Lista 3 - Estudo das Tensões Pt1 - Mecsol 2

14( 5 . er ESCOLA POLITECNICA DA UNIVERSIDADE DE SAO PAULO 4 . RSE DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECANICA ae PME-3211 — Mecanica dos Solidos IT 3° Lista de Exercicios: Estudo das Tensées — Parte I PARTE I: Exercicios do Livro-Texto (Cap.7) 7.2-9. O revestimento de polietileno de um reservatorio de recalque esta submetido as tensdes a, = 6 MPa, oy = 3 MPae Txy = -1,5 MPa, como ilustrado no elemento de estado plano de tens6es na figura a esquerda. Determine as tens6es normal e de cisalhamento que agem em uma costura orientada a 30° em relacao ao eixo vertical y, como indicado na figura a direita. Mostre essas tens6es em um esboc¢o de um elemento de tensao tendo seus lados paralelos e perpendiculares a costura. Yh 1 8 = 30° ; 3 MPa —! \ — UX. — —_— > x 1,5 MPa costura I 7,.2-12. Uma chapa retangular de dimensdes 250 mm x 100 mm é fabricada soldando-se duas chapas triangulares. A chapa retangular assim formada esta submetida a tensdes de compressao de 2,5 MPa aplicadas sobre os lados verticais e a tensdes de tragéo de 12 MPa aplicadas sobre os lados horizontais. Determine a tensao normal agindo perpendicularmente a linha de solda e a tensao de cisalhamento agindo paralelamente a linha de solda. Esboce estas tensdes em um elemento tendo seus lados paralelos e perpendiculares a linha de solda. 12.0 MPa Pre TEED =e 2.5 MPa 1 EPUSP - Depto. de Eng. Mecanica PME-3211 / Mecanica dos Sdlidos II Prof. R. Ramos Jr. 7.3-10. Um eixo propulsor, submetido a torgao combinada com um carregamento axial de compressao, é projetado para resistir a uma tensao de cisalhamento de 56 MPa e a uma tensao de compressao de 85 MPa (conforme a figura). a) Determine as tensdes principais e mostre-as em um elemento orientado adequadamente (em relagao aos planos horizontal e vertical indicados na figura); b) Determine as tensdes de cisalhamento maximas e as tensdes normais que ocorrem nos planos de maxima tensao cisalhante. Mostre tais tensbes em um elemento orientado adequadamente (em relacAo aos planos horizontal e vertical indicados na figura). hae — = |_| - ——~ 56 MPa Resp. parciais: a) 0, = 27,8 MPa, 02 = 0, 03 = -112,8 MPa b) Tmax = 70,3 MPa, o = -42,5 MPa 7.3-20. Um elemento em estado plano de tens6es esta submetido as tensdes indicadas na figura. Sabendo que uma das tens6es principais é igual a 33 MPa em tragao, pede-se: a) Determine a tensao oy; b) Determine a outra tens&o principal e a orientacao dos planos principais. Mostre entao as tens6es principais em um esboco de um elemento orientado adequadamente (em relagao aos eixos x e y indicados na figura). P I —— 42 MPa 50 MPa —| O <——; Resp. parciais: a) dy = 11,7 MPa; b) @p1 = 63,15° 2 EPUSP - Depto. de Eng. Mecanica PME-3211 / Mecanica dos Sdlidos II Prof. R. Ramos Jr. Exercicios Complementares 1) Determine o tensor das tensdes, escrito em relacgao a base b = (€,,é y ,€,), para cada um dos casos indicados. Nota: as tenses indicadas estao em valores absolutos e expressas em MPa (as tensdes nas faces nao visiveis nao estao indicadas, apesar de existirem, para nao sobrecarregar a figura). 20 ‘ ZF y ZA 25 8 54 11 ° | " | y 10 i 7 xX Z | / Ze | / yo APG 21 6 4,5 y 4 x A 5 15 2) Um elemento em estado plano de tensdes esta submetido as tensdes a, = 50 MPa, a, = 30 MPae Tyy = 20 MPa, como ilustrado na figura a esquerda. Determine as tensdes agindo nas faces de um elemento orientado segundo um angulo 8 = 60° a partir do eixo x, como indicado na figura a direita. 30 MPa / 1 ‘ 6 = 60° _ — _ 20 MPa ? 3 EPUSP - Depto. de Eng. Mecanica PME-3211 / Mecanica dos Sdlidos II Prof. R. Ramos Jr. 3) A figura abaixo indica o eixo central de uma estrutura tubular (com diadmetro interno dj = 254 mm, e espessura ¢ = 25,4 mm) engastada na extremidade C. Os trechos AB e BC sao ortogonais entre si e estaéo ambos contidos no plano xz. Forgas concentradas de intensidade F e 2F sao aplicadas respectivamente nas secdes A e B, conforme ilustrado. O material utilizado é 0 aco estrutural A36, cujas propriedades sao dadas abaixo. Pede-se determinar 0 estado de tensdes nos seguintes pontos da estrutura (vide observag6es a seguir): P| =(Q2L, dj/2 + t, 1/2) P4 = (0, d/2 + t, 0) P2 =(L, d/2 +t, 0) Ps = (0, 0, di/2 + 2) P3 = (L, -dj/2 — t, 0) Po = (0, 0, —di/2 — t) y . 1 2FO , ‘ CA A la F Dados do problema: F = 2000 N; L = 2,0 m; g = 10 m/s”. E = 200 GPa (modulo de elasticidade do material); G = 78 GPa (modulo de elasticidade transversal do material); p = 7850 kg/m? (massa especifica do material). Observacoes: a) O estado de tensdes deve ser indicado: (1) com um elemento 3D de lados paralelos aos eixos coordenados x, y, z indicados na figura, com todas as tensdes nao-nulas representadas neste elemento (indicar 0 sentido em que cada tensdo esta atuando e sua magnitude) e (11) com o tensor das tensdes escrito em relacdo a base de versores b =(€, ,€,,€,) ; b) Considerar o efeito do peso proprio da estrutura uma vez que este tem a mesma ordem de grandeza dos esforgos concentrados aplicados; c) Levar em consideragao as tensdes de cisalhamento devidas a for¢a cortante, quando for pertinente; d) Expressar todas as tensdes em MPa. —. TT as. TOS EPUSP - Depto. de Eng. Mecanica PME-3211 / Mecanica dos Sdlidos II Prof. R. Ramos Jr. 4) Uma viga de secao transversal retangular (base b, altura /) é submetida a um momento fletor de intensidade M (flexao uniforme). A partir da distribuicgao de tensdes normais em uma se¢ao transversal genérica (1.¢, a partir de o,), expressa em fungao dos parametros dados, determine: a) a distribuicao de tensdes normais (o,) segundo o plano inclinado AB, para 0= 45°; b) a distribuicgdo de tensdes de cisalhamento (t,) segundo o plano inclinado AB, para 0= 45°. ¥ A N M = M h Xx N N B b 5) Considerando os dados do exercicio 3, determine: a) Os esforcos solicitantes na sec¢ao mais solicitada (secao critica); b) O estado de tensdes no ponto considerado mais critico desta secao (vide obs.(a) do exercicio 3); c) as tens6es principais e as dire¢des principais de tensao para o ponto escolhido no item (b). Faga também um desenho indicando a orienta¢ao dos planos principais de tensdo (com relacao aos eixos x, y, Z)em um elemento 3D. 6) O eixo indicado a seguir esta submetido a torcao pura, sendo dados: M; (momento tor¢or aplicado) e d (didmetro do e1xo). Determine: a) O estado de tensdes em um ponto qualquer da superficie do eixo, utilizando a base b = (€,.,é9,€, ) ligada ao sistema de coordenadas cilindricas (indique o estado de tensdes em um elemento 3D); b) O tensor das tensdes na base b = (é,.,é9,é,) para o ponto descrito em (a); c) As tenses principais associadas ao ponto. Y = mo €, €&9 > \A N 4 e \ M 2 so) M, ss gm alone Be Wecraies ermine 2. am a wl elseeuce ! \ ! / x \ of 5 EPUSP - Depto. de Eng. Mecanica PME-3211 / Mecanica dos Sdlidos II Prof. R. Ramos Jr. 7) As tensdes atuantes em dois planos (A-A e B-B) que passam por um dado ponto (Q) de uma chapa plana estado indicadas na figura a seguir. Determine o valor da tensao normal og (que atua no plano B-B) bem como os valores das tens6es principais no ponto Q. Considere que existam apenas tensdes no plano da estrutura (estado plano de tensdes). Dados: 0= 45°, B= 60°. Fi F, F A, 6 4 7 4 F. “a @ 2 Bw’ \h i ye 4 7 A o ™ FP 5 7 F 3 Fy XY Py 40 MPa J #6 F. p B_____\Z\°__B F, . B \* 7 20. MPa B Ks .. 1. aly ad Op iy 8) A barra prismatica indicada na figura tem se¢cao transversal quadrada (lado a) e comprimento L >> a, sendo composta de duas partes que foram unidas com um adesivo através do plano definido pelos pontos P1, P2, P3 e P4. Por meio de ensaios realizados, sabe-se que 0 adesivo pode suportar uma tensao normal maxima de 4 MPa e uma tensAo de cisalhamento maxima de 2 MPa. Sem considerar o efeito combinado entre a tensdéo normal e a tensdo cisalhante na resisténcia do adesivo, determine, com base apenas nos valores admissiveis fornecidos, qual o maximo valor que a forga de tragao F pode ter para que o adesivo nao falhe. Dados: a= 40 mm, L = 1000 mm Equagao do plano de colagem segundo o sistema de coordenadas Oxyz: 2x + 2y + 2z = L. 6 EPUSP - Depto. de Eng. Mecanica PME-3211 / Mecanica dos Sdlidos II Prof. R. Ramos Jr. y P, F a a ee ee x x > - Vee Z P, Respostas dos Exercicios Complementares 20 -25 0 11 0O 0 1) a)[T], =|-25 -10 0} (MPa) b) [7], =| 9 -10 54] (MPa) 0 0 8 0 54 O 0 -6 0 45 0 -12 c) [T],=|-6 21 0| (MPa) d)[T],=| 0 15 6 (MPa) 0 0 5 -12 6 -7 2) O estado de tensdes no elemento girado fica dado por: 52,32 MPa 27,68 MPa / 0 = 60° 18,66 MPa 3) Os tensores [7] de cada ponto, escritos com relacdo a base indicada, sao: 00 O 4,52 0 2,61 a)noponto Pl: [T],=|/0 0 0 b) no ponto P2: [7], =| 0 O 0 0 0 2,00 2,61 0 O -452 0 —-2,61 13,9 0 2,61 c) no ponto P3: [T], =| 0 0 0 d) no ponto P4: [7], =| 0 O 0 -—2,61 0 0 2,61 0 O 7 EPUSP - Depto. de Eng. Mecânica PME-3211 / Mecânica dos Sólidos II Prof. R. Ramos Jr. 8 e) no ponto P5:           − − = 0 0 0 0 0 37 ,3 0 ,3 37 0 ] [ T b f) no ponto P6:           = 0 0 0 0 0 85 ,1 0 ,185 0 ] [ T b Obs: todas as tensões estão em MPa. 4) As distribuições de tensões normais e cisalhantes são dadas por: t n x n x n r r r r .sen .cos ). ( ). .sen ( 2 θ θ σ τ θ σ σ = = sendo, . 3 . 12 b h M y x = − σ , , 0) , cos (sen θ θ nr = e sen , 0) - , (cos θ θ tr = Para θ = 45o virá: ( ) ( y ) x n y x n e e b h y M e e b h y M r r r r r r − − = + − = . . . .2 3 . . . .2 3 3 3 τ σ , ou, em módulo: 3 3 . . .6 . . .6 h b M y h b y M n n = = τ σ r r 5) a) A seção mais crítica, neste caso, é a seção transversal próxima ao engaste (seção C). Os esforços nesta seção são: ) (mom. torçor) . ( 5,7 ) (mom. fletor) ( . 20 ) (f. cortante) ( . 5,8 x t z f y y e kN m M kN m e M kN m e V r r r r r r = − = − = b) Os pontos mais solicitados desta seção são os pontos mais afastados do eixo neutro, cujas coordenadas são dadas por:       + , 0 2 2 0 , t di e       + − , 0 2 2 ) ( 0 , t di O tensor das tensões, escrito com relação à base indicada, no ponto       + , 0 2 2 0 , t di é:           = 0 0 61 ,2 0 0 0 ,2 61 0 9, 13 ] [ T b (MPa) E o tensor das tensões para o ponto       + − , 0 2 2 ) ( 0 , t di é dado por:           − − − = 0 0 61 ,2 0 0 0 ,2 61 0 9, 13 ] [ T b (MPa) EPUSP - Depto. de Eng. Mecanica PME-3211 / Mecanica dos Sdlidos II Prof. R. Ramos Jr. c) As tens6es principais e diregdes principais de tensdo serao: 142 o, =14,374MPa n, =(0,983911; 0; 0,178657) . , +20 - i) para o ponto fo, 0}: o, =0 n, =(0; 1; 0) o, =—0,474MPa n, =(-0,178657; 0; 0,983911) o, = 0,474MPa n, =(0,178657; 0; —0,983911) —(d; +2t) - ii) para o ponto 0, 0}: |io, =0 n, =(0; 1; 0) 0, =-14,374MPa_ n; =(0,983911; 0; 0,178657) 6) a) A unica tensdo que existira, segundo a base de versores b = (€,,é,,é,), 6a tensdo de cisalhamento Tz (bem como sua complementar Tg,), dada em modulo por: tol = M, d_ 16M, 017, /2 nd? b) O tensor das tensdes na base indicada sera: ©, Tio Tyg 0 0 0 16.M@ [T],=|t OC Te I= 1M lo 0 1 md T, Tg OC, 0 1 0 16.M, 1 md ~ rae ~ 16.M, c) As tens6es principais no ponto serao: |lo, =0 > Tméx = TE _ 16M, * Oe a.d° Obs: Tal estado de tensdes ¢ chamado estado de cisalhamento puro. 7) a) o, =74,641 MPa Oo, = 82,925 b) Tenses principais no ponto: ||o, = 26,357 (MPa) 0; = 0 8) Finax = 6788 N (caso a forca exceda este valor, havera falha por cisalhamento no plano). 9