Lista de Exercícios Resolvidos - Convecção Forçada em Escoamento Interno - Termodinâmica e Transferência de Calor

PME3398 Fundamentos de Termodinâmica e Transferência de Calor Professores Bruno Carmo e Antonio Pacífico Lista de exercícios resolvidos 12 Convecção forçada em escoamento interno 1 Uma casa construída à beira de um rio deve ser resfriada no verão utilizando a água fria do rio que escoa a uma temperatura média de 15 C Um trecho de 15 m de comprimento de um duto circular de 20 cm de diâmetro passa através da água O ar entra a 32 C na seção do duto submersa com uma velocidade de 3 ms Considerando que a superfície do duto esteja na temperatura da água e desprezando o comprimento de entrada necessário para desenvolvimento determine a A temperatura do ar na seção de saída b Repita o item anterior considerando agora que uma camada de depósito mineral k 5 WmK de 1 mm de espessura média formouse sobre a superfície interna do duto 2 Um hidrocarboneto líquido entra em um tubo de 25 cm de diâmetro e de 50 m de comprimento A temperatura de entrada do líquido é de 20 C e a temperatura da parede do tubo é de 60 C As propriedades médias do líquido são c 20 kJkgK μ 001 Pas e ρ 900 kgm³ Para uma vazão de 1200 kgh a temperatura de saída do líquido é medida como sendo 30 C Estime a temperatura de saída do líquido quando a vazão for reduzida a 400 kgh 3 Uma tubulação longa de 12 m de diâmetro externo para o transporte de óleo será instalada no Alasca Para evitar que o óleo se torne muito viscoso para o bombeamento a tubulação será enterrada 3 m abaixo da superfície O óleo também será aquecido periodicamente em estações de bombeamento como esquematizado na figura a seguir A tubulação de óleo será revestida por um isolamento de espessura t e condutividade térmica de 005 WmK O engenheiro responsável pela instalação das estações de bombeamento especificou que a queda de temperatura do óleo ao longo de uma distância de 100 km não deve exceder 5 C quando a temperatura de superfície do solo for de 40 C A temperatura da tubulação após cada processo de aquecimento será de 120 C e a vazão mássica na tubulação igual a 500 kgs As propriedades do óleo são massa específica o 900 kgm3 condutividade térmica ko 014 WmK viscosidade cinemática o 85 104 m2s e calor específico co 2 kJkgK O solo sob as condições árticas é seco tendo condutividade térmica ks 035 WmK Calcule a espessura de isolamento necessária para satisfazer as especificações do engenheiro Dado extra o calor transferido por condução através de um meio homogêneo de condutividade k entre uma superfície isotérmica com temperatura Ts e um cilindro horizontal de comprimento L e temperatura Tc enterrado com seu eixo a uma distância z abaixo da superfície é dado por q kSTsTc onde S 2pL cosh12z D 4 Um tubo de parede delgada com diâmetro de 6 mm e comprimento de 20 m é usado para transportar gases de exaustão de uma chaminé até o laboratório em um prédio próximo para análise Os gases entram no tubo a 200 C e a uma vazão mássica de 0003 kgs Ventos de outono a uma temperatura de 15 C sopram em direção cruzada ao tubo a uma velocidade de 5 ms Considerando as propriedades termofísicas dos gases de exaustão iguais às do ar a Calcule o coeficiente de transferência de calor médio para os gases de exaustão escoando no interior do tubo b Calcule o coeficiente global de transferência de calor U c Calcule a temperatura dos gases de exaustão quando eles chegam ao laboratório PME3398 Fundamentos de Termodinâmica e Transferência de Calor Profs Bruno Carmo e Antonio Luiz Pacífico Soluções da Lista de Exercícios 12 1 Admitese tubo delgado e tal forma que seu diâmetro interno seja de 20 cm a Justamente por não ser conhecida a temperatura do ar na seção de saída Tms devese assumir um valor para determinação das propriedades Assumindo Tms 22 C seguese que overlineTm Tme Tms 2 32 22 2 27 C 300 K Da tabela de propriedades para o ar rho 11614 kgm3 k 00263 Wm cdot K u 1589 imes 106 m2s cp 1007 Jkg cdot K e Pr 0707 Calculando ReD ReD overlineV D u 37760 Admitese que por ser turbulento o comprimento de entrada é pequeno se comparado ao comprimento total Assim para escoamento turbulento termicamente desenvolvido NuD 0023 ReD08 Pr03 951 overlineh NuD kf D 125 Wm2 cdot K A vazão mássica de ar escoando pelo tubo é dotm rho overlineV pi D2 4 11614 imes 3 imes pi 4 imes 022 01095 kgs Finalmente calculase Tms Tms Ts Ts Tme epi D L overlineh dotm cp 208 C Assim o novo valor de overlineTm será overlineTm 32 208 2 273 2994 K Que por ser muito próximo do valor anterior 300 K dase por satisfatória a resposta obtida Tms 208 C b O enunciado diz que é o tubo quem fica na mesma temperatura da água 15 C Assim ao haver um depósito de mineral sobre a superfície interna do tubo a temperatura de contato entre o ar e a superfície interna deste mineral será diferente de 15 C devido à resistência térmica do mineral Devese portanto estimar um coeficiente global de transferência de calor entre Ts e Tmx havendo ai duas resistências térmicas a serem consideradas a condutiva no mineral e a convectiva do ar interno de tal modo que ao final se possa escrever Tms Ts Ts Tme epi Di L Ui dotm cp onde Di e Ui referemse à superfície interna no mineral Di D 2t 200 21 198 mm Ui 1 1 hi ri km ln ro ri onde ri Di2 99 mm ro D2 100 mm km 5 Wm K hi deve ser determinado por procedimento semelhante ao do item a Assumindo mesma Tms inicial do item a T m 300 K ρ 11614 kgm3 k 00263 Wm K ν 1589 106 m2s cp 1007 Jkg K e Pr 0707 Calculando ReD ReDi V Di ν 37382 Admitese que por ser turbulento o comprimento de entrada é pequeno se comparado ao comprimento total Assim para escoamento turbulento termicamente desenvolvido NuDi 0023Re08 DiPr 03 943 hi NuDik Di 124 Wm2 K A vazão mássica de ar escoando pelo tubo é m ρV πD2 i 4 11614 3 π 4 01982 01073 kgs Ui 1 1 124 0099 5 ln 01 0099 1237 Wm2 K Observe que o valor de Ui hi Isto significa que o gradiente de temperatura que se estabelece na parede mineral é desprezível Mesmo assim continuando a solução Tms 15 15 32 e π0198151237 010731007 Tms 208 C Assim a resposta obtida confirma que a presença do mineral é desprezível para a troca de calor 2 Admitese condições de regime permanente temperatura da superfície do tubo uniforme perdas de calor para a vizinhança desprezíveis propriedades termofísicas constantes para as duas condições de vazão Igualando balanço de energia com lei de resfriamento de Newton temse mcTms Tme hπDLTlm A seguir designase por condição 1 a vazão de 1200 kgh e condição 2 a vazão de 400 kgh Assim ΔTlm1 Ts Tms1 Ts Tme lnTs Tms1Ts Tme 60 30 60 20 ln60 3060 20 3476 C overlineh1 dotm1 c Tms1 Tme pi D L Delta Tlm 12003600 imes 2000 imes 30 20 pi imes 0025 imes 5 imes 3476 48838 Wm2 cdot K quad Re1 4 dotm1 pi D mu 4 imes 12003600 pi imes 0025 imes 001 1698 quad Re2 4 dotm2 pi D mu 4 imes 4003600 pi imes 0025 imes 001 566 Como os escoamentos são laminares em ambas as condições e o comprimento de entrada hidrodinâmico D005Re vale 21 m e 07 m para as condições 1 e 2 respectivamente Como estes valores são significativos frente a magnitude de L 5 m principalmente na condição 1 seguese que a correlação de Sieder e Tate é a mais recomendável para cálculo do número de Nusselt¹ overlineNu 186 fracRe PrLD 13 fracmumus 014 Note agora que somente Re varia entre as condições 1 e 2 Isso sugere que fracoverlineNu2overlineNu1 leftfracRe2Re1right13 herefore fracoverlineh2overlineh1 leftfracdotm2dotm1right13 overlineh2 48838 imes leftfrac4001200right13 33863 Wm2 cdot K Voltando ao balanço 4003600 imes 2000 imes Tms2 20 33863 imes pi imes 0025 imes 5 imes frac60 Tms2 60 20 lnleftfrac60 Tms260 20right Cuja solução é Tms2 378 C 3 Tratase de um caso de convecção forçada em escoamento interno com temperatura externa constante Ts Na transferência de calor que acontece entre o óleo e a superfície do solo não existe conversão de energia sendo assim podemos usar a analogia elétrica no seguinte circuito térmico Tsolo cosh12zDi ksolo 2 pi L Tse lnDiD 2 pi L ki Tsi 1 h pi D L Tm onde Tsolo Tse Tsi e Tm são respectivamente as temperaturas da superfície do solo na super ¹Não se pode analisar o comprimento de entrada térmico uma vez que não se conhece o valor de Pr fície externa da tubulação já com o isolamento na superfície interna da tubulação e média do óleo As condutividades térmicas do solo e do isolante são designadas por ksolo e ki z é a distância do solo ao centro do tubo Di o diâmetro externo da tubulação com isolante D o diâmetro interno da tubulação L o comprimento da tubulação entre os pontos de aquecimento e h o coeficiente de película da convecção interna entre o óleo e a parede do tubo A resistência referente à condução através do solo foi obtida usando a equação fornecida q ksolo S Tsolo Tse Rightarrow Rcond solo 1 ksolo S cosh12zDi ksolo 2 pi L Como se trata de um caso com temperatura externa constante sendo Rtot a resistência total equivalente dotm a vazão mássica de óleo Tme a temperatura média na entrada da tubulação e Tms a temperatura média na saída da tubulação vale a equação 1 dotm co Rtot ln left fracTsolo TmsTsolo Tme right 1 Para o caso limite de queda de temperatura Tms Tme 5 120 5 115 C Neste caso o valor de Rtot pode ser obtido substituindose os valores dados no enunciado na eq 1 Rtot 1 dotm co lnfracTsolo TmsTsolo Tme 1 500 imes 2000 imes ln frac40 11540 120 3150 imes 105 KW A resistência total é a soma das resistências do circuito acima Rtot cosh12zDi ksolo 2 pi L lnDiD 2 pi L ki 1 h pi D L 2 Além do valor de Rtot calculado acima conhecemos também os valores de z 3 m ksolo 035 Wm cdot K L 105 m D 12 m e ki 005 Wm cdot K que foram dados no enunciado Para ser possível calcular Di resta então determinar h Começamos calculando o número de Reynolds do escoamento ReD 4 dotm pi D uo rhoo 4 imes 500 pi imes 12 imes 85 imes 104 imes 900 693 2100 Rightarrow escoamento laminar A correlação para escoamento laminar plenamente desenvolvido com temperatura externa constante fornece NuD 366 Sendo assim o valor de h é h NuD ko D 366 imes 014 12 0427 Wm2 cdot K Multiplicando todos os termos da eq 2 por pi L e substituindo os valores numéricos das variáveis 9986 cosh16Di 07 lnDi12 01 1952 Rightarrow 5561 cosh16Di 7 lnDi12 lnDi12 5561 cosh16Di 7 Rightarrow Di 12 imes efrac5561 cosh16Di7 Resolvendo de forma iterativa obtemos Di 2076 m Portanto a espessura de isolamento é e Di D 2 2076 12 2 0438 m 4 a Por não ser conhecida a temperatura dos gases na seção de saída Tms devese assumir um valor para determinação das propriedades Assumindo Tms 15 C seguese que Tm Tme Tms 2 200 15 2 1075 C 3805 K Da tabela de propriedades para o ar do enunciado propriedades termofísicas dos gases de exaustão iguais às do ar cp 1012 Jkg K k 00323 Wm K μ 2216 107 Pas e Pr 0694 Calculando ReD ReD 4ṁ π D μ 4 0003 π 0006 2216 107 28730 NuD 0023 ReD08 Pr03 0023 2873008 069403 76 hi NuD kf Di 76 00323 0006 409 Wm² K b Para avaliação das propriedades do ar em escoamento cruzado ao lado externo do tubo não se conhece a temperatura superficial do tubo nem se pode admitir que esta seja constante Assim a opção mais adequada é avaliar tais propriedades à temperatura do ar externo T 15 C 288 K k 00253 Wm K v 1482 106 m²s Pr 071 Avaliando agora o coeficiente de transferência de calor por convecção externo ReD V D v 5 0006 1482 106 2024 NuD 03 062 ReD12 Pr13 1 04 Pr2314 1 ReD 2820005845 2295 he NuD kf D 2295 00253 0006 968 Wm² K Admitindo que a resistência térmica do tubo parede é desprezível dada sua baixa espessura seguese que 1U 1hi 1he 1409 1968 U 783 Wm² K c Utilizando a equação para distribuição de temperatura de mistura na condição de temperatura superficial uniforme neste caso sendo T a referência para temperatura constante e U o coeficiente de transferência de calor T Tms T Tm2 eπ D L U ṁ cp 15 Tms 15 200 e π000620783 00031012 Tms 15011 C 15 C Logo o valor utilizado inicialmente para esta temperatura foi uma excelente aproximação