Exercício - Resistência do Ar - Mecânica Geral 2022 2

Dinâmica – Resistência do Ar Vamos resolver um exercício cinematográfico: Um projétil deve ser disparado com velocidade inicial de 240m/s contra um alvo B situado a 600 metros acima da superfície da Terra (suponha que seja uma casamata dos nazistas instalada numa montanha. Se você destruir a casamata, então os aliados vencerão a batalha ). Você é o atirador (ou atiradora) no comando do canhão e a tal casamata está a 3600m de distância. Calcule o ângulo de inclinação do canhão e dispare. Se acertar o tiro, vai ganhar uma medalha de honra ao mérito e poderá voltar pra casa como herói, ou heroína . Não se preocupe, pois os inimigos não vão se machucar. Eles foram almoçar e deixaram apenas a metralhadora na casamata vazia. Mas vão receber uma bronca enorme do sargento deles..... 3600m α Primeiro: determinar a trajetória Supondo a priori que a resistência do ar seja desprezável, podemos considerar que a bala do canhão viaja apenas sob ação da gravidade g Sabemos ainda, que a gravidade tem direção para baixo e que portanto, não interfere na velocidade da bala na direção x. Podemos, portanto, considerar separadamente o movimento vertical do horizontal (isso não seria verdade se considerássemos a resistência do ar). vx₀ = 240 * cos α = constante ⇒ x = x₀ + vx₀ t vy₀ = 240 * sen α vy = 240 * sena – g * t x = x₀ + vx₀ t y = y₀ + vy₀ t – 1/2 g t² Essas duas equações devem valer simultaneamente x= x₀ + vₓ₀ t 3600 = 0 + 240 * cos(α) * t 600 = 0 + 240*sen(α) *t - 4,905 * t² y = y₀ + vy₀ t – 1/2 g t² Da primeira equação, obtemos o tempo necessário para a bala do canhão percorrer 3600m Isso dá t = 15/cos(α) Substituindo na segunda equação, teremos: 600 = 240*sen(α) - 15/cos(α) - 4,905*(15/cos(α))² Como, 1/cos(α) = sec²(α) = 1+ tg²(α), temos 600 = 240*15tg(α) - 4,905*(15)² * (1 + tg(α)²) α = 29,9 graus ou α = 60,6 graus Vamos resolver mais um exercício cinematográfico: Mas, apesar dos cálculos, o que acontece foi .... É porque não foi levada em conta a resistência do ar!!!!!!! A bala do canhão caiu na posição 3200 metros e não atingiu a casamata dos nazistas !!!!!! Escreva agora as equações levando em conta o efeito da resistência do ar sobre o movimento horizontal ( FR = γcv ). A bala tem massa m=10Kg. Determine a aceleração na direção x B F=m.a , e c.v . Determine o coeficiente de atrito entre a bala e o ar, lembrando que a bala caiu a 3200 metros de distância. Então, recalcule tudo para finalmente destruir a casamata. Vá com calma, pois os nazistas foram almoçar e vão demorar para voltar.... dá tempo de resolver tudo e ganhar a guerra!!!! Estática Esse exercício é relativamente simples pois os objetos que formam essa estrutura podem ser representados no plano x e y . Teremos então: EQUILIBRIO ESTÁTICO Diagrama de forças 65° F2 F3 F1 25° 3U/4 ΣFₓ = 0 ΣFᵢ = 0 Diagrama de forças F1₁ =0 F1ᵧ = -p F2 = |F2|cos(25) F3ₓ = |F3|cos(65) F2ᵧ = |F2|sen(25) F3ᵧ = |F3|sen(65) Precisamos de mais uma equação pelo menos 3 incógnitas 2 equações F1ₓ + F2ₓ + F3ₓ = 0 F1ᵧ + F2ᵧ + F3ᵧ = 0 Então consideramos os momentos: Σⱼ Mᵢ = 0 Σⱼ Mₓ = 0 Σⱼ My = 0 Σⱼ Mz = 0 Mas aqui tem um detalhe sutil: Como todos as forças do problema estão no plano (x, y), então os momentos resultantes dessas forças estarão no eixo z apenas . E, portanto, duas dessas somatórias desaparecem a priori. Ou seja não haverá momentos nos eixos x e y A situação seria diferente se o problema se estendesse no eixo t também....... Vamos, então, calcular o momento das forças, já sabendo que eles terão a direção z (lembre da Álgebra) ∑(i=1 até n) Mz = 0 M1z + M2z + M3z = 0 M1z = |r1| * |F1| * sen(25) M2z = |r2| * |F2| * sen(90) M3z = |r3| * |F3| * sen(0) |r1| = L |r2| = 3/4 * L Então teremos: EQUILÍBRIO ESTÁTICO ∑(i=1 até n) Fx = 0 -> F1x + F2x + F3x = 0 ∑(i=1 até n) Fy = 0 -> F1y + F2y + F3y = 0 ∑(i=1 até n) Mz = 0 -> M1z + M2z + M3z = 0 3 incógnitas 3 equações Aí é só resolver as equações pelo método que vocês preferirem...... vamos lá, todos trabalhando, tic, tac, tic, tac ..... Mas podem entregar na sexta, junto com o exercício da casamata nazista ...... Como eu já fiz quase tud em aula, vale 0,5 ponto na média de estática. QUESTÃO 1 CONSIDERANDO A RESISTÊNCIA DO AR APENAS NA HORIZONTAL TEMOS: * HORIZONTAL R = c.Vx m.ax = c.V.cos(α) => ax = c.V.cos(α)/m Vx = V0x - ax.t 0 = V0.cos(α) - [c.V.cos(α)/m] * t => t = m/(c) * VERTICAL ay = -g Vj = V0y - g.t -Vsen(α) = Vsen(α) - g.t => t = 2.Vsen(α)/g IGUALANDO OS TEMPOS... 2.V.sen(α)/g = m/c => c = g.m/2.V.sen(α), p/ α = 60,6° temos: c = 9,81.10/(2.240.0,87) = 0,1235 kg/s Portanto, ax = 0,1235.240.0,49/10 => ax = 2,7636 m/s² * RECALCULANDO O ÂNGULO... EM x: Vx = V0 - ax.t 0 = V.cos(θ) - [c.V0x.cos(θ)/m]t t = m.V.cos(θ)/(c.V0) => t = m.c)/(c EM y: y = y0 + V0.t - g.t²/2 -3600 = Vsenθ * t - 4,905.t² t = -m.c)/(c 3600 = -240.senθ.m/10 - 4,905.m²/c² senθ = [-3600 + 8918] * 0,235/2400 = 1,2 > 1 X Questão 2 Sistema 3 eq. 3 incógnitas ... ∑Fx = 0, F1x + F2x + F3x = 0 0 + F2 (cos(25)) + F3 (cos(65)) = 0 (1) ∑Fy = 0, F1y + F2y + F3y = 0 -P + F2 sen(25) + F3 sen(65) = 0 (2) ∑Mz = 0, M1z + M2z + M3z = 0 L.F1 sen(25) + 3/4 L F2 sen(90) + 0 = 0 (3) De (1), temos F2 = -F3 cos(65)/cos(25) Substituindo em (2): -P + F3 (cos65 * sen(25))/cos(25) + F3 sen(65) = 0 => F3 = P/(sen65 + (tg25.cos65)) => F3 = 1,64P Logo, F2 = -1,64P.cos65/cos25 => F2 = -0,76P Substituindo em (3), obtemos: F1 = + 1,77P