Aula 14 - Assíntotas e Esboço de Gráfico 2021-2

Aplicações de Derivada Assíntotas e Esboço de Gráfico O que são assíntotas? Em resumo, assíntotas são retas! E como sabemos, retas podem ser determinadas por equações envolvendo pontos 𝑃 = (𝑥, 𝑦) com fórmula geral igual a 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 ∈ ℝ, onde 𝑎! + 𝑏! ≠ 0. Ou de forma mais simples, existem três tipos de retas. Quais? Que tipos de retas existem? Reta Horizontal r: y = -1 Reta Vertical r: x = 2 Reta Inclinada r: y = 2x - 3 Tipos de Assíntotas Assim como as retas, existem três tipos de assíntotas: • Assíntota Horizontal; • Assíntota Vertical; e • Assíntota Inclinada ou Oblíqua. Vamos ver um exemplo de cada antes de definirmos. Exemplos de Assíntotas Exemplo 1: Seja 𝑓 𝑥 = 1 "#!$ $%& , 𝑠𝑒 𝑥 < −1 '#$! '$%' , 𝑠𝑒 𝑥 > −1 . Definições Importantes Dizemos que 𝑓 possui assíntota horizontal se ∃𝑎 ∈ ℝ tal que lim$→) 𝑓(𝑥) = 𝑎 ou lim $→#)𝑓(𝑥) = 𝑎. Nesse caso, dizemos que 𝑦 = 𝑎 é uma assíntota horizontal de 𝑓. Definições Importantes Dizemos que 𝑓 possui assíntota vertical se ∃𝑎 ∈ ℝ tal que lim $→*" 𝑓(𝑥) = ± ∞ ou lim $→*# 𝑓(𝑥) = ±∞. Nesse caso, dizemos que 𝑥 = 𝑎 é uma assíntota vertical de 𝑓. Definições Importantes Dizemos que 𝑓 possui assíntota oblíqua se ∃𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0 tal que lim $→%) 𝑓 𝑥 − (𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 ou lim $→#) 𝑓 𝑥 − (𝑎𝑥 + 𝑏) = 0. Nesse caso, dizemos que 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 é uma assíntota oblíqua de 𝑓. Juntando tudo! Aonde podemos usar tudo que vimos até agora de uma só vez? Esboço do Gráfico de uma função! Etapas para o esboço do gráfico I. Determine o maior subconjunto de ℝ na qual podemos definir 𝑓; II. Identifique os intervalos em que 𝑓 é positiva ou negativa; III. Descubra os zeros de 𝑓; IV. Identifique todas as assíntotas de 𝑓; V. Encontre os pontos críticos de 𝑓; VI. Identifique os intervalos de crescimento e decrescimento de 𝑓; VII. Determine os valores de máximo e mínimo locais e globais de 𝑓; VIII.Encontre os pontos de inflexão de 𝑓; IX. Identifique os intervalos nos quais 𝑓 é convexa ou côncava; X. Esboce o gráfico de 𝑓. Exemplos Exemplo 2: Esboce o gráfico de 𝑓 𝑥 = !" "!#$. Exemplos Exemplo 3: Esboce o gráfico de 𝑓 𝑥 = 𝑥2𝑒 𝑥 −1 𝑥 . Obrigado e Até a próxima aula!