Questão Fechada

A integral de linha c x y4 ds onde C é o arco da circunferência x2 y2 4 no 1 quadrante vale O produto dos coeficientes da solução particular da equação y y 2y 2x 1 é Segundo Newton a taxa de resfriamento de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente que o resfria Lei do Resfriamento de Newton Esta lei pode ser indicada pela equação dθdt k θ θA onde θ é a temperatura do corpo em um instante qualquer θA é a temperatura do ambiente que resfria o corpo t é o tempo e k é a constante de proporcionalidade Use esta lei e resolva a situação descrita a seguir Uma jarra de suco a 30C foi colocada num freezer a 4C Após meia hora a temperatura do suco era de 8C Dentre os valores a seguir qual é o que indica o valor mais próximo da temperatura do suco 45 minutos depois de ter sido levado ao freezer c 3xy2 20 ds Dentre as alternativas a seguir qual delas apresenta o valor aproximado da integral de linha c z2 dx x2 dy y2 dz sendo C o segmento de reta de 1 0 0 a 4 1 2 Dentre as alternativas a seguir qual delas apresenta o valor aproximado da integral de linha c z2 dx x2 dy y2 dz sendo C o segmento de reta de 1 0 0 a 4 1 2 Sabemos que a integral de linha ao longo da curva C é dada por c Fαtαtdt A curva C é Como se trata de um segmento de reta sua parametrização é αt A tBA 100 t412100 100 t312 3t1t2t 0 t 1 Então Fαt 2t23t12t2 4t2 9t2 6t 1 t2 E αt 312 Portanto temos 01 4t2 9t2 6t 1 t2 312 dt ₀¹ 12t² 4t² 6t 1 2t² dt ₀¹ 23t² 6t 1 dt 23t³3 3t² t ₀¹ 233 3 1 233 123 353 116 2² C 3xy²20 ds C segmentos de x 3t 1 e y 4t 0 t 1 Note que já temos a nossa parametrização αt 3t 1 4t Então fαt 33t 14t²20 33t 116t²20 123t³ t²5 Além disso temos que ds dxdt² dydt² 3² 4² 9 16 25 5 Portanto C 3xy²20ds ₀¹ 33t14t² 20 5dt ₀¹ 33t116t²4 dt ₀¹ 33t1 4t² dt ₀¹ 123t³ t² dt 12 3t⁴4 t³3 ₀¹ 1234 13 12912 412 12 512 5 3³ A integral de linha C x y⁴ ds onde C é o arco da circunferência x² y² 4 no 1 quadrante vale 2 circunferência de raio 2 Observe que C é Como nossa curva é um círculo vamos usar coordenadas polares αt r cos θ r sen θ 2 cos θ 2 sen θ 0 θ π2 Então ds dxdθ² dydθ² 2 sen θ² 2 cos θ² 4 sen² θ 4 cos² θ 4sen² θ cos² θ 4 2 Portanto C x y⁴ ds ₀π2 2 cos θ2 sen θ⁴ 2 dθ ₀π2 2 cos θ 16 sen⁴ θ 2 dθ 64 ₀π2 cos θ sen⁴ θ dθ Fazendo u sen θ du cos θ dθ Além disso se θ π2 u 1 se θ 0 u 0 Assim 64 ₀π2 cos θ sen⁴ θ dθ 64 ₀¹ u⁴ du 64 u⁵5 ₀¹ 64 15 128 4³ Segundo Newton a taxa de resfriamento de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente que o resfria Lei do Resfriamento de Newton Esta lei pode ser indicada pela equação dθdt kθ θA onde θ é a temperatura do corpo em um instante qualquer θA é a temperatura do ambiente que resfria o corpo t é o tempo e k é a constante de proporcionalidade Use esta lei e resolva a situação descrita a seguir Uma jarra de suco a 30 C foi colocada num freezer a 4 C Após meia hora a temperatura do suco era de 8 C Dentre os valores a seguir qual é o que indica o valor mais próximo da temperatura do suco 45 minutos depois de ter sido levado ao freezer Resolvendo a EDO Lei do resfriamento por separação de variáveis dθdt kθ θA dθ kθ θA dt dθθ θA k dt dθθ θA k dt ln θ θA kt c θ θA Cekt θ θA C ekt Determinando C Para isso vamos fazer θ0 Então θ0 θA C ek0 C θ0 θA Logo temos que θ θA C ekt θt θA θ0 θA ekt Agora vamos encontrar k Pelo enunciado temos θ0 30 θA 4 e θ30 8 Então θt θA θ0 θA ekt 8 4 30 4 ek30 8 4 34 e30k 34 e30k 12 e30k 1234 e30k 617 30k ln617 k ln617 130 003 Portanto θ45 4 34 e45003 4 34 e135 026 4 34026 4 884 484 Ou seja aproximadamente 5 minutos 5º O produto dos coeficientes da solução particular da equação y y 2y 2x 1 é Primeiro vamos determinar as raízes da equação característica associada a essa EDO Note que a equação característica é r² r 2 Então r² r 2 0 r² 2r r 2 0 rr 1 2r 1 0 r 1r 2 0 Então r 1 e r 2 Logo a solução geral da EDO homogênea é yn C1 ex C2 e2x Na EDO não homogênea temos 2x 1 então a solução particular tem a forma yp Ax B Então determinando A e B Veja que yp A e yp 0 Substituindo na EDO yp yp 2yp 2x 1 0 A 2Ax B 2x 1 2Ax A 2B 2x 1 2Ax A 2B 2x 1 Ou seja 2A 2 A 1 A 2B 1 2B A 1 2B 1 1 B 0 Portanto o produto dos coeficientes da solução particular é AB 10 0