Lista 1 - Estabilidade Estrutural - Mecsol 2

fed Wes Ke ‘ie ESCOLA POLITECNICA DA UNIVERSIDADE DE SAO PAULO Ke J DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECANICA SO SSS SP PME-3211 - Mecanica dos Solidos IT I‘ Lista de Exercicios — Estabilidade Estrutural PARTE I: Exercicios do Livro-Texto (Cap.11) 11.2-1. A figura mostra uma estrutura idealizada consistindo em uma barra rigida AB, de comprimento L, vinculada a um pino e a uma mola torcional linear de constante Bp na extremidade inferior. Determine a carga critica da estrutura. Resp: P., = Br/L P B L BR A 11.2-3. A figura mostra uma estrutura idealizada consistindo em duas barras rigidas, AB e BC, de comprimento L/2, vinculadas por pinos e molas torcionais lineares de constante Bp. Determine a carga critica da estrutura. Resp: P., = 6 Br/L P C Br L 2, B Br L 2 Br A 1 fee , Nae) 39ESCOLA POLITECNICA DA UNIVERSIDADE DE SAO PAULO Sw, DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECANICA SO SSS SP 11.2-5. A figura mostra uma estrutura idealizada consistindo de duas barras rigidas, de comprimento L, vinculadas por um pino e a uma mola torcional linear de constante Bp em C. Determine a carga critica da estrutura. Resp: P., = 3 Br/L Elastic connection C k Br A B ty <_< L/2 L/2 L 11.2-7. A figura mostra uma estrutura idealizada consistindo em uma estrutura rigida ABC em forma de L, apoiada por uma mola elastica linear (de constante £6), em C, e vinculada a uma mola torcional linear de constante Bp = 3817/2 em A. Determine a carga critica da estrutura. Resp: P., = 7BL/4 : | C B L/2 B L Elastic support Br = 3BL*/2 A 11.3-4. Uma viga horizontal AB esta apoiada por um pino na extremidade A e suporta um momento M na extremidade B, aplicado no sentido horario. A viga é apoiada também em C por uma coluna de extremidade pinada em D e de comprimento L. Esta coluna ¢ restrita lateralmente a 0,62 da base em D, como indicado na figura. A coluna é uma barra de aco (FE = 200 GPa) solida de secao transversal quadrada de largura 6b. Determine 0 momento admissivel considerando que o fator de segurancga em relacgao a flambagem da coluna én= 2,0. Dados: L =2,4m, d=L/2=1,2m, b= 70 mm. Resp: Maam = 1143 kN.m 2 eS pel ey, (Ale =\) r i Sere ESCOLA POLITECNICA DA UNIVERSIDADE DE SAO PAULO ASS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECANICA eZ pe ec en A Cc B ) d 2d ie oy 0.6 L D 11.3-8. Uma barra delgada AB com extremidades apoiadas por pinos e comprimento L esta apoiada entre superficies imoveis. Qual aumento AT na temperatura da barra produzira flambagem? (considere valida teoria de Euler). Dados: J (menor momento de inércia da secao transversal), A (area da secao transversal), a (coeficiente de dilatagao térmica linear do material). Resp: AT = 171 /aAL? | A AT B | - 11.3-18. Uma treliga ABC sustenta a carga W na junta B, como mostrado na figura. O comprimento L, do membro AB é¢ fixo, mas o comprimento do esteio BC varia conforme 0 angulo @ é modificado. A barra BC tem uma segao transversal circular sdlida. A junta B é restrita contra deslocamento perpendicular ao plano da treliga. Admitindo que o colapso ocorra pela flambagem de Euler da barra BC, determine 0 angulo @ para o peso minimo da barra. Resp: 6 = 26,57° A B | I 0 | W 7 iC | /}———L 3 fed Wes Ke oer ESCOLA POLITECNICA DA UNIVERSIDADE DE SAO PAULO Ke J DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECANICA SO ——— SSS SP PARTE II: Exercicios Complementares 1) Determine as duas primeiras cargas criticas de flambagem (autovalores) e os respectivos modos de flambagem (autovetores) para a barra AB de comprimento L e rigidez flexional EJ indicada abaixo. Esboce os dois modos de flambagem obtidos. Dados: EV, L. | B L A ee 2) Mostre, utilizando a teoria de 2° ordem, que a expressao da linha elastica da viga-coluna indicada abaixo (comprimento / e rigidez flexional E7) quando submetida a um carregamento uniformemente distribuido de intensidade g e a forgas de compressao de intensidade P é dada por: kL kx)? (kL v(x) =- aa [ean (=) sen(kx) + cos(kx) + ee — (=) (kx) - | onde:k = ./P/EI (observe o carater nao-linear entre os deslocamentos transversais v(x) e a forca P). y q [Sor DS x wee Me ! — 4 ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 5 3) Utilizando o resultado do problema 2, mostre que o deslocamento transversal em x = l/2 é dado por:       − − = = 4 2 4 2 .2 sec( ) . 32. . ( / 2 ) u u u EI q l v l δ , onde 2 u = k.l Mostre então que: a) a expressão do deslocamento δ dado acima recupera assintoticamente o deslocamento devido apenas ao carregamento uniformemente distribuído no limite para P → 0; b) é possível determinarmos a carga crítica de flambagem através da análise da expressão acima, notando, por exemplo, que, quando 2 u → π , teremos δ → ∞ , ou seja, o deslocamento torna-se indeterminado a medida em que P se aproxima da carga crítica. (Obs: o mesmo resultado seria obtido se analisássemos o deslocamento em outro ponto da viga, a não ser, é claro, nas extremidades). 4) O sistema indicado abaixo é formado por uma viga rígida (“indeformável”) conectada a duas colunas: a coluna (1) é biarticulada nas duas extremidades, enquanto a coluna (2) é engastada na base e articulada no topo. As colunas são feitas de aço estrutural cujas propriedades são dadas abaixo. Pretende-se utilizar o mesmo perfil (tubular) para as duas colunas. Considerando que o diâmetro externo das colunas é d = 50 mm, determine qual deve ser a espessura utilizada para que o coeficiente de segurança com relação à estabilidade do sistema (como um todo) seja igual a 2 para o carregamento indicado na figura. Dados do material: E = 200 GPa, σp = 210 MPa, σe = 240 MPa Dados geométricos: l = 2500 mm, b = 1500 mm, d = 50mm (diâmetro externo das colunas) Dados do carregamento: Q = 50 kN l b b b (1) Q barra rígida (2) ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 6 5) A figura abaixo mostra uma barra horizontal BC, de diâmetro D = 50,8 mm e módulo de elasticidade E = 207 GPa. O fio AB tem um diâmetro d = 6,35 mm e pode suportar uma tensão máxima σúlt = 345 MPa. Determine o valor máximo que a força Q pode ter para que o sistema (barra + fio) não falhe. Dados adicionais: l = 4570 mm; θ = 45o; σp = 210 MPa e σe = 240 MPa (para a barra BC). 6) Uma coluna é constituída por dois perfis I (vide características do perfil na tabela a seguir) ligados de forma a trabalharem como um único pilar (vide figura à direita). Admitindo que tal pilar seja biarticulado em suas extremidades, determine o comprimento mínimo do mesmo para o qual a fórmula de Euler seria válida (flambagem global no regime elástico). Qual seria a carga crítica de flambagem neste caso? Dados: E = 210 GPa, σp = 210 MPa, d = 101, 6 mm Perfil Área Altura I (eixo 1-1) r (eixo 1-1) I (eixo 2-2) r (eixo 2-2) S6 × 12,5 23,68 cm2 152,4 mm 919,87 cm4 62,23 mm 75,75 cm4 17,91 mm d 1 1 2 2 A B C l Q θ ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 7 7) Um pilar de aço tem seção transversal retangular de dimensões a x 2a e comprimento l =1,5m. Pede-se determinar o valor da dimensão a sabendo que este pilar é biarticulado e que deve suportar uma carga axial compressiva (centrada) de intensidade P = 800 N com um coeficiente de segurança η = 2. Dados: E = 210 GPa, σe = 240 MPa, σp = 210 MPa. 8) A coluna AB possui seção transversal circular cheia (diâmetro d), encontrando-se engastada na base e articulada, no topo, a uma barra horizontal rígida que suporta uma força concentrada Q = 80 kN, conforme a figura. Determine o diâmetro (d) necessário à coluna AB, para que o fator de segurança com respeito à flambagem ou escoamento seja C.S. = 2 (verifique se a fórmula de Euler pode ser utilizada neste caso). Dado: l = 1,0 m E = 200 GPa (módulo de elasticidade) σp = 200 MPa (tensão limite de proporcionalidade) σe = 250 MPa (tensão de escoamento) 9) A barra vertical de seção circular (diâmetro d) e comprimento total l encontra-se inicialmente descarregada, tendo parte de seu comprimento fora e parte dentro de uma cavidade indeformável. No interior da cavidade há uma mola linear de constante km, também inicialmente descarregada (desprezamos o efeito do peso próprio da barra). Uma força de compressão P é então gradativamente aplicada até que a flambagem da barra ocorra. Determine o mínimo valor de P para o qual a flambagem ocorre. Verifique se a fórmula de Euler é válida nesta situação ou não. Dados: l = 3000 mm; a = 2200 mm; b = 800 mm; d = 60 mm; E = 200 GPa; σp = 210 MPa; σe = 240 MPa; km = 500 N/mm. Q l l 2 l A B ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 8 10) A barra horizontal mostrada na figura é simplesmente apoiada pelas colunas AB e CD, as quais são articuladas no topo à barra horizontal, sendo o suporte A fixo e o suporte D articulado. Ambas colunas tem seção transversal quadrada com largura b = 15 mm. Determine a máxima carga Q que pode ser aplicada ao sistema para que nenhuma das colunas flambe. Dados: l = l1 = 1,0 m, l2 = 1,2m, a = 0,4 m, E = 200 GPa a b l1 l2 δ P Q l1 l l2 a A B C D ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 9 11) A estrutura treliçada é formada por tubos de mesmo material e mesma seção transversal. O carregamento consiste de uma única força Q conforme indica a figura. Determine qual o valor máximo de Q para que nenhuma barra sofra flambagem. Dados: EI¸ l. Respostas dos Exercícios Complementares 1) A primeira carga crítica de flambagem ocorre para . = 2π k l , onde EI P k = , resultando: 2 4 2. l EI Pcr = π e o primeiro modo de flambagem é dado por:      −      = 1 . cos 2 ( ) l x A v x π A segunda carga crítica de flambagem ocorre para . ≅ ,8 9868 k l , resultando: 2 ,8183. 2. l EI Pcr π ≅ e o segundo modo de flambagem é:     + − − = 2 . . 2 .cos( . ) . . sen( . ) ( ) k l k x k x k l k x A v x , com . ≅ ,8 9868 k l . ______________________________________________________________________________________ 4) t ≅ 5,2 mm ______________________________________________________________________________________ 5) Carga máxima para que não haja rompimento do fio: Qmáx ≅ 7,73 kN Carga máxima para que não haja flambagem da barra: Qmáx ≅ 31,98 kN Logo: Qmáx ≅ 7,73 kN (condição limite: rompimento do fio) L L L L L Q ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 10 ______________________________________________________________________________________ 6) lmín = 5,35 m , Pcr = 994,4 kN. ______________________________________________________________________________________ 7) a = 10,1 mm. ______________________________________________________________________________________ 8) d = 50,4 mm. Vale a fórmula de Euler (flambagem ocorre no regime elástico-linear). ______________________________________________________________________________________ 9) Pcr ≅ 74,65 kN. Vale a fórmula de Euler (flambagem ocorre no regime elástico-linear). ______________________________________________________________________________________ 10) Qmáx ≅ 14,46 kN (caso este valor seja ultrapassado a barra CD irá flambar) ______________________________________________________________________________________ 11) 2 2. 2 . 2 l EI Qmáx π =