P3 - Física 2 2019-2

Física 2 para a Escola Politécnica (4323102) P3 - (22/11/2019) Tabela 1: Respostas das alternativas corretas das questões Q1-Q7 para as diferentes provas. Prova Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 A - 134232131329-13212 g d a f a f a B - 134214241329-13212 e a c a c d f C - 134242341299-13212 g e f b d c c D - 134232411339-13212 c f d c f b b 2 134232 131329 3 2 1 2 1 1 Fisica 2 para a Escola Politécnica (4323102) P3 - (22/11/2019) Q1 [1,0 ponto] - No arranjo mostrado na figura, uma massa m = 2 kg esta pendurada em uma das extremidades de uma corda, de densidade linear de massa igual a 16 g/m, e que passa sobre uma polia leve. Na outra extremidade da corda, um oscilador senoidal coloca a corda em movimento com uma frequéncia constante de 120 Hz. Observa-se que os elementos da corda situados nos pontos P e @ estao aproximadamente em repouso, com deslocamento quase nulo durante o movimento de vibragao da corda, de modo que eles podem ser considerados como nos. Podemos afirmar que o n-ésimo modo normal que se estabelece na corda quando a distancia entre os pontos PeQéL=1,0mé: P Q (a) n=1 | L polia (b) n=3 LL Oscilador (d) n=6 Qe es (e)n=8 (f) n=9 (g) nenhuma das respostas indicadas Resolugao da questao Q1. A condigao para que se estabelega o n-ésimo modo normal de uma onda estacionaria entre os pontos P e Q é dada por: v =n— n=1,2,3.... fn = 55 onde n é 0 nimero que designa o n-ésimo modo normal de vibragao, L é¢ 0 comprimento da corda e v a velocidade de propagacéo da onda tranversal na corda. A velocidade da onda na corda é dada por: T v= y4/— [Ll onde T é a tensao na corda e yz a densidade linear de massa. Assim, podemos escrever: n /[T n [mg = -—_— —_- =—>- — 1 In = 97 |Z 21 (2 () Resolvendo a expressao 1 para n: n=2Lfyy/ (2) mg Substituindo os valores numéricos obtemos um n nao inteiro para as prova A e C, ou seja, para as corda com as caracteristicas dadas (densidade e comprimento) e o valor da massa pendurada nao é possivel estabelecer nenhum modo normal de oscilagao. Para as provas B e D obtemos n=8en=5, respectivamente. 2 Física 2 para a Escola Politécnica (4323102) P3 - (22/11/2019) Tabela 2: Respostas do exercício Q1 para as diferentes provas. Prova L (m) fn (Hz) µ (kg/m) m (kg) n A 1,0 120 16 × 10−3 2,0 4, 8 √ 2 B 1,0 100 16 × 10−3 1,0 8 C 1,6 100 16 × 10−3 1,0 12,8 D 1,0 125 16 × 10−3 4,0 5 Q2 [1,0 ponto] - Na primeira fileira de um show de rock você escutaria a música ser tocada com 120 dB. O máximo nível de intensidade que um celular emite é 100 dB. Quantos celulares (no volume máximo) você iria precisar para escutar música no mesmo volume que seria o show de rock? (a) 10 (b) 20 (c) 40 (d) 100 (e) 1000 (f) 10000 (g) nenhuma das respostas indicadas Resolução da questão Q2. Queremos que a intensidade do show Ishow seja reproduzida por n (n inteiro) celulares, isto é: Ishow = n Icelular (3) onde Icelular é a intensidade produzida por cada celular. O nível da intensidade em dB (α) associado à intensidade (I) de uma onda sonora é dado por α(I) = 10 log10 I I0 (4) sendo I0 a intensidade padrão de referência. Aplicando a definição de dB [eq. (4)] na equação das intensidades [eq. (3)] obtemos: α(Ishow) =α(n Icelular) =10 log10 n Icelular I0 =10 log10 n + 10 log10 Icelular I0 =10 log10 n + α(Icelular) de onde tiramos que: log10 n = α(Ishow) − α(Icelular) 10 = 120 − 100 10 = 2 ⇒ n = 102 = 100 Portanto, serão necessários 100 celulares emitindo em intensidade máxima para obter a mesma intensidade sonora que o show de rock. 3 Física 2 para a Escola Politécnica (4323102) P3 - (22/11/2019) Tabela 3: Respostas do exercício Q2 para as diferentes provas. Prova αshow (dB) αcelular (dB) N A 120 100 100 celulares B 110 100 10 celulares C 120 90 1000 celulares D 130 90 10000 celulares Q3 [0,5 ponto] - Marcos está tentando afinar o seu violão. Depois de ajustar a corda E4 (pri- meira corda) para 330 Hz, ele começa a trabalhar na segunda corda (B3). Ao bater nas duas cordas simultaneamente ele nota um batimento ocorrendo a uma taxa de 12 batidas a cada 4 segundos. Quando tocada separadamente, a corda B3 produz um som mais agudo. Podemos afirmar que a corda B3 está afinada com a frequência de: (a) 333 Hz (b) 327 Hz (c) 250 Hz (d) 244 Hz (e) 199 Hz (f) 193 Hz (g) nenhuma das respostas indicadas Resolução da questão Q3. A frequência dos batimentos (fB) é definida como fB = ∆f = f2 − f1. onde f2 é a frequência mais elevada. Como a corda B3 produz um som mais agudo, ou seja, de maior frequência, identificamos f2 como sendo a frequência da corda B3. Assim, f1 = 330 Hz, fB = 12/4 = 3 Hz e f2 = f1 + fB = 330 + 3 = 333 Hz. Nas versões de prova A e B, adotou-se que a a corda tocada separadamente produzia um som mais grave. Nas versões de prova C e D, adotou-se que a corda tocada separadamente produzia um som mais agudo, isto é, de menor frequência. Tabela 4: Respostas do exercício Q3 para as diferentes provas. Prova f1 (dB) fB (dB) f2 (dB) A 330 3 333 B 247 3 250 C 196 3 193 D 247 3 244 4 Física 2 para a Escola Politécnica (4323102) P3 - (22/11/2019) Q4 [0,5 ponto] - Quando uma raquete de tênis acerta uma bola, ela começa a vibrar. As vibrações têm frequências bem definidas, que dependem do tamanho da raquete e do padrão de vibração. Considere uma raquete, repre- sentada na figura ao lado, vibrando no padrão A com uma frequência de 30 Hz. Podemos afirmar que nos padrões B e C ela vibrará com as seguintes frequências, respectivamente: Padrão A Padrão B Padrão C (a) 15 Hz e 60 Hz (b) 20 Hz e 60 Hz (c) 25 Hz e 75 Hz (d) 30 Hz e 90 Hz (e) 60 Hz e 80 Hz (f) 90 Hz e 120 Hz (g) nenhuma das respostas indicadas Resolução da questão Q4. O modo de vibração da raquete é semelhante ao de uma corda fixa numa ponta e livre na outra. Da figura obtemos que para o padrão A, L = λA 4 sendo L o comprimento da raquete. Assim podemos escrever que a frequência de vibração no padrão A é dada por fA = ν λA = ν 4L onde a velocidade de propagação da onda ao longo da raquete, ν, é a mesma para os três diferentes padrões. Para o padrão B podemos escrever L = 3 4λB ⇒ λB = 4 3L de onde tiramos que fB = ν λB = 3 ν 4L ⇒ fB = 3fA . Da figura obtemos para o padrão C: λC = L de onde tiramos que fC = ν λC = ν L ⇒ fC = 4fA . Utilizando que fA = 30 Hz obtemos fB = 90 Hz e fC = 120 Hz. 5 Fisica 2 para a Escola Politécnica (4323102) P3 - (22/11/2019) Tabela 5: Respostas do exercicio Q4 para as diferentes provas. Prova || padrao de | frequéncia frequéncias vibragao | dada (Hz) pedidas (Hz) LA | A | fa=30 | fe =90e fo = 120) —B| Bo fe=45 | fa='e fo =60 | Po | of fo=80 | fa=0e fe = 60 | ED Sf fe =100 | fa=%5e fe=7 | Q5 [2,0 ponto] - Uma onda que se propaga ao longo de uma corda ideal apresenta a velocidade de fase (vr) igual a velocidade de grupo (v,). Porém, quando se considera uma corda real, a dependéncia da frequéncia angular w com o nimero de onda k pode ser descrita pela relagao de dispersao: T w(k) = (=) k? + ak (5) [Ll onde a é uma constante positiva que depende das propriedades mecanicas da corda e T’ é a tensao aplicada na corda de densidade linear de massa ju. Se a razao entre a velocidade de fase e a velocidade de grupo é f= 0,6 para uma onda com ntimero de onda k = 0,1 m7, para Ug uma corda de densidade pz: = 0,1 kg/m sujeita a uma tenséo T’' = 10,0 N, o valor da constante a, no sistema SI, é: (a) 20000 (b) 10000 (c) 7500 (d) 5000 (e) 2500 (f) 1250 (g) nenhuma das respostas indicadas Resolugao da questao Q5. A velocidade de fase é definida como vs = 2 e a velocidade de grupo se calcula como dus 1 (2k+4ak®) — (Zh +20k*) Ug = ODS TS eee = .. dk 2 k; VlG)eron] Assim, a razao entre as duas velocidades é: Up w(k)/k _ w?(k) _ w?(k) Y9 (Zk +2ak8) fw(k) k(Zk+ 20K) ¥7(h) + ak! 6 Fisica 2 para a Escola Politécnica (4323102) P3 - (22/11/2019) Definindo R = “f podemos escrever a expressao anterior como Ug @ + ak? LL 2 () + 2ak Resolvendo para a obtemos: _(T) 0-2) a) QR Dk Fazendo as substituigoes numéricas para as diferentes provas obtemos os dados apresentados na Tabela 6. Tabela 6: Respostas do exercicio Q5 para as diferentes provas. [Prova] T (N) [mC ke/m)| Km] [at mis) A | 10 | Ot | 01 0,60) 20000 _| DB pt) or | 01 070) 1500 | eto or |r [075) 5000 | dD | 10 | Ot | 01 0,90) 1250 7 Física 2 para a Escola Politécnica (4323102) P3 - (22/11/2019) Q6 [1,0 ponto] - Duas ondas se propagam em uma mesma corda horizontal muito comprida. Uma das ondas, que se propaga para a esquerda no sentido −x, é dada por y1(x, t) = 0, 06 sin(4πx + 4πt), e a outra onda, que se propaga para a direita no sentido +x, é dada por y2(x, t) = 0, 06 sin(4πx − 4πt) onde x e y estão dados em metros e t em segundos. A superposição das ondas cria uma onda estacionária. Seja xv a posição do primeiro ventre da corda tal que xv ≥ 0. A posição y(xv, t) no instante t = 0, 25 s é: (a) +0, 125 m (b) +0, 12 m (c) +0, 06 m (d) 0 (e) −0, 06 m (f) −0, 12 m (g) nenhuma das respostas indicadas Resolução da questão Q6. Para ondas que se propagam em direções opostas e possuem a mesma amplitude ym, a mesma frequência angular ω, e o mesmo número de onda k, a onda combinada é dada por y(x, t) = ym sin(kx − ωt) + ym sin(kx + ωt) = 2ym sin(kx) cos(ωt) Para o problema proposto, a função y(x, t) resultante da superposição das duas ondas é y(x, t) = 0, 12 sin(4πx) cos(4πt) (6) onde identificamos k = 4π m−1 e ω = 4π s−1. A expressão (6) descreve um movimento harmônico simples para o movimento na direção y de cada elemento de corda localizado na posição x. O comprimento da onda é dado por λ = 2π k = 2π 4π = 1 2 m. Logo, para x > 0, o primeiro ventre está localizado na posição x1 = 1 8 m. Assim, no instante t = 1 4 s, a posição do primeiro ventre da corda será: y(1 8, 1 4) = 0, 12 sin(4π1 8) cos(4π1 4) = −0, 12 m. Tabela 7: Respostas do exercício Q6 para as diferentes provas. Prova ym(m) ω(s−1) k(m−1) x1(m) t (s) y(x, t) (m) A 0,06 4π 4π 1 8 1 4 −0, 12 B 0,06 2π 4π 1 8 1 4 0 C 0,06 2π 4π 1 8 1 6 +0, 06 D 0,06 4π 4π 1 8 1 2 +0, 12 8 Física 2 para a Escola Politécnica (4323102) P3 - (22/11/2019) Q7 - [2,0 pontos] Duas cordas de diferentes densidades lineares de massa estão bem esticadas e unidas no ponto x = 0. Ao fazer na corda 1 uma onda harmônica (onda incidente), cria-se uma onda na corda 2 (onda refratada), e uma onda no sentido oposto na própria corda 1 (onda refletida). Se v1 e v2 são as velocidades das ondas nas cordas 1 e 2, respectivamente, e a razão entre as amplitudes das ondas refletida e incidente é v1 − v2 v1 + v2 , a razão entre as intensidades das ondas refratada e incidente é: (a) 4v1v2 (v1 + v2)2 (b) 2v1v2 (v1 + v2)2 (c) (v1 + v2)2 4v1v2 (d) v1 − v2 4(v1 + v2) (e) v1v2 2(v1 + v2)2 (f) v1v2 (v1 + v2)2 (g) nenhuma das respostas indicadas Resolução da questão Q7. Do enunciado temos que: Arefletida Aincidente = v1 − v2 v1 + v2 . onde Arefletida é a amplitude da onda refletida e Aincidente é a amplitude da onda incidente. As 3 ondas (incidente, refletida e refratada) oscilam com a mesma frequência angular ω. Além disso, as ondas refletida e incidente deslocam-se na mesma corda. Portanto, elas deslocam-se com a mesma velocidade. Assim, podemos escrever que a razão entre as intensidades das ondas refletida e incidente é dada por: Irefletida Iincidente = 0, 5µ1v1ω2A2 refletida 0, 5µ1v1ω2A2 incidente = A2 refletida A2 incidente = (v1 − v2)2 (v1 + v2)2. Por conservação de energia, a potência média que chega no ponto x = 0 tem que ser igual à potência média que sai dele. Lembrando que a intensidade de uma onda é uma medida da potência média podemos escrever: Iincidente = Irefletida + Irefratada o que leva à: Irefratada Iincidente = 1 − (v1 − v2)2 (v1 + v2)2 = 4v1v2 (v1 + v2)2 9 Fisica 2 para a Escola Politécnica (4323102) P3 - (22/11/2019) Enunciado da Questao Discursiva Q8 - [2,0 pontos] Uma onda estacionaria y (om) transversal produzida numa corda de 4 / \ comprimento infinito tem as seguintes ca- j \ racteristicas: o deslocamento de um ponto / \ da corda em x = 0 em fungao do tempo 0 / esta descrito na figura ao lado e, além NLP AR Py? (s) disso, o ponto x = 0 é um ventre e o pri- D meiro no da onda se localiza em x = 0,1 m. MALL. WAY Determine a fungao que descreve o deslocamento y(x,t) da corda em fungao do tempo, com todos os valores numéricos pertinentes. Resolugao da questao Q8. Vamos assumir que a onda estacionaria na corda pode ser descrita como: y(x,t) = Acos(kx) cos(wt + d) Para que a expressao anterior fique completamente definida precisamos dos valores numéricos da amplitude A, do nimero de onda k, da frequéncia angular w e da constante de fase ¢. Como o ponto x = 0 é um ventre, obtemos pelo grafico que a amplitude da onda é¢ A = 0,04 m. Do grafico também obtemos o periodo de oscilagaéo de um ponto da corda, que é T = 2s. Com isso, a frequéncia angular fica determinada: 27 27 W=— = =TS. T 2 Observando que em t = 0 a fungao y(0,0) = 0 a fase pode ser 6 = 5 ou d= ar Para decidir qual o valor de @ podemos utilizar o fato que a velocidade da corda no ponto x = 0 quando t = 1s é positiva (basta ver a que derivada wy >0Oemt=1s. Essa informagao nos leva ao valor ¢ = 5. Falta ainda determinar o numero de onda k. Para isso usamos a informagao que que em x = 0,1 m tem o primeiro no. Isso implica que o comprimento de onda sera \ = 0,4 m. Com isso obtemos k 27 27 5 = i ——_ TT. \ 0,4 Com todos os valores numéricos definidos a onda estacionaria sera escrita como: y(x,t) = 0,04 cos (57x) cos (wt + 3) ou, de forma equivalente y(x,t) = —0, 04 cos(572) sin(zt) onde usamos que fungao cos(wt + 5) = —sin(wt). 10