Exercício - Mecgeral 2022 2

Exercício para casa (valerá 2 pontos na nota de Estática .....). Em princípio devem entregar até o dia 29 de outubro, mas se tiverem dificuldades, estenderemos um pouco o prazo. Supor material homogêneo 1) Calcular o CM da esfera de raio R e centro no ponto origem O= (0,0,0) 2) Calcular o CM de um hemisfério de raio R cuja base está apoiada no plano (x,y) 3) Calcular o centro de massa de um cone 4) Calcular o CM de um tronco de cone 5) Calcular o CM de um cone cortado longitudinalmente Prof. Walter Velloso Exemplo 3 Figura Área (A) \(\bar{x}\) \(\bar{y}\) \(\bar{x}\cdot A\) \(\bar{y}\cdot A\) 1 56,55 6 16,6 339,3 935,9 2 96 6 10 576 960 3 36 4 4 144 144 Σ 188,55 1059 2040 \(\bar{X} = \frac{\sum \bar{x}A}{\sum A} = \frac{1059}{188,55} = 5,62\,\text{cm}\) \(\bar{\bar{Y}} = \frac{\sum \bar{y}A}{\sum A} = \frac{2040}{188,55} = 10,81\,\text{cm}\) Exercício Proposto ① Por simetria x_CM = y_CM = z_CM = 0 ② Por simetria em xy x_CM = y_CM = 0 Ja para z z_CM = ∫(0 to 2π) ∫(0 to π/2) ∫(0 to R) ρ.r.cosψ.r²senψ.drdψdΘ z_CM = ρ. ∫(0 to 2π) dΘ. ∫(0 to π/2) senψcosψdψ. ∫(0 to R) r³dr = ρ.πR⁴/4 CM = (0,0, ρπR⁴/4) onde ρ = M/(2/3 πR³) ③ Por simetria x_CM = y_CM = 0 z_CM = 1/M . ∫(0 to h) z.dm mas dm = ρ(πr²)dz mas por relação de triangulo x/z = R/h z_CM = 1/M . ∫(0 to h) ρπR²/h² z²dz dm = ρπR²/h² z²dz = ρπR² h⁴ / 4h² . 1/M = 3/4 h CM = (0,0, 3/4h) ④ Usando superposição de massa Suponhamos que o tronco tenha altura H O CM do cone completo é (0,0, 3/4 h) e do cone menor (0,0, 3/4 (h-H)) CM = (0,0, 3/4 h) . ρ . πR²h/3 - (0,0, 3/4 (h-H)) . ρ . πr² (h-H)/3 = ρπR²h/3 - ρπr²(h-H)/3 r = R(h-H)/h dV = \frac{1}{2}(\pi y^2)\,dx \bar{x} = \frac{\int_0^e x\,dV}{\int dV} = \frac{\int_0^h x\,\frac{1}{2}\pi y^2\,dx}{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\pi a^2 h)} = \frac{1}{2}\int_0^h x\left(\frac{a^2}{h^2} x^2\right)\,dx \frac{1}{6} a^2 h Com isso \bar{x} = \frac{3\frac{a}{h^2}\int_0^h x^3\,dx}{a^2 h} = \frac{3 h^4}{4 h^3} = \frac{3}{4} h \bar{y} = \frac{\int \tilde{y}\,dV}{\int dV} = \frac{\int_0^h \left(\frac{4}{3\pi}\right)\frac{1}{2}\pi y^2\,dx}{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right)(\pi a^2 h)} \bar{y} = \frac{2}{3} \int y^3\,dx \frac{1}{6}\pi a^2 h = 4\frac{\int \frac{a^3}{h^3} x^3\,dx}{\pi a^2 h} = \frac{4a}{\pi h^4}\int_0^h x^3\,dx = \frac{a}{\pi} Superposição: CM_{s} = (2,4)\ da\ placa\ sem\ furo CM_{F} = (2,5) CM = \frac{(2,4)\cdot \sigma\ 32 - (2,0)\cdot 6\cdot 6}{326\cdot 6\sigma} = \frac{(52,98)}{26} = (2; 3,77)\ cm cm(1) = (0,55) CM(4) = (0,25) Y_{CM} = \frac{80250}{1950} = 41,154 CM = (0; 41,154)\ cm Y_{CM} = 55\cdot 75\cdot 10 + 45\cdot 15\cdot 15\cdot 2 + 25\cdot 15\cdot 50 \quad \quad 75\cdot 10 + 15\cdot 15\cdot 2 + 15\cdot 50 cm\ é\ o\ baricentro\ porém\ só\ é\ necessário\ a\ coordenada\ em\ y\ por\ ser\ simétrico\ os\ CM(2)\ e\ CM(3) Y_{CM} = 45 = \frac{Y_A + Y_B + Y_C}{3}