Exercícios Limites - Cálculo 1 2023-1

Limite: Sejam f:D(f)⊂IR→IR uma função e x₀ um ponto do domínio de f ou extremidade de um dos intervalos que compõem o domínio. Dizemos que f tem limite L, em x₀, se para todo ε>0 t.q. para todo x∈D(f), com 0<|x−x₀|≤δ tem-se |f(x)−L|<ε. lim (x→x₀) f(x) = L Obs.: Limite de uma função quando existe, é único. Propriedade de limites sejam f,g:IR→IR tais que lim (x→x₀) f(x)=L₁ e lim (x→x₀) g(x)=L₂. Então: (1) lim (x→x₀) (f+g)(x) = lim (x→x₀) f(x) + lim (x→x₀) g(x) = L₁ + L₂ (2) lim (x→x₀) k⋅f(x) = k⋅lim (x→x₀) f(x) = k⋅L₁ , k∈IR (3) lim (x→x₀) (f⋅g)(x) = lim (x→x₀) f(x) ⋅ lim (x→x₀) g(x) = L₁ ⋅ L₂ (4) lim (x→x₀) (f/g)(x) = lim (x→x₀) (f(x)/g(x)) = lim (x→x₀) f(x) / lim (x→x₀) g(x) = L₁/L₂ , L₂ ≠ 0 Obs.: Utilizando a regra do produto, verifica-se que lim (x→x₀) (f(x))^m = (lim (x→x₀) f(x))^m ; n∈Z⁺ Ex.: Utilizando a definição do limite mostre que lim (x→3) (4x−7) = 5 x₀=3 , f(x) = 4x−7 e L = 5 D.m.: Seja ε>0 Consideramos δ=ε/4>0 t.q 0<|x−3|<δ Temos que |f(x)−L| = |(4x−7)−5| = |4x−12| = |4(x−3)| = 4|x−3| < 4⋅δ = 4⋅ε/4 = ε Ex.: Calcule lim (x→2) 5x³−8 lim (x→2) 5x³−8 = lim (x→2) 5x³ − lim (x→2) 8 = 5 lim (x→2) x³ − lim (x→2) 8 = 5(2)³−8 = 32 lim (x→2) 5x³−8 = 5⋅2³−8 = 32 Ex.: Calcule lim (x→3) (sqrt(x)−sqrt(3))/(x−3) = 0/0 (indeterminação) D(f) = {x∈IR ; x≠3} lim (x→3) sqrt(x)−sqrt(3) = lim (x→3) (x−3)(1/[sqrt(x)+sqrt(3)]) = lim (x→3) (x−3)/((x−3)(sqrt(x)+sqrt(3))) = 1/[2sqrt(3)] Explicação de como chegou nisso: sqrt(x)−sqrt(3) = (x−3)(1/[sqrt(x)+sqrt(3)]) (x−3) = sqrt(x)−√3)(sqrt(x)+sqrt(3)) x−3 = (sqrt(x)²−sqrt(3)²) (a-b)(a+b) = a²-b² lim (x→3) [(sqrt(x)−√3)/(x−3)] = lim (x→3) [(sqrt(x)−√3)/(sqrt(x)+√3)] Ex.: Calcule lim (x→1) (x²−1)/(x−1) lim (x→1) (x²−1)/(x−1) = 0/0 (indeterminado) D(f) = {x∈IR ; x≠1} lim (x→1) (x²−1)/(x−1) = lim (x→1) [(x−1)(x+1)/(x−1)] = 2 como chegou nisso a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)} Ex.: Calcule os seguintes limites: (1) \lim_{{x \to 3}} \frac{x^2 - 9}{x - 3} \quad (II) \frac{x^2 - 2}{x - 2}