Cálculo de Integrais

Questão 1 2 pontos Calcule a área do laço da cúbica nodal y² x³ x² 0 que é a região hachurada da figura a seguir Questão 2 Calcule as seguintes integrais 1 ₀π3 senxcos²x dx 2 pontos 2 x² e⁴ⁿdx2 pontos 3 dxx² a² onde a R 0 15 pontos 4 x 4x² 5x 6 dx 15 pontos Questão 3 1 ponto Esboce a área da região limitada por y x³ e y x Calcule o volume do sólido de revolução dessa região Boa Avaliação Questão 1 Calcule a área do laço da cúbica nodal y² x³ x² 0 que é a região hachurada da figura a seguir Solução De y² x³ x² 0 segue que y² x³ x² y x³ x² x²x 1 xx 1 Como o laço ocorre quando x²x 1 0 e x² 0 devemos ter x 1 0 x 1 Portanto os pontos de interseção do laço com os eixos coordenados são x 1 e x 0 Para determinar a área do laço vamos calcular a área da região R identificada na figura abaixo parte superior do laço em relação ao eixo y e portanto a área do laço é o dobro da área da região R Assim a área de R é AR 10 xx 1 dx Como para x 10 temos x x obtemos que AR 10 xx 1 dx Para resolver a última integral consideremos a substituição u x 1 Então du dx x u 1 x 1 u 0 x 0 u 1 e AR 01 u 1u du 01 1 uu du 01 u u32 du 23u32₀¹ 25u52₀¹ 23 25 415 Logo a área do laço é A 2AR 2415 815 Questão 2 Calcule a seguintes integrais 1 ₀π3 senxcos²x dx Solução Considere a substituição u cosx Então du senx dx e senxcos²x dx 1u² du 1u C 1cosx C Logo a integral definida é dada por ₀π3 senxcos²x dx 1cosx₀π3 1cosπ3 1cos0 112 1 1 2 x² e⁴ⁿ dx Solução Usando o método da integração por partes sejam u x² e dv e⁴ⁿ Então du 2x dx v e⁴ⁿ dx 14e⁴ⁿ e x² e⁴ⁿ dx x² 14e⁴ⁿ 14e⁴ⁿ 2x dx 1 x² 14e⁴ⁿ 12 xe⁴ⁿ dx Para resolver a integral em vermelho aplicamos novamente o método da integral por partes sejam t x e dw e⁴ⁿ dx Então dt dx w e⁴ⁿ dx 14e⁴ⁿ e xe⁴ⁿ x14e⁴ⁿ 14e⁴ⁿ dx x14e⁴ⁿ 14 e⁴ⁿ dx x14e⁴ⁿ 116e⁴ⁿ C Voltando na expressão 1 obtemos x² e⁴ⁿ dx x² 14e⁴ⁿ 12 xe⁴ⁿ dx x² 14e⁴ⁿ 12 x14e⁴ⁿ 116e⁴ⁿ C 14 x² e⁴ⁿ 18 x e⁴ⁿ 132 e⁴ⁿ C 3 dxx² a² dx onde a R a 0 Solução Consideremos a substituição x a secθ Então dx a secθ tgθ dθ e 1x²a² dx asecθtgθa²sec²θa² dθ asecθtgθa²sec²θ1 dθ asecθtgθasec²θ1 dθ secθtgθtg²θ dθ secθ dθ lnsecθ tgθ C lnxa x²aa C 4 x4x²5x6 dx Solução Note que x4x²5x6 dx x4x6x1 dx e decompondo o integrando em frações parciais temos x4x6x1 Ax6 Bx1 Ax1Bx6x6x1 AxABx6Bx6x1 xAB 6B Ax6x1 de onde segue o sistema AB1 6BA4 Substituindo A1B na segunda equação do sistema temos 6B1B4 7B5 B57 Logo A27 e x4x6x1 27x6 57x1 Finalmente x4x²5x6 dx 27x6 57x1 dx 27 dxx6 57 dxx1 27 lnx6 57 lnx1 C Questão 3 Esboce a região limitada por yx³ e yx Calcule o volume do sólido de revolução dessa região Solução A região R limitada pelas curvas yx³ e yx está esboçada na figura abaixo A interseção entre as curvas ocorre quando x³x x³x0 xx²10 x0 e x1 A área da região limitada entre as curvas é dada pela soma das áreas das regiões R₁ e R₂ identificadas na figura ou seja AR AR₁ AR₂ ₁⁰ x³x ₀¹ xx³ dx x⁴4₁⁰ x²2₁⁰ x²2₀¹ x⁴4₀¹ 14 12 12 14 12 Devido a simetria das regiões R₁ e R₂ com o eixo x concluímos que o volume do sólido de revolução obtido ao rotacionar a região limitada pelas curvas yx³ e yx em torno do eixo x é o dobro do volume do sólido de revolução obtido ao rotacionar a região região R₁ em torno do eixo x Assim como no intervalo 01 x³ x usando o método dos discos temos que VR₁ π ₀¹ x²x³² dx π ₀¹ x²x⁶ dx π x³3 x⁷7 ₀¹ π 13 17 4π21 Logo o volume do sólido de revolução procurado é VR 8π21 Devido a simetria das regiões R₁ e R₂ com o eixo y concluímos que o volume do sólido de revolução obtido ao rotacionar a região limitada pelas curvas yx³ e yx em torno do eixo y é o dobro do volume do sólido de revolução obtido ao rotacionar a região região R₁ em torno do eixo y Assim como no intervalo 01 y ³y usando o método dos discos temos que VR₁ π ₀¹ ³y² y² dy π ₀¹ y23y² dy π 35 y53 y³3 ₀¹ π 35 13 4π15 Logo o volume do sólido de revolução procurado é VR 8π15