Exercício - Equilíbrio de Corpos Extensos 2022 2

(1) Calcular o CM da esfera de raio R e centro no ponto origem O(0,0,0). Temos x² + y² + z² = R² Considerando material homogêneo: δ = K Transformando coordenadas esféricas: x = β sen φ cos θ y = β sen φ sen θ , onde 0 ≤ θ ≤ 2π z = β cos φ 0 ≤ φ ≤ π 0 ≤ β ≤ R Não esquecer: dxdydz = β² sen φ dβdφdθ Montando a integral da massa: π π R M = ∫ ∫ ∫ Kβ² sen φ dβdφdθ 0 0 0 π R 3 M = ∫ ∫ K sen φ β /3 dφdθ 0 0 π 3 M = ∫ ∫ K sen φ/3 R dφdθ 0 0 2π 3 M = ∫ K R dθ = - K R /3 ∫ (cos π - cos 0) dθ 0 3 2π 3 M = - K R /3 ∫ (-1 -1) dθ = - K R /3 (-2) ∫ dθ 0 0 4 π K R ³ M = ------------- 3 Calculando o x do CM: 2π π R ‾x = 1/ M ∫ ∫ ∫ K ρ sen φ cos θ ρ² sen φ dρdφdθ x 0 0 0 2π π R ‾x = 1/ M ∫ ∫ ∫ K ρ³ sen² φ cos θ dρdφdθ 0 0 0 2π π R ‾x = 1/ M ∫ ∫ ∫ K sen² φ cos θ ρ³ dρ dφdθ 0 0 0 2π π 4 ‾x = 1/ M ∫ ∫ K sen² φ cos θ ρ /4 | dφdθ 0 0 R 0 2π ‾x = 1/ M ∫ ∫ K sen² φ cos θ ---- R dφdθ 0 0 4 2π 4 ‾x = 1/ M ∫ K cos θ R /4 [- 1/2 φ - 1/4 sen 2φ] π dθ 0 0 2π 4 ‾x = 1/ M ∫ K cos θ R /4 [ (π/2 - 1/4 sen 2π) - (0 - 1/4 sen 0) ] dθ 0 2π 4 ‾x = 1/ M ∫ K cos θ R /4 [ - π/2 ] dθ = K π R/4 [2π] --- 0 4 8 M K π R /- K π R ----------- ] 8 M [ sen θ ] 0 [ sen 2π - sen 0] ‾x = 0 Calculando y do CM: 2π π R ‾y = 1/ M ∫ ∫ ∫ K ρ sen φ sen θ ρ² sen φ dρdφdθ 0 0 0 2π π R ‾y = 1/ M ∫ ∫∫ K ρ³ sen² φ sen θ dρ dφdθ 0 0 0 2π π R ‾y = 1/ M ∫ ∫ ∫ K sen θ R /4 sen² φ dφdθ 0 0 2π 2 ‾y = 1/ M ∫ ∫ K sen θ R /4 [ 1/2 φ - 1/4 sen 2φ] | dθ 0 0 π 0 2π [ ‾y = 1/ M ∫ K sen θ R (π/2) dθ = K π R/8 ∫ sen θ dθ 0 4 8M ] 2π ‾y = K π R (-cos θ) | = - K π R/8 [ cos 2π - cos 0 ] 8 M 0 ‾y = 0 Calculando z do CM: 2π π R ‾z = 1/ M ∫ ∫ ∫ K ρ cos φ ρ² sen φ dρdφdθ 0 0 0 2π π R ‾z= 1/ M ∫ ∫ ∫ K ρ³ cos φ sen φ dρdφdθ 0 0 0 2π π 4 ‾z= 1/ M ∫ ∫ ∫ K cos φ sen φ R /4 --- 0 0 0 0 dφdθ ∫cosϕ senϕ dϕ Por substituição... μ = senϕ dμ = cosϕ dϕ ∫μ dμ = μ²/2 = sen²ϕ/2 + c z̅ = 1/M ∫(0 to 2π) (KR⁴/8) [sen²ϕ] (0 to π) dθ = 1/M ∫(0 to 2π) (KR⁴/8) [sen² π - sen² 0] dθ z̅ = 1/M (KR⁴/8) ∫(0 to 2π) 0 dθ ⇒ z̅ = 0 Logo, CM (0,0,0) (2) Calcular o CM de um hemisfério de raio R cuja base está apoiada no plano (x,y) K = δ Coordenadas esféricas: x = ρ senϕ cosθ 0 ≤ θ ≤ 2π y = ρ senϕ senθ 0 ≤ ϕ ≤ π/2 z = ρ cosϕ 0 ≤ ρ ≤ R Calculando a massa: M = M_esfera / 2 = (2π KR³) / 3 (3) Calculando o x do CM: x̅ = 1/M ∫(0 to 2π) ∫(0 to π/2) ∫(0 to R) Kρ³ senϕ cosθ (---------------) ρ² senϕ dρ dϕ dθ x x̅ = 1/M ∫(0 to 2π) ∫(0 to π/2) ∫(0 to R) Kρ³ sen²ϕ cosθ dρ dϕ dθ x̅ = 1/M ∫(0 to 2π) ∫(0 to π/2) K senϕ cosθ R⁴/4 dϕ dθ x̅ = 1/M ∫(0 to 2π) K cosθ R⁴/4 [1/2 ϕ - 1/4 sen2ϕ] π/2 0 dθ x̅ = 1/M ∫(0 to 2π) K cosθ R⁴/4 [(π/2)/2 - 1/4 sen(2π/2)] - (0 - 1/4 sen0) dθ x̅ = 1/M ∫(0 to 2π) K cosθ R⁴ π/16 dθ = (KπR⁴/16M) ∫(0 to 2π) cosθ dθ (---------------) 0 x̅ = 0 Calculando o y do CM: y̅ = 1/M ∫(0 to 2π) ∫(0 to π/2) ∫(0 to R) Kρ³ senϕ senθ (-----------------) ρ² senϕ dρ dϕ dθ y y̅ = 1/M ∫(0 to 2π) ∫(0 to π/2) ∫(0 to R) Kρ³ sen²ϕ senθ dρ dϕ dθ y̅ = 1/M ∫(0 to 2π) ∫(0 to π/2) K sen²ϕ R⁴/4 senθ dϕ dθ y̅ = 1/M ∫(0 to 2π) K senθ R⁴/4 [1/2 ϕ - 1/4 sen2ϕ] π/2 0 dθ y̅ = 1/M ∫(0 to 2π) K senθ R⁴/4 [(π/2) - 1/4 senπ) - (0 - 1/4 sen0)] dθ y̅ = 1/M K R⁴ π/16 ∫(0 to 2π) senθ dθ ⟶ y̅ = 0 4. Calculando z̅: z̅ = 1/M ∫(0 to 2π) ∫(0 to π/2) ∫(0 to R) K ρ³ cos ϕ sen ϕ dρ dϕ dθ z̅ = 1/M ∫(0 to 2π) ∫(0 to π/2) K cosϕ senϕ R⁴/4 dϕ dθ z̅ = 1/M ∫(0 to 2π) K R⁴/8 [sen²ϕ] 0ϕ dϕ to π/2 z̅ = 1/M ∫(0 to 2π) K R⁴/8 [sen² π/2 - sen² 0]dϕ z̅ = 1/M ∫(0 to 2π) K R⁴/8 [1 - 0] dϕ = 1/M ∫(0 to 2π) K R⁴/8 dϕ z̅ = 1/M (2π KR⁴/8) = (2π K R⁴)/(8 × 2K R³/3) = 3R/8 y̅ = y̅ = 0 and z̅ = 3R/8 ⟶ CM hemisfério = (0,0, 3R/8) (3) Calcular o CM de um cone Como o cone possui eixo de simetria, o seu CM estará sobre o eixo, logo é necessário calcular a ordenada do CM. yCM = ∫y dm / ∫ dm 1º passo; Calcular o raio “r” da faixa r / R = (h - y) / h -> r = R (h - y) / h r² = R² (h - y / h)² r² = R² ((h - y) / h)² = R² (h - y)² / h² = R² (1 - 2y / h + y² / h²) 2º passo Note que: O diferencial de volume é uma pequena faixa, que pode ser aproximada a um cilindro de raio da base r e altura dy. Logo: dV = πr²dy , além de que V = πR²h / 3 3º passo: calcular yCM yCM = ∫y dm / ∫ dm = ∫yπr²dy / V = ∫yπR² (1 - 2y / h + y² / h²) dy / V yCM = πR² ∫0h y dy - ∫0h 2y² / h dy + ∫0h y³ / h² dy / V yCM = πR² / V [y² / 2 - 2y³ / 3h + y⁴ / 4h²]⁰h = πR² / πR² h / 3 [h² / 2 - 2h³ / 3h + h⁴ / 4h²] yCM = πR² / πR² h / 3 [h² / 2 - 2h² / 3 + h² / 4] = πR² h² [6 - 8 + 3 / 22] πR² / π / 3 yCM = h · 2 / 22 · 1 / 3 -> yCM = h / 4 (4) Calcular o CM de um tronco de cone Observe que: s = √(R2 - R1)² + h² e: As = π(R1 + R2) · s As = π(R1 + R2) √(R1 - R2)² + h² Considere um disco de espessura zi que, aplicando a integração de h = 0 até h = h, gira e gera o volume deste sólido. Esta integração é calculada da seguinte maneira: V = π ∫0h [r(z)]² dz = π ∫0h (R1 + (R2 - R1) z/h)² dz V = 1/3 πh (R1² + R2 R1 + R2²) Para encontrar o CM do tronco devemos calcular também a seguinte integral: π ∫0h z [r(z)]² dz = 1/12 πh² (R1² + 2R1 R2 + 3 R2²) Por fim, z̄ = π ∫0h z [r(z)]² dz / V z̄ = 1/12 πh² (R1² + 2R1 R2 + 3 R2²) / 1/3 πh (R1² + R2 R1 + R2²) z̄ = h (R1² + 2R1 R2 + 3 R2²) / 4 (R1² + R2 R1 + R2²) (5) Calcular o CM de um cone cortado dualmente. Semelhante ao cone… yCM = ∫y dm / ∫ dm 1º passo: Idêntico ao cone r² = R² (1 - 2y / h + y² / h²) 2º passo: dV = πR² / 2 dy e V = πR²h / 6 3º passo: yCM = ∫y dm / ∫ dm = ∫yπR² / 2 dy / V yCM = ∫0h yπR² / 2 [1 - 2y / h + y² / h²] dy / V yCM = 1/2 ∫0h yπR² [1 - 2y / h + y² / h²] dy / πR² h / 6 = 3h / 4