Exercícios Derivada da Função Exponencial 2021-2

UERJ - Universidade do Estado do Rio de janeiro Calculo I Professor: Hamilton Simoes Derivadas Derivada da fungao exponencial *— | Foi visto na aula 07 0 seguinte limite: lim oT =n a, sendo a > 0. x XL . . ev) Particularmente, quando a =e, temos que lim —; = Ine=1. Considere a fungao f(x) =a*, com a>0,aF 1. _ f(ath)— f(x), atth—a® |. ata —at® / — =_ ———___—— — qq qx— = PO a a z(j7h __ = lim at(a’ ~ 1) =a" .|Ina. h—0 h Exemplos: 1) f(@) =5* f'(x) = 5*.In5 1\* 1\* 1 1\* 2 =(- ‘(z) =({-]} n~=—{—-—) Iln8 )A@)=(5) re= (4) me=-(5) mn 3) f(x) =e" f'(x) = e* Ine = e” Exercicio:(Conferir resposta na aula AO VIVO) b* 4 f'(2 Seja f(x) = —, sendo b > 0. Quanto vale oe) x (A) nb-1 (B) nd+1 (C) 2Inb (D) Inb (E) 2Inb-1 (F) 2Inb+1 Regra da cadeia Seam g:A>Re f:B-R tais que g(x) € B,Vre A. Nestas condicoes é possivel calcular (f 0 g)(x) = f(g(a)). Teorema: Seg é derivavelem p e f éderivdvelem g(p) entéo (fog) é derivavel em p e vale a regra da cadeia (f 0 9)'(p) = f'(9(P))-9'(P): Exemplos: 1) y=(g(z))", neZ. Considerando f(x) = x”, temos que y = (g(x))” = f(g(x)). f'(@) =nx"™. Dat f"(g(x)) = n(g(z))"™. Pela regra da cadeia, temos que y= ((g(2))") = (F(9(@))' = f'(G(@)).9 (@) = n(g(x))” "9 (2) 2) f(x) = (3a? — 6x + 7)* f'(x) = 14(32? — 6x + 7)!3(6x — 6) 3) f(x) = (4senx + ¥/x)8 f'(x) = 8(4sen x + ¥/x)"(4cos x + Wa 4) f(x) = (e" + 32)32? f'(x) = 3(e* + 32)?(e” + 3)a? + (ec? + 3r)?.22 = = (e” + 3x)?x(3x(e” + 3) + 2(e” + 3x)) = (e” + 3x)?x(3xe” + 2e” + 152) 5) y= Vaz), nEN n>2. Considerando f(x) = %~/x, temos que y = V/g(x) = f(g(z)). 1 1 ‘(x) = ——. Dai f'(g(x)) = —————_.. MOS Tyger ON POON aa Pela regra da cadeia, temos que '— (x/g@)) = 2)! = f'(g(x)).9'(2) = ———_ g (a v= (4/912) = (Fol)! = MG(@)).9'@) = asta) 6) f(x) = V6x? + 8a — 1 oy 1 2 _ 9x? + 4 I) = Vespa 8 +8) V6x3 + 84 — 1 7) f(x) = V2cos x + 5x 1 —2senx +5 f (8) = (-2senz +5) = — SS 54/(2cos x + 5ax)4 5y/(2cos x + 52x) 8) Regra da cadeia para as fungoes trigonométricas y = sen(g(x)) y'(@) = cos(g(x)).g'(«) y = cos(g(x)) y'(x) = —sen(g(«)).9'(x) y = tg(g(2)) y’ = sec*(g(x)).g'(x) y = cotg(g(x)) y’ = —cossec*(g(x)).g/(x) y = sec(g(x)) y = sec(g(x)).tg(g()).9'(2) y = cossec(g(x)) y' = —cossec(g(x)).cotg(g(x)).9'(x) 9) f(x) = 4° + tg(x*) f' =4° ln4 + sec?(ax*).4x° == 4* In 4 + 42° sec?(x*) 10) f(x) = \/sen(7x?) 1 7x cos(7x") (2) = ——=—...08 (72?) . 142 = —= He) 2,/sen(7x?) ve) / sen(7x7) 11) f(x) = cos? (52° — 22) f(x) = (cos(5x° — 2x))? f'(x) = 3(cos(5ax® — 2x))?.(—sen(5x®° — 2x).(30x2° — 2)) = (—90x° + 6)cos?(5x® — 2x).sen(5x® — 22) 12) Regra da cadeia para fungao exponencial y=a™ (a>0,aF1) y! = a9) Ina.g! (x) y =e) yl = eI) g/(x) 13) f(z) _ e4t? 6x f'(z) _— ett 6 (1 24? _ 6) 14) f(x) = see”) f(x) = 58°°@) In 5.sec(4z).tg(4x).4 = 4In 5.5°°°) sec(4z).tg(4r) Exercicios:(Conferir respostas em aula AO VIVO) 1) Sejam f e g fungoes diferencidveis (derivaveis) tais que g(3) = 2,9'(3) = —6,f(1) =3 e 1 f'(1) =5. Se h(x) = x?.g(f(—)), quanto vale h’(1)? x 8 2) Seja f uma funcao diferencidvel tal que f(4) = 8, f’(4) = 20 e f(f(x?)) = 3x? + 2 O valor de f'(8) € (A)O5 (B)O7 (C)O8 (D)1175 (EB) 1,225 3) O raio de um circulo aumenta a taxa de 0,6 cm por minuto. Com que taxa aumenta a area deste circulo quando seu diametro mede 10 cm? 4) Um ponto P(x,y) esta se movendo em um tnico sentido sobre a circunferéncia de centro (1, 3) eraio V/17, cuja equacdo é (x — 1)? + (y—3)? = 17. Quando P esta sobre 0 ponto (5,2), a ordenada y esta decrescendo a taxa de —0,4 cm por minuto e a taxa da abscissa x é de k cm por minuto. O sentido do movimento e o valor de k sao, respectivamente: ( ) horario e 0,2 ( ) hordrio e —0,2 ( ) horario e 0,1 ( ) hordrio e —0,1 ( ) anti-hordrio e 0,2 ( ) anti-hordrio e —0,2 ( ) anti-hordrio e 0,1 ( ) anti-hordrio e —0,1