Exercícios Funções - Cálc 1 2023-1

Ex: Sejam f(x) = \sqrt{x} e g(x) = x^2 - 1. Determine: a) (f - g)(x) e D(f - g) D(f/g) e D(f/g) a) Temos que: (f - g)(x) = f(x) - g(x) = \sqrt{x} - (x^2 - 1) = \sqrt{x} - x^2 + 1 Por outro lado, D(f) = [0, +\infty) e D(g) = \mathbb{R} Dessa forma, D(f - g) = D(f) \cap D(g) = [0, \infty) \cap \mathbb{R} = [0, +\infty) b) Temos que: (f/g)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\sqrt{x}}{x^2 -1} Além disso: D(f/g) = (D(f) \cap D(g)) - \{x \in \mathbb{R}; g(x) = 0\} = [0, +\infty) - \{-1, 1\} = [0, 1) \cup (1, +\infty) [0, +\infty) - \{-1, 1\} \implies \rightarrow +\infty Ex: Sejam f(x) = \begin{cases} -x, \text{se } x \leq 0 \\ x^2, \text{se } x > 0 \end{cases} e g(x) = \begin{cases} x^2 - 1, \text{se } x < 2 \\ x + 1, \text{se } x \geq 2 \end{cases} Determine: a) (f \cdot g)(x) b) (f \circ g)(x) Gráfico de f ∘ Produto ∘ Composição Gráfico de g a) (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) = \begin{cases} -x \cdot (x^2 - 1), \text{se } x \leq 0 \\ x^2 \cdot (x^2 - 1), \text{se } 0 < x < 2 \\ x^2 \cdot (x + 1), \text{se } x > 2 \end{cases} b) (f \circ g)(x) = f(g(x)) = \begin{cases} -g(x), \text{se } g(x) \leq 0 \\ [g(x)]^2, \text{se } g(x) > 0 \end{cases} Analisar os seguintes casos: (i) Quando x < 2 ; g(x) = x^2 - 1 (ii) Quando x \geq 2 ; g(x) = x + 1 (i) x < 2 e g(x) = x^2 - 1 Caso 1: g(x) = x^2 - 1 \leq 0 \implies x \in [-1, 1] Caso 2: g(x) = x^2 - 1 > 0 \implies x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) Como x < 2, segue que para g(x) = x^2 - 1 > 0, x \in (-\infty, -1) \cup (1, 2) caso 2 : x ≥ 2 e g(x) = x + 1 . g(x) - x + 1 ≤ 0 ⇒ x ∈ (-∞, -1] como x ≥ 2, segue que o sistema não tem solução . x + 1 > 0 ⇒ x ∈ (-1, +∞) como x ≥ 2 segue que x ∈ [2, ∞) Finalmente : (f ∘ g)(x) = { [g(x)]²; j x < -1 . -g(x)²; j -1 ≤ x < 1 . [g(x)]²; j 1 < x < 2 , [g(x)]²; j x ≥ 2 } = { (x² - 1)²; j se x < -1 -(x² - 1)²; j se -1 < x ≤ 1 (x² - 1)²; j se 1 < x < 2 (x + 1)²; j se x ≥ 2