Cálculo Diferencial - Roteiro de Estudos sobre Derivada Implícita e Otimização

UNIVERSIDADE DE UBERABA UNIUBE PRÓREITORIA DE ENSINO SUPERIOR PROES ROTEIRO DE INTEGRALIZAÇÃO MODALIDADE NÃO PRESENCIAL 202301 CURSOs Engenharia Civil NOME DO COMPONENTE CURRICULAR Cálculo Diferencial CÓDIGO 90540 TURMA 21 CARGA HORÁRIA SEMESTRAL CHP 132h CHNP 72h CARGA HORÁRIA DA ATIVIDADE 15 aulas PROFESSOR A RESPONSÁVEL Soraia Abud Ibrahim DATA DE ENTREGA DA ATIVIDADE As atividades propostas neste roteiro de atividades deverão ser entregues impreterivelmente dia 25 junho de 2023 As resoluções passo a passo devem ser postadas no ambiente de Estudos Autônomos OBJETIVO DO ESTUDO Ao término dos estudos propostos esperamos que você esteja apto a Aprimorar habilidades básicas na resolução de exercícios envolvendo o cálculo de derivadas a fim de familiarizar o aluno com técnicas utilizadas no cálculo diferencial Determinar os valores extremos de uma função isto é o maior ou menor valor que uma função pode assumir em um dado intervalo reconhecer uma função implícita e calcular a reta tangente e normal à curva utilizar conceitos e técnicas de derivação de funções de uma variável na resolução de problemas de otimização CONTEÚDO DA ATIVIDADE Derivada implícita e cálculo da reta tangente e normal Problemas de otimização ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM FORMA IMPLÍCITA UNIVERSIDADE DE UBERABA UNIUBE PRÓREITORIA DE ENSINO SUPERIOR PROES Até o presente momento trabalhamos com funções envolvendo duas variáveis expressas na forma explicita y fx ou seja uma das duas variáveis era isolada em função de outra por exemplo y 3x 7 2 fx 15x 18x Mas podemos encontrar funções que não são dadas na forma explícita sendo então definidas implicitamente por uma determinada equação por exemplo a função x y 1 Forma implícita Forma explícita Derivada 1 xy 1 1 y x x 2 2 1 dy x dx x A equação 0 1 2 1 2 y x define implicitamente a função 2 2 1 x y A derivada de uma função na forma implícita Fxy 0 define implicitamente uma função derivável y fx EXEMPLO 1 Sabendo que y f x é uma função derivável definida implicitamente pela equação 4 2 2 y x determinar y Derivando ambos os membros desta identidade em relação a x temos 0 4 2 2 2 2 y x y x Como y f x usando a regra da cadeia temos 2𝑥 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0 ou 2𝑥 2𝑦𝑦 0 Isolando y temos 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2𝑥 2𝑦 𝑥 𝑦 EXEMPLO 2 Encontre dy dx se x y xy 3 3 6 1º passo derive ambos os membros da equação em relação a x UNIVERSIDADE DE UBERABA UNIUBE PRÓREITORIA DE ENSINO SUPERIOR PROES Considerando que y é uma função de x você usará a regra da cadeia no termo y3 e a regra do produto no termo xy 6 regra da cadeia derivada do produto d d x y xy dx dx d d d x y xy dx dx dx dy d d x y x y x y dx dx dx dy dy x y y x dx dx 3 3 3 3 2 2 2 2 6 6 3 3 6 6 3 3 6 6 2º passo isolando dy dx no primeiro membro da nova equação obtemos dy dy y x y x dx dx dy y x y x dx y x dy y x dy dy y x dx y x dx dx y x y x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 6 6 3 3 6 6 3 3 2 6 3 2 3 6 2 3 2 ATIVIDADE 1 Encontre a expressão da derivada dx y dy para as funções y f x definidas implicitamente pelas equações a y2 2xy2 3x 1 0 b 4x²y 3xy³ 3 5x 7y5 ATIVIDADE 2 UNIVERSIDADE DE UBERABA UNIUBE PRÓREITORIA DE ENSINO SUPERIOR PROES Seja a curva com equação 2 3 3 2 y x x denominada cúbica de Tschirnhausen Responda a Determine a expressão da derivada dx y dy da função definida implicitamente pela equação dessa curva b O coeficiente angular da reta tangente à essa curva no ponto no ponto P1 2 c A equação da reta tangente a essa curva no ponto P d O coeficiente angular da reta normal à essa curva no ponto P e A equação da reta Normal à essa curva também no ponto P PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO Procedimentos para resolver problemas de máximos e mínimos em aplicações Passo 1 Ler o Problema quantas vezes for necessária Passo 2 Faça uma figura apropriada e identifique as quantidades relevantes ao problema Passo 3 Obtenha uma fórmula para a quantidade a ser maximizada ou minimizada Passo 4 Usando as condições dadas no problema para eliminar variáveis expresse a quantidade a ser maximizada ou minimizada como função de uma variável Passo 5 Encontre o intervalo de valores possíveis para essa variável a partir das restrições físicas do problema Passo 6 Se aplicável use as técnicas de derivação para obter o máximo ou o mínimo Exemplo 1 Devemos projetar um jardim de área retangular e protegido por uma cerca Qual é a maior área possível de tal jardim se dispusermos de apenas 100 m lineares de cerca Solução y y x x UNIVERSIDADE DE UBERABA UNIUBE PRÓREITORIA DE ENSINO SUPERIOR PROES Sejam x comprimento do retângulo m y largura do retângulo m A área do retângulo m² Então a área deste retângulo é dada por A x y Como o perímetro do retângulo é de 100 m as variáveis x e y estão relacionadas pela equação 2 2 100 2 100 2 50 x y y x y x Substituindo o valor de y na equação da área teremos 2 50 50 A x x A x x Como estamos trabalhando com um comprimento x não pode ser negativo e como os dois lados de comprimento x não podem ter um comprimento que ultrapasse o perímetro de 100 m então a variável x deve satisfazer 0 50 x Assim o problema ficou reduzido a encontrar o valor ou valores de x em 0 50 para os quais A é máxima Como A é um polinômio em x é contínua em 0 50 e o máximo ocorre ou nos extremos desse intervalo ou em um ponto estacionário 2 50 50 2 A x x dA x dx Igualando a derivada primeira a zero obtemos 50 2 0 25 x x Assim o máximo ocorre em um dos pontos 0 25 50 x x x Substituindo estes valores encontramos 0 0 25 625 50 0 A m A m A m Podemos notar que a área máxima é de 625 m² quando x 25 m UNIVERSIDADE DE UBERABA UNIUBE PRÓREITORIA DE ENSINO SUPERIOR PROES Desta forma resulta que y 25 m de modo que o retângulo de perímetro 100 m com maior área é um quadrado com lados medindo 25 m de comprimento ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM ATIVIDADE 3 Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um lado com uma cerca de três fios e nos outros lados por uma cerca elétrica com um fio Com 800 m de fio à disposição determine quais as dimensões da maior área que poderá ser cercada e calcule o valor dessa área ATIVIDADE 4 A partir de uma folha de papelão quadrada de lado 30 cm desejase construir uma caixa sem tampa Para construir a caixa serão recortados quatro quadrados nos cantos desta folha conforme mostra a figura dobrandose a folha nas linhas tracejadas para formar as laterais da caixa Encontre o valor da dimensão x deste quadrado de modo que o volume da caixa seja máximo ATIVIDADE 5 Serão construídas seis jaulas em um zoológico para receber novos animais conforme representado na figura abaixo Para realizar esta obra o zoológico dispõe de 300 m de gradeado Determine as dimensões x e 30 cm 30 cm x x x x x x x x UNIVERSIDADE DE UBERABA UNIUBE PRÓREITORIA DE ENSINO SUPERIOR PROES y que proporcionam a maximização da área cercada LEITURA COMPLEMENTARES OU PARA CONSULTA FLEMMING D M GONÇALVES M B Limite e Continuidade In Cálculo A funções limite derivação integração 6 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 cap 3 AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM 30 pontos Uberaba MG 1 a y⁴ 2xy² 3x10 2yy 2y² 2x 2yy 3 0 y 2y 4xy 2y² 3 0 y 2y 4xy 3 2y² y y 2 4 x 3 2y² y 3 2y² y 2 4x b 4x² y 3xy³ 3 5x 7y⁵ 8xy 4x² y 3 y³ 3x 3y² y 5x 7 3 y⁴ y 8xy 4x² y 3 y³ 9xy² y 5x 35 y⁴ y 4x² y 9 x y² y 35 y⁴ y 8 xy 3 y³ 5x y 4x² 9 xy² 35 y⁴ 5x 8 xy 3 y³ y 5 x 8 xy 3 y³ 4 x² 9 xy² 35 y⁴ 2 y² x³ 3x² a 2y y 3x² 6x y 3x² 6x 2y b P1 2 m₁ y 1 2 31² 61 22 m₁ 9 4 m₁ 9 4 c y y₀ m₁ x x₀ y 2 94 x 1 y 2 94 x 94 y 94 x 94 2 y 94 x 14 d m₂ 1 m₁ m₂ 1 94 m₂ 49 e y 2 49 x 1 y 2 49 x 49 y 49 x 49 2 y 49 x 229 3 Sejo o lado que receberá 3 fios um dos que tem medida x 3x x y y 800 m 4x 2 y 800 2y 800 4x y 800 4x 2 400 2x Área A x y x 400 2x A 400x 2x² dAdx 400 4x 0 4x 400 4x 400 x 100 m y 400 2100 m y 200 m A x y 100 200 20000 m² 4 V Abh Ab 30 2x² h x x 15 cm V 30 2x² x 900 120 x 4 x² x 900 x 120 x² 4 x³ dVdx 900 240 x 12 x² 0 Δ 57600 43200 14400 x 240 120 24 x 15 cm or x 5 cm Resp x 5 cm 5 Conforme a figura 3x 4y 300m 4y 300 3x y 300 3x 4 A xy x 300 3x 4 14 300x 3x2 dAdx 14 300 6x 0 300 6x 4 0 300 6x 0 6x 300 x 300 6 x 50m y 300 350 4 375 m 4 Digitalizado com CamScanner