Slide - Função Contínua em Intervalo Aberto 2021-2

Limites • Continuidade em um intervalo • Teorema do Valor Intermediário • Limites Infinitos Fungao Continua em um Intervalo Aberto Dizemos que uma fungao f é continua em um intervalo aberto I se, e somente se, f for continua em todos os pontos de I. ~ — 1, , 4. Exemplo 1: A funcado f(x) = Taz & continua em I = |-3,3[. . . 4: 1 Sejaa € |—3,3|. Temos que lim fx) = lim or ¢ Como f(x) esta definida para todo x € |—3,3[, entao podemos calcular diretamente obtendo: , 1 1 lim Jooxd ~ Jonas 1): ¢ Portanto f é continua em todo a € |—3,3[. Observacao 2: A definicao anterior é suficiente para intervalos abertos, mas nao para intervalos fechados. ¢ Um intervalo aberto J nao contém os seus extremos. ¢ Logo para qualquer a € I, a funcao esta definida go redor de a e isso nos permite calcular o limite bilateral. ¢ No caso de um intervalo fechado J = [a, b|, se tivermos f:1 > R, ndo podemos calcular os limites laterais lim f(x) e lim, f(x) ja que f nao 7 ° ° xXx-a” X= esta definida parax < aenemparax > b. ¢ Portanto precisamos de definicdes auxiliares para caracterizarmos uma funcao continua em um intervalo fechado. Continuidade a direita e Continuidade a esquerda Uma funcao f é continua a direita em a se, e somente se, as seguintes condicoes sao Satisfeitas: 1. f(a) existe; 2. lim f(x) existee x-at 3 lim, f(x) = f(a). x-at Uma fungdo f é continua a esquerda em @ se, e somente se, as seguintes condicoes sao Satisfeitas: 1. f(a) existe; 2. lim f(X%) existee xXx-a” 3. lim f(x) = f(a). xa Função Contínua em um Intervalo Fechado • Agora estamos em condições de definir continuidade em intervalos fechados: Dizemos que uma função é contínua em um intervalo fechado se, e somente se:  é contínua no intervalo aberto ;  é contínua à direita em e  é contínua à esquerda em . 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑥 𝑏 𝑎 0 ¢ Note que a funcdo f definida no Exemplo 1 ndo é continua no intervalo fechado |[—3,3] porque nao esta definida nos extremos desse intervalo, ou seja, nado existem nem f(—3), nem f (3). Exemplo 3: A funcado g(x) = v4 — x2 é continua no intervalo fechado [—2,2]. ¢ g écontinua em |—2,2| pois esta definida em todos os pontos desse intervalo, sendolim g(x) =lim v4 —x* = vV4— a?’ = g(a) paratodoa x-a x-a nesse intervalo. ¢g(—2)=0e lim 9%) = lim V4—x4 = /4-(-2)4 =0. x>- x>- ¢ Logo g € continua a direita em —2. °g(2)=0e lim_ g(x) = lim V4—x4 = /4-(2)7 =0. xXx- x7 ¢ Logo g € continua a esquerda em 2. • Um resultado importante para funções contínuas em intervalos fechados é o Teorema do Valor Intermediário. Teorema 4 (Teorema do Valor Intermediário): Se for contínua em , com , então para todo entre e , existe pelo menos um tal que . 𝑓(𝑏) 𝑦 𝑐 𝑓(𝑎) 𝑥 𝑏 𝑎 0 𝑘 Exemplo 5: A função tem uma raiz real no intervalo . • é contínua em . • Em particular, é contínua em . • • • Como é contínua em e , então pelo Teorema do Valor Intermediário, existe tal que . • Portanto é raiz dessa função no intervalo . Exemplo 6: A equação tem raiz real no intervalo . • Faça . • é contínua em . • Em particular, é contínua em . • • • Logo . • Então pelo Teorema do Valor intermediário temos que existe tal que • Portanto é raiz da equação dada no intervalo . Exemplo 7: Um número real é um ponto fixo de uma função real se vale . O Teorema do Ponto Fixo de Brouwer afirma que: • Se é contínua em , então possui ponto fixo em . Considere a função .  é contínua em . (diferença de funções contínuas)  e . Logo Então . Portanto .  e . Logo Então . Portanto . Desse modo, é contínua em e . E pelo Teorema do Valor Intermediário, existe tal que . Ou seja, , donde . ° O conceito de limite de uma funcao real em um ponto pode ser estendido para situacdes mais gerais. Vejamos uma delas: ¢ Considere a funcdo f(x) = — (x-3)? * Podemos observar que Dr = R — {3}. ¢ Embora nado exista f(3), podemos perguntar: 0 que ocorre com f (x) quando x assume valores muito proximos de 3 ? ¢ Para responder essa pergunta podemos atribuir valores a x muito proximos de 3 ecalcular suas respectivas imagens, formando duas tabelas: uma com valores menores do que 3 e outra com valores maiores do que 3. 1 1 a ¢ Analisando as tabelas anteriores, podemos observar os seguintes fatos: 1. Quanto mais x se aproxima de 3 pela esquerda, maiores sao os valores obtidos para f(x). Além disso, esses valores crescem sem limitacdo superior. Representamos esse fato escrevendo lim f(x) = +0, X75 2. Quanto mais x se aproxima de 3 pela direita, maiores sao os valores obtidos para f(x). Além disso, esses valores crescem sem limitacao superior. Representamos esse fato escrevendo lim, f(x) = +00. xXx- • Assim sendo, quando tende a tanto pela esquerda, como pela direita, tem-se crescendo sem limitação superior. Representamos esse fato escrevendo . -_ 1 ¢ Olhando o grafico de f(x) = Genaye’ podemos notar que a curva que representa essa funcao se aproxima cada vez mais da reta vertical x = 3, no entanto, sem toca-la. ¢Areta x = 3 échamada uma assintota vertical do grafico de f(x). Defini¢do 8: Considere f uma funcao real definida em um intervalo aberto I contendo a (exceto possivelmente em a). Dizemos que o limite de f(x) tende para infinito quando x tende para ae escrevemos lim f(x) = +00 x-a para simbolizar que se x tende para a, entao f(x) cresce sem limitag¢do superior. y | | | * O grafico ao lado ilustra uma fungdo f cujo | | dominio é R—{a}selim f(x) = +00. | | xa ° Aretax = a éaassintota vertical do | | grafico de f. _—$<—$—————™F a X ¢ Outra situacao parecida com a anterior ocorre no caso a seguir. ° Considere a funcao f(x) = —* (x-1)? ¢ Podemos observar que Dy = R — {1}. ¢ Embora nao exista f(1), podemos perguntar: 0 que ocorre com f(x) quando x assume valores muito proximos de 1 ? ¢ Para responder essa pergunta podemos atribuir valores a x muito proximos de 1 ecalcular suas respectivas imagens, formando duas tabelas: uma com valores menores do que 1 e outra com valores maiores do que 1. —2 1 —2 ae ¢ Analisando as tabelas anteriores, podemos observar os seguintes fatos: 1. Quanto mais x se aproxima de 1 pela esquerda, menores sao os valores obtidos para f(x). Além disso, esses valores decrescem sem limitacao inferior. Representamos esse fato escrevendo lim f(x) = -0o, x7 1~ 2. Quanto mais x se aproxima de 1 pela direita, menores sao os valores obtidos para f(x). Além disso, esses valores decrescem sem limitagao inferior. Representamos esse fato escrevendo lim, f(x) = -o, xXx- • Assim sendo, quando tende a tanto pela esquerda, como pela direita, tem-se decrescendo sem limitação inferior. Representamos esse fato escrevendo . -_ ~2 ¢ Olhando o grafico de f(x) = Gene? podemos notar que a curva que representa essa funcao se aproxima cada vez mais da reta vertical x = 1, no entanto, sem toca-la. ¢Areta x = 1 6 chamada uma assintota vertical do grafico de f(x). Definicdo 9: Considere f uma funcao real definida em um intervalo aberto / contendo a (exceto possivelmente em a). Dizemos que o limite de f(x) tende para menos infinito quando x tende para a e escrevemos lim f(x) = —oo x-a para simbolizar que se x tende para a, entao f(x) decresce sem limita¢ao inferior. v a ee * O grafico ao lado ilustra uma funcdo f cujo | | | | FO) | | dominio é R—{a}selim f(x) = —0o, | | | | | | xa ° Aretax = a éaassintota vertical do grafico de f. | | | | | | | | | | 1 os ~ 1 * Vamos observar os graficos de algumas funcoes da forma f(x) = —, sendo x n inteiro positivo. | 1 | 1| 1 £0) =~ | | | Lik fQ) = £0) == ¢ Podemos observar sem muita dificuldade o seguinte fato: > Quando n é par, a funcdo so assume valores positivos. > Quando n é impar, a funcdo pode assumir tanto valores positivos quanto negativos. Teorema 10: Se n for um inteiro positivo qualquer, entao: 1 i. lim —=+0; x 0+ x” . 1 +coo se népar 2. lim == ty P . x 307 xX —oo se neéimpar e Em todos os casos do Teorema 10, a reta xX = 0 6 uma assintota vertical do - ~ 1 grafico da funcdo f(x) = on ¢ Esses comportamentos podem ser generalizados para outras situacdes semelhantes. ¢ Vejamos um exemplo: Exemplo 11: Calcule os limites laterais para a funcdo f(x) = = no ponto x= 1. ¢ Chamando g(x) = 2x + 3e h(x) = x? — 1, podemos observar que g(1) =5eh(1) = 0. * Consequentemente 1 € Dr. ¢ Observe que, para x > 1, tem-se sempre g(x) > 5 > 0. ¢ Vamos analisar o que ocorre com h(x) quandox > 1tex > 1°. ¢ Para x — 1° temos h(x) - 0~. Logo teremos um \ Y | quociente da forma ~ que nos da resultado negativo. a /; ¢ Para x > 1* temos h(x) > 07. Logo teremos um Py yr yr y | quociente da forma a que nos da resultado positivo. 0 f e Alem disso, nos exemplos anteriores, ja vimos que para fracdes algébricas em que o numerador é constante e o denominador se aproxima de zero, obtemos resultados cada vez maiores em valor absoluto. ¢ Logo teremos: | yt | ttt | | Tati Pt | tT i > lim 2x43 — _ e | x17 «2-1 | 7 | . 2Xx+3 | > lim “—— = +00 | ' | xo1t x*-1 ity | -10 lo} 11 10 | 1 || |_ x Ini | | } i + | | : | 1 | 1 1 , L_4Q 1 | 1 } | | i | +e: ~ 2x+3 , ¢ No Exemplo 11, o grafico da funcgao f(x) = — apresenta duas assintotas verticais que Sao as retas xX = lex = —1. , -, k ¢ Esse comportamento ocorre sempre que tivermos um limite da forma > sendo k + 0. Definicdo 12: A reta x = a sera uma assintota vertical do grafico da funcao f se pelo menos uma das seguintes alternativas for verdadeira: 1. lim f(x)=+0 x-at 2. lim f(x) =+0 x-a~ 3. lim f(x)=-© x>at 4, lim f(x) =— 00 xa Teorema 13: Sejam , sendo uma constante real e . Temos as seguintes possibilidades: 1. Se e , então ; 2. Se e , então ; 3. Se e , então ; 4. Se e , então • O Teorema 13 continua válido se substituirmos por ou por . . 2X—7 Exemplo 14: Calcule jim rare ¢ Observe que lim (2x —7)=-1<0. xXx- °E lim (x* —2x—3)=0. x37 ¢ Observando o grafico de g(x) = x* — 2x — 3 temos os sinais de g. ¢ Logo lim _(x* —2x-—3)=0°. | [ett | x-> 5 ¢ Usando o Teorema 13, item 4, temos que: | lim — = +00, | | | x33- x2-2x-3 | a’ | aly 2 — Exemplo 15: Calcule lim a x>2t xX-2 e Nesse caso nao podemos aplicar diretamente o Teorema 13, ja que: elim Vx —4=0e lim (x — 2) = 0. x 2t x2t ¢ Vamos simplificar essa expressdo escrevendo x* — 4 = (x — 2)(x + 2). aly 2— _— —_?. ¢ Ent3o0 lim ~~“ = lim Vy eH2)(X+2) _ lim Veet x 02+ X-2 x 2+ x-2 x->2+ x-2 lim Vx=2-Vx4+2-Vx-2 lim (Vx—2) -Vx+2 xont (x-2)VE-2 gaat (x- 2m? | 2 *Como x > 2*, temos x — 2 > Oeassim (Vx — 2) =x — 2. ¢ Entao lim (Wxr2) vxt2 ey RED lim S28? = jim VBE AZ 40 do xo32t (x-2)-Vx—-2 —_y-52+ (x-2)-Vx-2.x-s2tVx-2 «ot CO " Teorema 16: 1. Se e sendo uma constante qualquer, então . 2. Se e sendo uma constante qualquer, então . • O Teorema 16 continua válido se substituirmos por ou por . . 1 2x-1 Exemplo 17: Calcule lim E + =|, x -0t Lx x+3 . 1 elim —= +0, x-0t x . 2x-1 1 e lim —=--. x 0t X43 3 . . 1 2x-1 ¢ Pelo Teorema 16, item 1, temos lim E + = = +00, x -0t Lx X+3 Teorema 18: Sejam lim f(x) =+oelim g(x) =k, sendo k uma constante x-a x-a nao nula. 1. Sek >0,entdo lim f(x): g(x) =+ ©; x-a 2. Sek <0,entdolim f(x): g(x) =— ©. xa * O Teorema 18 continua valido se substituirmos "x > a” por "x > at” ou por’x >a". Exemplo 19: Calcule lim | = Exemptlo tv: U x3 3t x-3 x-4 . 5 ¢ lim ——~ = +00 X23+ X—3 . 2 elim ~*=-5 X34 xX—-4 . . 5 X+2 ¢ Pelo Teorema 18, item 2, temos lim | <= = —0oo, x>3t Lx-3 x-4 Teorema 20: Sejam lim f(x) =— oelim g(x) =k, sendo k uma constante ndo xa xa nula. 1. Sek >0,entdo lim f(x): g(x) =-— ~; x-a 2. Sek <0,entdolim f(x): g(x) =+™. xa ¢ O Teorema 20 continua valido se substituirmos "x > a” por "x > a*"” ou por Ny. + qa”. Exemplo 21: Calcule lim | | eExemplo <4: x17 x*-1 xX+1 " jim —2- = —o0 x17 x*-1 - lim ~2=-1 x17 X41 ¢ Pelo Teorema 20, item 2, temos lim | | = +00, xO17- ~«LxX*-1 «X41