Aula 5 - Estatística Econômica 2022 2

Vimos que: Dado o modelo populacional 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 , podemos estimar os parâmetros a partir de uma amostra aleatória para (Yi, Xi) de tamanho n 𝑀𝑄𝑂 ⟹ min ෍ 𝑖=1 𝑛 ො𝑢𝑖 2 Os estimadores de MQO são: ෢ 𝛽1 = ത𝑌 − ෢ 𝛽2 ത𝑋 ෢ 𝛽2 = σ𝑖=1 𝑛 𝑌𝑖 − ത𝑌 𝑋𝑖 − ത𝑋 σ𝑖=1 𝑛 𝑋𝑖 − ത𝑋 2 Vimos também as propriedades algébricas dos estimadores de MQO: (listadas a seguir somente para lembrança- slides 2 a 7). Hoje: Modelo de Regressão Linear Clássico Propriedades Algébricas (numéricas) do Estimador de MQO 1. ෠β1 e ෠β2 são expressos em termos de quantidades observáveis (Yi, Xi) 2. ෠β1 e ෠β2 são estimadores pontuais: cada amostra fornece um único valor para cada parâmetro estimado 3. A reta de regressão possui as seguintes propriedades: a) O valor médio dos resíduos estimados é zero (segue da eq. normal para መ𝛽1) Propriedades Algébricas (numéricas) do Estimador de MQO b) A função de regressão passa pela média dos dados Propriedades Algébricas (numéricas) do Estimador de MQO c) A média do Yi previsto = média de Yi Propriedades Algébricas (numéricas) do Estimador de MQO d) Os resíduos estimados são não-correlacionados aos Yi previstos (precisamos mostrar que a cov entre ො𝑢𝑖 𝑒 ෠𝑌𝑖 é zero) Cont. Σŷᵢûᵢ = β̂₂Σxᵢyᵢ - β̂₂²Σxᵢ² mas no formato do desvio, β̂₂ = Σxᵢyᵢ / Σxᵢ² ⇒ Σxᵢyᵢ = β̂₂Σxᵢ² Então, Σŷᵢûᵢ = β̂₂²Σxᵢ² - β̂₂²Σxᵢ² = 0 a covariância amostral entre ŷᵢ e ûᵢ é dada por cov(ŷᵢ, ûᵢ) = Σŷᵢûᵢ / n = 0 Propriedades Algébricas (numéricas) do Estimador de MQO e) Os resíduos estimados são não-correlacionados aos Xi (precisamos mostrar que a cov entre ෝ𝑢𝑖 𝑒 𝑋𝑖 é zero) O Modelo de Regressão Os Pressupostos Clássicos Dado o modelo 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 , i = 1, 2, ...,n - Como Yi foi gerado? - Yi relaciona-se com Xi e ui - Como Xi e ui se relacionam? O Modelo de Regressão Os Pressupostos Clássicos Hipótese 1: Linearidade (nos parâmetros) 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 - Linearidade refere-se aos parâmetros 𝛽1 𝑒 𝛽2 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 1 𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 -> é linear nos parâmetros 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑙𝑜𝑔𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 -> linear nos parâmetros 𝑌𝑖 = 1 𝛽1+𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 -> não linear nos parâmetros Nota: Não linear MQO ainda aplicável, mas equações normais são resolvidas numericamente. O Modelo de Regressão Os Pressupostos Clássicos Hipótese 2: A amostra (Yi, Xi) de tamanho n é aleatória 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 , i= 1, 2,..., n • Valores de X podem ser fixos ou estocásticos. Se estocásticos, precisamos de uma hipótese sobre como X e u se relacionam O Modelo de Regressão Os Pressupostos Clássicos Hipótese 3: Valor médio condicional de ui não depende de Xi: 𝐸 𝑢𝑖/𝑋𝑖 = 𝐸 𝑢𝑖 = 0 • Valores de X podem ser fixos ou estocásticos. Em geral Xi é estocástico; precisamos de uma hipótese sobre como X e u se relacionam, pois isso afetará 𝐸 𝑌𝑖/𝑋𝑖 • Dado o modelo populacional 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 𝐸 𝑌𝑖/𝑋𝑖 = 𝐸 𝛽1/𝑋𝑖 + 𝐸 𝛽2𝑋𝑖/𝑋𝑖 + 𝐸 𝑢𝑖/𝑋𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝐸 𝑋𝑖/𝑋𝑖 + 𝐸 𝑢𝑖/𝑋𝑖 𝐸 𝑌𝑖/𝑋𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝐸 𝑢𝑖/𝑋𝑖 Com 𝐸 𝑢𝑖/𝑋𝑖 = 0, temos a função de regressão populacional 𝐸 𝑌𝑖/𝑋𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 O Modelo de Regressão: Os Pressupostos Clássicos Cont. Hipótese 3: Valor médio condicional de ui não depende de Xi: 𝐸 𝑢𝑖/𝑋𝑖 = 𝐸 𝑢𝑖 = 0 Com 𝐸 𝑢𝑖/𝑋𝑖 = 0, temos a função de regressão populacional 𝐸 𝑌𝑖/𝑋𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖. O que significa 𝐸 𝑢𝑖/𝑋𝑖 = 𝐸 𝑢𝑖 ? 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙𝑎𝑟𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖 + 𝑢𝑖 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖 (não observável!) Assumir 𝐸 𝑢𝑖/𝑋𝑖 = 𝐸 𝑢𝑖 neste caso significa assumer que a habilidade média independe da escolaridade. Isto é, 𝐸 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖 8 𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑜 = 𝐸 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖 15 𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑜 Se habilidade média aumenta com educação, 𝐸 𝑢𝑖/𝑋𝑖 = 𝐸 𝑢𝑖 não será válida! (Quando essa hipótese é violada, MQO-2estágios, GMM, modelos em diferenças) O Modelo de Regressão: Os Pressupostos Clássicos Cont. Note que se 𝐸 𝑢𝑖/𝑋𝑖 = 𝐸 𝑢𝑖 é válida, assumir = zero não é fundamental. Vejamos: Dado o modelo populacional 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 𝐸 𝑌𝑖/𝑋𝑖 = 𝐸 𝛽1/𝑋𝑖 + 𝐸 𝛽2/𝑋𝑖 + 𝐸 𝑢𝑖/𝑋𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝐸 𝑋𝑖/𝑋𝑖 + 𝐸 𝑢𝑖/𝑋𝑖 𝐸 𝑌𝑖/𝑋𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝐸 𝑢𝑖/𝑋𝑖 Assumindo 𝐸 𝑢𝑖/𝑋𝑖 = 𝐸 𝑢𝑖 = 𝑐, 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ≠ 0, 𝐸 𝑌𝑖/𝑋𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑐 𝐸 𝑌𝑖/𝑋𝑖 = 𝛼 + 𝛽2𝑋𝑖, 𝛼 = 𝛽1 + 𝑐 O intercepto se altera, mas o efeito médio de X sobre Y não! 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = 𝛽2 O Modelo de Regressão: Os Pressupostos Clássicos Hipótese 4: Homocedasticidade V 𝑢𝑖/𝑋𝑖 = 𝜎2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑖 Violação de H4, MQG ou MQO robusto (correção da matriz de var-covariância por White ou similar) Hipótese 4: Homocedasticidade V 𝑢𝑖/𝑋𝑖 = 𝜎2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑖 Note que, O Modelo de Regressão: Os Pressupostos Clássicos Hipótese 5: Erros são não-correlacionados 𝑐𝑜𝑣 𝑢𝑖, 𝑢𝑗 𝑋𝑖, 𝑋𝑗 = 0, 𝑖 ≠ 𝑗 Violação de H5, MQG ou MQO robusto (correção da matriz de var-covariância por Newey-West ou similar) Hipótese 5: Erros são não-correlacionados 𝑐𝑜𝑣 𝑢𝑖, 𝑢𝑗 𝑋𝑖, 𝑋𝑗 = 0, 𝑖 ≠ 𝑗 Note que, O Modelo de Regressão: Os Pressupostos Clássicos Em resumo até agora, dado o modelo populacional 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 Outras hipóteses: H6: Número de observações é maior que o número de coeficientes a serem estimados (há graus de liberdade para a estimação); H7: Variância de Xi é positiva (há variabilidade nos dados de Xi) e finita (a série é estacionária) O Modelo de Regressão: Os Pressupostos Clássicos - Outras hipóteses: H6: Número de observações é maior que o número de coeficientes a serem estimados (há graus de liberdade para a estimação); H7: Variância de Xi é positiva (há variabilidade nos dados de Xi) e finita (a série é estacionária) H8: Não há multicolinearidade perfeita (não há combinações lineares entre as variáveis) O vetor de coeficientes estimados por MQO é dado por: መ𝛽 = 𝑋′𝑋 −1𝑋′𝑌 se muticolinearidade perfeita, matriz é não inversível