Cálculo de Integrais Duplas em Coordenadas Polares e Cartesianas - Soluções Detalhadas

O valor aproximado da integral R 8 x y dxdy Onde R é delimitado por x2 y2 4 no 2 quadrante é Observe que x2 y2 4 é a equação de uma circunferência de raio r 2 Como R está limitado ao segundo quadrante o domínio de interesse corresponde a um quarto de um disco com ângulo variando no intervalo π2 θ π e representação gráfica ilustrada a seguir Para este tipo de situação é prudente considerarmos uma mudança para coordenadas polares Então definimosx r cosθ y r sinθ Dessa forma a função do integrando passa a ser 8 x y dxdy r8 r cosθ r sinθ 8r r2 cosθ r2 sinθ drdθ Assim obtemos a integral iterada π2π 02 8r r2 cosθ r2 sinθ dr dθ π2π 4r2 r33 cosθ r33 sinθ02 dθ π2π 422 233 cosθ 233 sinθ dθ π2π 16 83 cosθ 83 sinθ dθ 16θ 83 sinθ 83 cosθπ2π 16π 16π2 83 sinπ 83 sinπ2 83 cosπ 83 cosπ2 8π 830 831 831 830 8π 251 Resposta final Opção 4 251 O valor aproximado da integral R 8 x y dxdy Onde R é delimitado por x2 y2 4 no 2 quadrante é O 225 O 267 O 208 O 251 O 27 Resolvendo a integral dupla a seguir ln2ln3 0ln5 e2y3xe3y2x dy dx Obtemos o valor exato de O 45 O 54 O 17 O 38 O 47 Salvar Questão 2 Resolvendo a integral dupla a seguir ln3 ln5 e2y3x ln2 0 e3y2x dydx Obtemos o valor exato de Solução Aplicando propriedades de potências podemos escrever ln3 ln5 e2y3x ln2 0 e3y2xdydx ln3 ln5 e2y3x3y2xdydx ln3 ln5 eyx dydx ln2 0 Defina u y x Temos que du dy dy du Então eyx dy eudu eu C eyx C Voltando ao problema inicial ln3 ln5 e2y3x ln2 0 e3y2x dydx ln3 ln2 eyx0 ln5 dx ln3 ln2 eln5x ex dx Dessa forma ln3 ln5 e2y3x ln2 0 e3y2x dydx eln5x ex ln3 ln2 eln5ln3 eln3 eln5ln2 eln2 153 3 15 2 2 Ou seja ln3 ln5 e2y3x ln2 0 e3y2x dydx 45 Resposta final Opção 1 45