Aula 6 - Estática 2022-2

SEXTA aula de estática equilíbrio de corpos extensos Centro de gravidade de objetos extensos Na aula passada nós estudamos o conceito de centro de gravidade de objetos extensos e aprendemos a noção que essas posições representam uma espécie de valor médio da distribuição de forças.... Nós vimos que, no caso unidimensional (vigas ou linhas) podíamos calcular o “peso” da carga: P = ׬0 𝐿 𝑤 𝑥 𝑑𝑥 Onde w(x) é a densidade linear de carga E o momento correspondente por: M = ׬0 𝐿 𝑥 ∗ 𝑤 𝑥 𝑑𝑥 De modo que a coordenada do centro de massa da distribuição fica: ҧ𝑥 = 𝑀 𝑃 = ׬0 𝐿 𝑥 ∗ 𝑤 𝑥 𝑑𝑥 ׬0 𝐿 𝑤 𝑥 𝑑𝑥 Analogamente, no caso bi dimensional teríamos: P = g ∗ ׬𝐴 𝛿 𝑟 ∗ 𝑑𝐴 E o momento em relação a um ponto de origem O, seria MO = g ∗ ׬𝐴 𝑟 ∗ 𝛿 𝑟 ∗ 𝑑𝐴 Profi, você tem que mostrar que é um pouco diferente dos momentos de primeira ordem que vimos na aula passada e que se referiam aos eixos coordenados e não a uma origem (discutir) Eloiza Leme Guerra Analogamente, poderemos calcular o centro de gravidade de um corpo tri dimensional: Peso= 𝑔 ∗ ׬𝑉 δ 𝑟 𝑑𝑉 = 𝑔 ∗ ׮𝑉 δ 𝑟 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑜 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 E o momento será: Momento = 𝑔 ∗ ׬𝑉 𝒓𝑥δ 𝒓 𝑑𝑉 = 𝑔 ∗ ׮𝑉 𝒓𝑥δ 𝒓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 r Δp O Como r=xi + yj +zk Podemos separar as coordenadas........ Esther Talita Araujo Muniz 𝑀𝑥𝑂 = 𝑔 ∗ න 𝑉 𝒙 ∗ δ 𝒓 𝑑𝑉 = 𝑔 ∗ ම 𝑉 𝒙 ∗ δ 𝒓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑀𝑦𝑂 = 𝑔 ∗ න 𝑉 𝒚 ∗ δ 𝒓 𝑑𝑉 = 𝑔 ∗ ම 𝑉 𝒚 ∗ δ 𝒓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑀𝑧𝑂 = 𝑔 ∗ න 𝑉 𝒛 ∗ δ 𝒓 𝑑𝑉 = 𝑔 ∗ ම 𝑉 𝒛 ∗ δ 𝒓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 E obtemos , então, três integrais triplas nas coordenadas cartesianas Gabriel Coltro Saloio ҧ𝑥*P = 𝑔 ∗ ׮𝑉 𝑥 ∗ δ 𝒓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ➔ ҧ𝑥= ׮𝑉 𝒙∗δ 𝒓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ׮𝑉 δ 𝒓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ത𝑦*P = 𝑔 ∗ ׮𝑉 𝑦 ∗ δ 𝒓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ➔ ത𝑦= ׮𝑉 𝑦∗δ 𝒓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ׮𝑉 δ 𝒓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ҧ𝑧*P = 𝑔 ∗ ׮𝑉 𝑧 ∗ δ 𝒓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ➔ ҧ𝑧= ׮𝑉 𝑧∗δ 𝒓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ׮𝑉 δ 𝒓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Se lembrarmos que queremos escrever esse momento em função do centro de massa, teremos os momentos parciais Gabriella Kishimoto Vamos calcular o centro de massa de um cilindro de altura H e raio R e de material homogêneo com densidade δ Para facilitar, vamos imaginar que o cilindro tem seu eixo de simetria alinhado com o eixo z e sua base coincide com o plano (x,y)...como no desenho a seguir X Y Z Já sabemos de antemão que o baricentro deve estar sobre o eixo de simetria, na metade da altura do cilindro..... Então vamos conferir se nossa fórmula por integração funciona..... Como a figura é regular, fica fácil de achar os extremos de integração..... Mas fica ainda mais fácil se trocarmos o sistema de referência de cartesiano para cilíndrico (uma vez que o objeto é de fato um cilindro) Confusão nenhuma!!! ! O profi explica direitinho Giulia Venturini Cunha Para lembrar de Cálculo III Mas a gente costuma usar : Ângulo ➔ θ E distância (ou posição) ➔ r x=rcos(θ) y=rsen(θ) z=z x=ρcos(φ) y= ρsen(φ) z=z Parece até as aulas de Cálculo III Ai que saudades do profi Sergio David...... Gracielle Atanasin Goncalves Coordenadas cilíndricas: x=rcos(θ) y=rsen(θ) z=z E o Jacobiano da transformação é dxdydz = r drdθdz X Y 𝜽 r R H 𝑀𝑥𝑂 = ම 𝑉 𝒙 ∗ δ 𝒓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Os limites de integração serão : 0 ≤ r ≤ 𝑅 0 ≤ θ ≤ 2π 0 ≤ z ≤ 𝐻 𝑀𝑦𝑂 = ම 𝑉 𝑦 ∗ δ 𝒓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑀𝑧𝑂 = ම 𝑉 𝑧 ∗ δ 𝒓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 P= 𝑔 ∗ ׮𝑉 δ 𝒓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ➔ Agora complicou !!! Guilherme Garib P= 𝑔 ∗ ׮𝑉 δ 𝒓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ➔ 𝑀𝑥𝑜 = 𝑔 ∗ δ ∗ න 0 ℎ න 0 2𝜋 න 0 𝑅 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃 ∗ 𝑟 ∗ 𝑑𝑟𝑑 𝜃𝑑𝑧 𝑀𝑥𝑜 = 𝑔 ∗ δ ∗ න 0 ℎ න 0 2𝜋 න 0 𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ∗ 𝑟2 ∗ 𝑑𝑟𝑑 𝜃𝑑𝑧 𝑀𝑥𝑜 = 𝑔 ∗ δ ∗ න 0 ℎ න 0 2𝜋 𝑅3 3 cos(𝜃) 𝑑𝜃𝑑𝑧 𝑀𝑥𝑜 = 𝑔 ∗ δ ∗ 𝑅3 3 ∗ ׬0 ℎ −𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝑧 =0 0 Dá um trabalhão , mas temos que fazer as 4 integrais, começando pela do eixo x: Igor Vidal 𝑀𝑥𝑜 = 0 E por razões de simetria : 𝑀𝑦𝑜 = 0 Então as fórmulas : ҧ𝑥= ׮𝑉 𝒙∗δ 𝒓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ׮𝑉 δ 𝒓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ത𝑦= ׮𝑉 𝑦∗δ 𝒓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ׮𝑉 δ 𝒓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Resultam: ➔ ҧ𝑥 = 0 ത𝑦 = 0 Falta agora calcular 𝑀𝑧𝑜 Portanto, 𝑴𝒙𝒐 = 𝟎 Isabela da Silva Merencio E por razões de simetia , 𝑴𝒚𝒐 = 𝟎 Isabela Zanatta Braido Portanto, o baricentro estará em algum lugar ao longo do eixo z Isadora de Castro Lima Façam agora, em casa, as integrais: P= 𝑔 ∗ ׮𝑉 δ 𝒓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑀𝑧𝑂 = 𝑔 ∗ ම 𝑉 𝑧 ∗ δ 𝒓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Lembrem que tem que passar para coordenadas cilíndricas..... 𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑀𝑧𝑜 =? 𝑒 𝑃 =? Jesus Alberto Leon Fernandez 1) Calcular o CM da esfera de raio R e centro no ponto origem O= (0,0,0) 2) Calcular o CM de um hemisfério de raio R cuja base está apoiada no plano (x,y) 3) Calcular o centro de massa de um cone 4) Calcular o CM de um tronco de cone 5) Calcular o CM de um cone cortado longitudinalmente Exercício para Supor material homogêneo 𝑃 = 𝛿 ∗ 𝑔 ∗ ම 𝜌2𝑠𝑒𝑛 𝜑 . 𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝜑 𝑀𝑥 = 𝛿 ∗ 𝑔 ∗ ම 𝑥. 𝜌2𝑠𝑒𝑛 𝜑 . 𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝜑 𝑥 = 𝜌𝑠𝑒𝑛 𝜑 cos(𝜃) 𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑀𝑥 = 𝛿 ∗ 𝑔 ∗ ම 𝜌𝑠𝑒𝑛 𝜑 cos(𝜃). 𝜌2𝑠𝑒𝑛 𝜑 . 𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝜑 𝑀𝑥 = 𝛿 ∗ 𝑔 ∗ ම 𝑠𝑒𝑛2 𝜑 cos(𝜃). 𝜌3𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝜑 E correspondente mente para My e Mz Se você prestar atenção, perceberá que a integral de Mz será a mais simples e ai faça ela primeiro. 𝑀𝑧 = 𝛿 ∗ 𝑔 ∗ ම 𝑧. 𝜌2𝑠𝑒𝑛 𝜑 . 𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝜑 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜌2𝑠𝑒𝑛 𝜑 . 𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝜑 Integrais em coordenadas esféricas 𝑀𝑧 = 𝛿 ∗ 𝑔 ∗ ම 𝜌𝑐𝑜𝑠 𝜑 . 𝜌2𝑠𝑒𝑛 𝜑 . 𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝜑 𝑀𝑧 = 𝛿 ∗ 𝑔 ∗ ම 𝜌3𝑠𝑒𝑛 2𝜑 . 𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝜑 𝑠𝑒𝑛 𝜑 cos 𝜑 = 𝑠𝑒𝑛 2𝜑 .