Lista de Exercícios Resolvidos - Condução com Geração - Termodinâmica e Transferência de Calor

PME3398 Fundamentos de Termodinâmica e Transferência de Calor Professores Bruno Carmo e Antonio Pacífico Lista de exercícios resolvidos 10 Condução com geração 1 Seja a condução unidimensional em uma parede plana composta Sua superfície externa está exposta a um fluido a 25 C com um coeficiente convectivo de 1000 Wm2K Na parede intermediária B há geração uniforme de calor a uma taxa qB enquanto não existe geração nas paredes A e C As temperaturas nas interfaces são T1 261 C e T2 211 C Supondo resistências de contato desprezíveis nas interfaces determine a taxa volumétrica de geração de calor qB e a condutividade térmica kB 2 Uma parede plana de espessura L 4 cm possui condutividade térmica k 20 WmK Uma reação química ocorre dentro da parede resultando em uma geração de calor uniforme a uma taxa egen 105 Wm³ Entre a parede e a camada isolante existe um aquecedor de espessura desprezível que gera um fluxo de calor qs 16 kWm² O lado oposto da parede está em contato com água a uma temperatura T 40 C Um sensor de temperatura localizado na parede em contato com a água marca Ts 90 C Pedese a O coeficiente de transferência de calor por convecção entre a parede e a água b Mostre que a distribuição permanente de temperatura possui a forma Tx ax² bx c e determine os valores e unidades de a b e c A origem de x é mostrada na figura c Determine a posição e o valor da temperatura máxima na parede d Esta posição pode ser encontrada sem conhecer os valores de a b e c mas sabendo que Tx é uma função quadrática Justifique 3 Considere uma tubulação de água de comprimento L 17 m raio interno r1 15 cm raio externo r2 20 cm e condutividade térmica k 14 WmK Gerase calor uniformemente no cano por um aquecedor elétrico de 25 kW As superfícies interna e externa da tubulação estão a T1 60 C e T2 80 C respectivamente Pedese a A equação da distribuição de temperatura em função do raio do cano entre r1 e r2 específica para as condições deste enunciado b A temperatura do cano na sua superfície média r r1 r22 c A temperatura calculada no item b é a temperatura máxima Justifique 4 Rejeitos radioativos são colocados em um recipiente esférico de parede delgada Os rejeitos geram energia térmica de forma não uniforme de acordo com a relação q qo1r ro2 na qual q é a taxa local de geração de energia por unidade de volume qo é uma constante e ro é o raio do recipiente Condições de regime estacionário são mantidas pela imersão do recipiente em um líquido que se encontra a T e fornece um coeficiente convectivo h uniforme Determine a distribuição de temperaturas Tr no interior do recipiente Expresse o seu resultado em termos de qo ro T h e da condutividade térmica k dos rejeitos radioativos PME3398 Fundamentos de Termodinâmica e Transferência de Calor Professores Bruno Carmo e Antonio Pacífico Soluções da Lista de Exercícios 10 1 Condução em regime permanente em parede plana com geração em B e sem geração em A e C Fazendo um balanço de energia em B por unidade de área 2qB LB q1 q2 qB q1 q2 2LB Para determinar os fluxos q1 e q2 construímos os circuitos térmicos para as paredes A e C T 25 C T1 261 C T2 211 C T 25 C Rconv 1h RA LA kA q1 RC LC kC Rconv 1h q2 q1 T1 T 1h LA kA q2 T2 T 1h LC kC q1 261 25 1 1000 0030 25 q2 211 25 1 1000 0020 50 q1 107273 Wm2 q2 132857 Wm2 Usando estes valores encontramos o valor de qB qB 107273 132587 2 0030 399 106 Wm3 Para encontrar kB usamos a forma geral da distribuição de temperaturas numa parede com geração aplicada à parede B Tx qB 2kB x2 C1 x C2 Aplicando as condições de contorno TLB T1 e TLB T2 obtemos C1 T2 T1 2LB C2 qB 2kB LB2 T1 T2 2 Tx qB L2 2kB 1 x2 LB2 T2 T1 2 x LB T1 T2 2 Calculamos então a expressão do fluxo de calor qxx kB dTdx kB qB kB x C1 qB x C1 kB qB x T2 T1 2LB kB e usamos um dos pontos onde conhecemos o valor do fluxo por exemplo qxLB q2 132857 399 106 0030 211 261 2 0030 kB kB 158 Wm K 2 a O fluxo de calor total que emerge pela face da parede em contato com a água qt é dado por qt qs qL Nesta face o balanço de energia então será dado por qt h Ts T qs qL h Ts T h qs qL Ts Tinfty h 16000 105 004 90 40 400 Wm2K b A equação diferencial para este caso é k d2T dx2 q 0 Cuja solução é Tx q 2k x2 bx c De onde fica claro que a solução é do tipo Tx ax2 bx c Determinando os coeficientes a b e c a q 2k 105 220 2500 Cm2 Para x 0 Tx 0 T0 Ts 90 C logo c 90 C Para x L k dTdxxL qs Assim1 k qL k b qs b 1k qs qL 120 16000 105 004 1000 Cm c Para polinômios do 2º grau a coordenada para pontos de máximo ou mínimo é xextr b 2a 1000 2 2500 02 m 20 cm Mas x 20 cm localizase fora da parede Assim Tmáx ocorre para x L Tmáx Tx L 2500 L2 1000 L 90 Tmáx 2500 0042 1000 004 90 126 C d O sentido de qsx L se dá no sentido negativo da coordenada x Assim em x L isso indica que a temperatura no sentido positivo de x Se a é negativa o gráfico de Tx é semelhante ao da figura A abaixo que mostra Tmáx em x L Se a é positiva o gráfico de Tx deve ser semelhante ao da figura B que é incompatível com o sentido da transferência de calor na superfície da parede em contato com a água Assim a distribuição de temperatura 1b também poderia ter sisdo calculado por k dTdxx0 h Ts T ka 0 b hTs T b 400 20 90 40 1000 cm deve ser como indicado na figura A onde Tmáx ocorre somente em x L e assim esta fica determinada sem utilização de valores numéricos de a b ou c s q0 s qL s qL s q0 Aqui transferência de calor e inclinação são incompatíveis inclinação máx A inclinação mín B Note que outra maneira de argumentar seria Em regime permanente o sentido do fluxo de calor não pode ser da direita para a esquerda em nenhum lugar porque o limite esquerdo da parede é isolado Se isto fosse verdade fluxo de calor da direita para a esquerda então deveria haver acúmulo de energia em algum lugar contradizendo o regime permanente Deste modo a temperatura deve diminuir continuamente da esquerda para a direita e assim Tmáx ocorre em x L 3 Para realização dos cálculos envolvidos neste exercício antes é necessário conhecer a taxa de geração volumétrica de energia q000 Q V 4 Q D2 2 D2 1 L 4 25 103 042 032 17 2675 kWm3 a Equação diferencial difusão do calor 1D regime permanente com geração de energia 1 r d dr rdT dr q000 k 0 Condições de contorno 1 Tr1 T1 60 C 2 Tr2 T2 80 C Voltando à solução da equação diferencial rdT dr q000r2 2k C1 dT dr q000r 2k C1 r Tr q000r2 4k C1 ln r C2 Aplicando as condições de contorno 60 2675 103 0152 4 14 C1 ln 015 C2 80 2675 103 022 4 14 C1 ln 02 C2 Resolvendo C1 9858 C2 2578 Assim Tr 2675 103r2 4 14 9858 ln r 2578 4777r2 9858 ln r 2578 b No plano central rc r1 r2 2 175 cm Trc 4777 01752 9858 ln 0175 2578 713 C c Na condição de máxima temperatura dT dr 0 assim qr 2k 9858 r 0 2675 103 r 2 14 9858 r rTmáx 0321 m 321 cm Portanto Tmáx só ocorreria para um raio maior que o limite físico do exercício 20 cm Logo a temperatura calculada no item b não é a temperatura máxima a temperatura máxima ocorre para r r2 20 cm 4 Tratase de um caso de condução unidimensional com geração em geometria esférica com condutividade térmica constante A forma apropriada da equação de difusão do calor é 1 r2 ddr r2 dTdr q k qo k 1 r ro2 Integrando em r ddr r2 dTdr dr qo k r2 r4 ro2 dr r2 dTdr qo k r3 3 r5 5ro2 C1 Integrando mais uma vez em r dTdr dr qo k r3 r3 5ro2 C1 r2 dr Tr qo k r26 r4 20ro2 C1 r C2 Aplicamos agora as condições de contorno dTdrr0 0 simetria dTdrr0 qo k 03 03 5ro2 C1 02 0 C1 0 k dTdrrro h Tro T qo k ro 3 ro3 5ro2 h qo k ro2 6 ro4 20ro2 C2 T C2 2ro qo 15h 7qo ro2 60k T Portanto a distribuição de temperaturas é Tr T 2ro qo 15h qo ro2 k 760 16 rro2 120 rro4