Lista de Geo Analitica 2

9 Discuta em função de m R a posição relativa das retas r 4mx my 3 e s 12x 3my m 10 Para que valores de λ R as retas λ 1x 6y 1 e 4x λ 1y 1 são paralelas 11 Encontre todas as retas que são perpendiculares à reta s 3x 4y 1 12 Considere os pontos P 1 3 e Q 2 2 Determine a a equação afim da reta r que passa por P e Q b as coordenadas dos pontos que estão sobre a reta r e cuja distância ao ponto Q é o dobro da distância ao ponto P c as coordenadas dos pontos que estão sobre a reta r e cuja distância ao ponto Q é λ vezes a distância ao ponto P onde λ 0 13 Seja P o paralelogramo ABDC cujas diagonais estão sobre as retas r1 xt1 yt1 t R e r2 x2t1 yt2 t R Sabendo que A 1 1 e que AB r onde r é uma reta paralela ao vetor 2 1 obtenha os vértices B C e D de P 14 Encontre os vértices A B e D do paralelogramo ABDC tal que A r1 B r2 C 2 3 CD é múltiplo do vetor 1 2 e AC é perpendicular a r3 onde r1 r2 e r3 são as retas r1 xt1 y2t3 t R r2 x5s3 y4s1 t R e r3 2x 3y 6 15 Considere o retângulo ABDC o ponto E AB e o ponto F BD tais que dA B 4 dA C 3 dA E 2 e dF D 1 Escolhendo um sistema de eixos ortogonais adaptado determine o cosseno do ângulo formado pelas retas r e l e calcule a distância do vértice C ao ponto P onde r é a reta que contém o segmento AF l é a reta que contém o segmento CE e P CE AF 16 a Mostre que a equação cartesiana da reta r que corta o eixo horizontal no ponto de abcissa a e o eixo vertical no ponto de ordenada b com a b 0 é dada por xa yb 1 b Uma reta r que passa pelo ponto P 2 43 forma com os semieixos coordenados positivos um triângulo de perímetro 12 Determine sua equação 2 Lista 2 de Geometria Analítica Retas no plano Cônicas Prof Leonardo Damasceno Todos os exercícios desta lista são provenientes do livro Geometria Analítica de Jorge Delgado Katia Frensel e Lhaylla Crissaff 1 Verifique se os pontos P 3 2 Q 1 3 e R 6 4 são colineares 2 Sejam r a reta que passa pelos pontos A 2 3 e B 3 4 e l a reta que passa pelos pontos C 6 0 e D 1 3 a Verifique que as retas r e l são concorrentes e determine o ponto P de interseção b O ponto P pertence ao segmento AB à semirreta SAB ou à semirreta oposta à SAB c O ponto P pertence ao segmento CD à semirreta SCD ou à semirreta oposta à SCD 3 Encontre as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P 1 3 e é paralela à reta s 2x 4y 4 Faça um esboço das retas r e s 4 Determine o ponto P de ordenada 4 sobre a reta s que passa pelo ponto A 2 5 e é perpendicular à reta r x12t y23t t R 5 Ache a equação afim da reta a r1 paralela à reta s1 4x 3y 1 que passa pelo ponto 6 2 b r2 perpendicular à reta s2 y 2x 1 que passa pelo ponto 4 0 c r3 perpendicular à reta s3 x 5 que passa pelo ponto 2 4 6 Determine a equação paramétrica da reta r paralela à reta s y 3x 2 que passa pelo ponto médio do segmento AB onde A 3 4 e B 9 8 7 Dadas as equações paramétricas das retas abaixo diga quais delas representam a mesma reta e quais são paralelas r1 x2t1 y2t4 t R r2 x6t3 y6t1 t R r3 xt2 yt3 t R 8 Considere o paralelogramo ABCD de vértices A 1 1 B 4 3 e C 5 4 Encontre a equação da reta r que passa pelo vértice D e é paralela à diagonal de ABCD que não passa por D 1 29 Considere os pontos A 13 e B 35 e a reta r x 3y 1 Encontre os centros dos círculos de raio igual a 110 que passam pelos pontos A e B e são tangentes à reta r 30 Considere as retas r1 3x 4y 2 e r2 3x 4y 3 Determine em função do parâmetro a equação da família de círculos tangentes às retas r1 e r2 Se o centro do círculo pertence à reta l x y 1 encontre sua equação 31 Determine a equação da elipse a centrada no ponto 11 e com um foco no ponto 21 que passa pelo ponto 21 b centrada no ponto 12 com um vértice na reta focal no ponto 32 e excentricidade 12 32 O ponto 31 é um vértice de uma elipse 𝓔 cujos focos estão sobre a reta y 6 0 Encontre a equação de 𝓔 sabendo que sua excentricidade é 22 33 Obtenha os pontos da elipse x2100 y236 1 cuja distância ao foco que se encontra no semieixo OX positivo é igual a 14 34 Determine a equação da família de elipses com centro 23 reta focal paralela ao eixo OX e excentricidade 12 35 Encontre a equação da elipse que passa pelos pontos 13 14 33 e 0 3 32 sabendo que seus eixos são paralelos aos eixos coordenados 36 Os pontos V1 71 e V2 25 são vértices de uma elipse 𝓔 cuja reta focal é paralela a um dos eixos do sistema OXY a Determine o centro a reta focal a reta nãofocal os outros vértices e os focos da elipse sabendo que V1 pertence à reta focal b Determine o centro a reta focal a reta nãofocal os outros vértices e os focos da elipse sabendo que V2 pertence à reta focal c Encontre as equações das elipses dos itens a e b d Elabore um esboço das elipses determinadas em c num mesmo sistema de eixos ortogonais 37 Considere a elipse 𝓔 de centro 11 foco 32 e excentricidade 53 Encontre a as equações cartesianas da reta focal e da reta nãofocal b as coordenadas dos vértices e do outro foco da elipse c a equação cartesiana da elipse e faça seu esboço 38 Seja 𝓔 a elipse que tem vértices nos pontos 44 e 31 e reta focal ℓ x y 0 a Determine os outros vértices os focos o centro e a reta nãofocal b Obtenha a equação de 𝓔 c Faça um esboço de 𝓔 indicando todos seus elementos 39 Considere o ponto P 12 e a reta r y 1 Mostre que o conjunto 𝓔 P dPF 12 dPr é uma elipse com um dos focos no ponto F Determine também os demais elementos da elipse 𝓔 40 Determine a equação da hipérbole que passa pelos pontos 13 e 46 com centro na origem e reta focal igual ao eixo OX 41 Encontre a equação na forma canônica os vértices o centro os focos a reta focal a reta nãofocal os vértices imaginários a excentricidade as assíntotas e faça o esboço da hipérbole onde a 9x2 16y2 144 0 d 9x2 16y2 36x 32y 124 0 b 4x2 45y2 180 e 3x2 4y2 12x 8y 4 0 c 49y2 16x2 784 f x2 y2 6x 8y 5 0 42 Ache a equação da hipérbole conjugada à hipérbole de centro na origem com um vértice no ponto 30 tal que a reta 2x 3y 0 é uma de suas assíntotas 43 Classifique em função de λ ℝ as famílias de cônicas abaixo determinando nos casos nãodegenerados o centro e a reta focal a λ 1x2 λ 3y2 λ 2 b λ 1λ 2x2 λ 2y2 2λλ 2y 3λ2 λ3 c λ 2x2 2λ 2x λ 2y2 λ2 3λ 3 d λ2 1x2 2λ2 1λ 1x λ2 4y2 λ 12 44 Obtenha a equação os vértices os focos os vértices imaginários e as assíntotas da hipérbole 𝓗 centrada no ponto C 12 de excentricidade e 2 reta focal paralela ao eixo OY e dFV 2 onde F é um dos focos de 𝓗 e V é o vértice de 𝓗 mais próximo do foco F 45 Considere os pontos A 4 1 e B 3 2 Determine as equacoes e os principais elementos das duas hiperboles que possuem B como vertice imaginario A como vertice e reta focal paralela a um dos eixos coordenados Faca um esboco das duas hiperboles num mesmo sistema de eixos indicando todos os seus elementos 46 Obtenha o lugar geometrico dos pontos cujo modulo da diferenca das distˆancias aos pontos 0 3 e 0 3 e igual a 5 47 Encontre o lugar geometrico dos pontos cujo produto das distˆancias as retas 3x 4y 1 0 e 3x 4y 7 0 e igual a 144 25 48 Determine a equacao da hiperbole H a centrada na origem e eixos sobre os eixos coordenados que passa pelos pontos 3 1 e 9 5 b de vertices 6 0 e assıntotas 7x 6y 0 49 Encontre o lugar geometrico dos pontos cuja distˆancia ao ponto 0 6 e igual a 3 2 de sua distˆancia a reta y 8 3 50 Seja H uma hiperbole tal que os pontos 0 0 0 4 6 4 e 6 0 sao os vertices de seu retˆangulo de base a Determine a equacao e os principais elementos de H supondo que sua reta focal e paralela ao eixo OX b Encontre a equacao e os principais elementos de H sabendo que sua reta focal e paralela ao eixo OY c Faca um esboco das duas hiperboles em um mesmo sistema de eixos ortogonais 51 Considere as retas ℓ 3x 4y 1 e ℓ 4x 3y 7 e o ponto P 2 1 Obtenha o centro os vertices os vertices imaginarios os focos e os vertices do retˆangulo de base da hiperbole H supondo que ℓ e sua reta focal ℓ e sua reta naofocal e P e um dos seus vertices de seu retˆangulo de base 52 Determine a equacao da parabola e seus principais elementos sabendo que ela tem vertice na origem a passa pelo ponto 9 6 e tem reta focal paralela ao eixo OX b passa pelo ponto 4 8 e tem reta focal paralela ao eixo OY 6 c e foco no ponto 0 3 d e diretriz L x 7 53 Encontre as equacoes das parabolas cuja reta focal e paralela a um dos eixos coordenados tem vertice no ponto V 2 1 e parˆametro 2p 3 sendo umas das coordenadas maior que 2 Mostre que o outro ponto onde as parabolas intersectamse pertence a reta x y 1 0 54 Seja P a parabola de reta focal paralela ao eixo OX e foco F 0 3 Obtenha a diretriz e a equacao de P sabendo que P intersecta o eixo OX no ponto 4 0 e o eixo OY no ponto 0 2 Faca tambem um esboco de P indicando seus elementos 55 Seja f R2 R fx ax2 bx c uma funcao quadratica de uma variavel onde a b c R e a 0 Mostre que o grafico de f Gr f x y R2 y ax2 bx c e uma parabola e determine seus principais elementos 56 Ache os principais elementos das parabolas a x2 6y 2 b y2 4 6x c y 1 4x2 x 2 d y 4x2 8x 7 57 Determine a equacao da parabola P que tem a foco F 7 2 e diretriz L x 5 b vertice V 6 3 e diretriz L 3x 5y 1 0 c vertice V 2 3 reta focal paralela ao eixo OY e passa pelo ponto P 4 5 d reta focal paralela ao eixo OX e passa pelos pontos 2 1 1 2 e 1 3 58 Classifique em funcao do parˆametro λ R a famılia de cˆonicas Cλ x2 λ 2y2 2λx 2y 2λ λ2 4 0 encontrando nos casos naodegenerados a equacao da reta focal de Cλ 59 Seja C um arco parabolico que tem 18 metros de altura e 24 metros de base Encontre a altura de um ponto C situado a 8 metros da reta focal de C Para resolver esse problema utilize um sistema de eixos ortogonais conveniente 60 Considere os pontos F 2 1 e Q 4 0 Obtenha as equacoes as diretrizes e os vertices das parabolas com reta focal perpendicular ao vetor v 1 2 e foco F supondo que o ponto Q pertence a uma dessas parabolas Faca tambem um esboco das parabolas num mesmo sistema de eixos indicando todos os seus elementos 61 Seja P uma parabola tal que L x 2y 4 e a sua diretriz ℓ L 2 1 e dF L 2 5 onde ℓ e a sua reta focal e F e o seu foco Determine as equacoes os vertices os focos e as retas focais das parabolas que satisfazem as condicoes acima 7 Exercícios extras 1 Prove usando um sistema de eixos conveniente os seguintes resultados geométricos a num triângulo retângulo 1h2 1a2 1b2 onde h é a altura relativa à hipotenusa e a e b são as medidas dos catetos b num triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa é a média geométrica das projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa 2 Mostre usando o exercício anterior e usando um sistema de coordenadas conveniente que as três bissetrizes dos ângulos de um triângulo ABC intersectamse num ponto I chamado incentro do triângulo Conclua que o incentro I é o centro do círculo inscrito ao triângulo ABC isto é do círculo tangente aos lados AB BC e AC 3 Sejam r e r duas retas concorrentes no plano Dizemos que uma reta s é uma bissetriz de r e r quando os ângulos entre r e s e entre r e s são iguais É possível mostrar que se s e s são as bissetrizes das retas concorrentes r e r então s s P dPr dPr a Considere as retas r ax by c e r ax by c onde a2 b2 1 e a2 b2 1 Mostre que as duas bissetrizes dos ângulos formados por r e r são a ax b by c c e a ax b by c c b Sejam as retas r 4x 3y 0 e r 3x 4y 0 Determine as bissetrizes das retas r e r e as equações dos círculos de raio 75 que são tangentes às retas r e r 4 A bissetriz de um ângulo PRQ cujos lados são as semirretas SRP e SRQ é a semireta SRS que divide o ângulo em dois ângulos iguais isto é PRS SRQ a Mostre que a semireta ℓ R t𝘂 t 0 é a bissetriz do ângulo PRQ onde 𝘂 RQRP RPRQ b Encontre a bissetriz do ângulo PRQ no caso particular em que R 11 P 21 e Q 22 c Mostre escolhendo um sistema de coordenadas conveniente que as três bissetrizes dos ângulos de um triângulo ABC intersectamse num ponto I chamado incentro do triângulo Conclua usando o exercício anterior que o incentro I é o centro do círculo inscrito ao triângulo ABC isto é do círculo tangente aos lados AB BC e AC do triângulo d Dados os pontos A 34 B 62 e C 46 encontre a equação cartesiana do círculo inscrito ao triângulo ABC 5 Sejam r uma reta e A um ponto nãopertencente a r O ponto simétrico do ponto A em relação à reta r é o ponto A tal que r é a mediatriz do segmento AA a Determine as coordenadas de A sabendo que r ax by c e A x0y0 Faça o caso particular em que r y 2x 1 e A 41 b Sejam r e s duas retas concorrentes A reta obtida refletindo a reta s em relação à reta r é a reta s tal que r é uma das bissetrizes de s e s Supondo que r axbyc s ax by c e r s x0y0 determine a equação da reta s Resolva o caso particular em que r x 3y 3 e s 2x y 1 c Considere as retas r e s A reflexão da reta s em relação à reta r é a reta s paralela à reta r diferente de s tal que dsr dsr Supondo que r ax by c e s ax by c encontre c R em função de c e c de modo que s ax by c Faça o caso particular em que r 3x 2y 2 e s 3x 2y 4 6 Posição relativa entre círculos Sejam C1 e C2 dois círculos de centro A1 e A2 e raios r1 e r2 respectivamente Sendo c dA1A2 mostre que a C1 C2 é vazio se e somente se c r1 r2 ou r1 r2 c ou r2 r1 c b C1 C2 consiste de um único ponto se e somente se c r1 r2 ou r1 r2 c ou r2 r1 c c C1 C2 consiste de dois pontos se e somente se c r1 r2 ou r1 r2 c ou r2 r1 c 7 Retas tangentes nas cônicas a Uma reta r é tangente a uma elipse E num ponto P E se r intersecta E só nesse ponto ou seja r E P i Verifique que a equação da reta tangente à elipse E b²x² a²y² a²b² em um ponto P x0y0 E é b²x0x a²y0y a²b² O ponto P é chamado ponto de tangência da reta r com E Sugestão seja r x x0 v1t y y0 v2t uma reta que passa por P x0y0 E paralela ao vetor v v1v2 0 Substitua x e y das equações paramétricas de r na equação da elipse E e obtenha que r é tangente a E se e somente se b²x0v1 a²y0v2 0 ii Determine as equações das retas à elipse E x²20 y²5 1 que passam pelo ponto 103253 iii Encontre as retas de inclinação 3 tangentes à elipse 4x² 2y² 9 b A reta tangente a uma hipérbole H num ponto P H é a única reta nãoparalela às assíntotas que intersecta H nesse ponto O ponto P é chamado ponto de tangência da reta com H i Mostre que a reta tangente à hipérbole H b²x² a²y² a²b² em um ponto P x0y0 sobre a curva tem equação b²x0x a²y0y a²b² ii Determine os valores de m R para os quais as retas da família rm y mx 1 são tangentes à hipérbole H 4x² 9y² 36 c A reta tangente a uma parábola P num ponto P P é a única reta nãoparalela à reta focal l que intersecta a parábola apenas no ponto P O ponto P é chamado ponto de tangência da reta com P i Mostre que a reta tangente à parábola P y² 4px p 0 no ponto P x0y0 P é a reta r y0x 2x0y y0x0 se x0 0 e é a reta r x 0 se x0 0 ii Ache a equação da reta tangente à parábola P x² y 1 que é paralela a reta r 2x y 0 e o ponto de tangência 8 Propriedade refletora das cônicas a Seja P um ponto da elipse E de focos F1 e F2 Mostre que os segmentos PF1 e PF2 formam ângulos iguais com a reta tangente a E em P e que a reta normal a E em P é a bissetriz do ângulo F1PF2 b Seja P um ponto de uma hipérbole H de focos F1 e F2 Mostre que a reta tangente a H em P é a bissetriz do ângulo F1PF2 c Sejam as seguintes retas passando por um ponto P da parábola P r paralela à reta focal l η normal a P isto é perpendicular à reta tangente a P no ponto P s que passa pelo foco F de P Mostre que os ângulos entre r e η e entre s e η são iguais 9 Mostre que uma hipérbole não intersecta suas assíntotas e que qualquer reta paralela a uma assíntota intersecta a hipérbole em exatamente um ponto 10 Seja P uma parábola de diretriz L e vértice V Prove que dPL p para todo P P e que a igualdade ocorre se e só se P V onde 2p é o parâmetro de P Isto é o vértice V é o ponto da parábola mais próximo da diretriz L