KepeF 0 t=0, v= 0 A(—3) cosy — Awsiny = 0 (7) Substituindo (6) em (7) obtemos: -3 (-“%) — Awsiny =0 = |Asing = 3 8) Elevando ao quadrado as expressdes (6) e (8) e somando-as obtemos: A=" h4 (2) (9) ok 2w Substituindo 9 em 6 obtemos 1 y = —cos | | ————_—_}. (10) V1+ (y/2w)? Assim, tendo-se determinado A e vy, a solucao geral fica determinada. 11