Lista 2 - Seções Cônicas No Plano - Ga 2021-2

Notas de aula sobre Geometria Anal´ıtica. Se¸c˜oes cˆonicas no plano. Lista de excerc´ıcios Nro. 2 Elipse, Hip´erbole e Par´abola em coordenadas polares. Professor: Sergio Mu˜noz . Excerc´ıcios Considere as seguintes Par´abolas: 1. Foco F = (0, −1 4) . Reta diretr´ız s : 4y − 1 = 0 . 2. V´ertice V = (0, −2) . Reta diretr´ız s : 2x − 3 = 0 . 3. Foco F = (3, −1) . Reta diretr´ız s : 2x − 1 = 0 . 4. V´ertice V = (−2, 3) . Foco (−2, 1) . 5. V´ertice V = (3, −2) . Reta diretr´ız perpendicular ao eixo das y’s e p = 1 . Considere as seguintes Elipses: 1. Focos: F1 = (−1, −3) F2 = (−1, 5) . Excentricidade e = 2 3 . 2. Centro C = (0, 1) . V´ertice V = (0, 3) . Excentricidade e = √ 3 2 . 3. Focos: F1 = (−3, 0) F2 = (3, 0) . V´ertices: V1 = (−4, 0) V2 = (4, 0) . 4. Focos: F1 = (2, −1) F2 = (2, 5) . Comprimento do eixo maior 10 . 5. Eixo maior paralelo ao eixo das y’s. Centro C = (4, −2) . Excentricidade e = √ 1 2 . Eixo menor de medida 6 . Considere as seguintes Hip´erboles: 1. Focos: F1 = (0, −3) F2 = (0, 3) . V´ertices: A1 = (0, −2) A2 = (0, 2) . 2. Vértices: A; = (—3,0) Apo = (3,0). Retas assintotas y: +27. 3. Focos: Fi = (3,—2) F> = (3,4). Excentricidade e=2. 4. Centro C = (3,2). Vértice A= (1,2). Foco: F = (-1,2). 5. Vértices: Ay =(1,-2) Ag =(5,-2). Foco: F = (6,-2). Em cada caso acima: Facga um deslocamento de maneira que um dos focos esteja na origem (Veja a lista de excercicios Nro. 1) e logo responda: (a) Depois desse deslocamento, qual é a equacao (em coordenadas retangulares) da respectiva conica? (b) Faga o grafico: Mostrando a reta diretriz. (c) Determinar a equagao da conica [achada no item (a)] em uma equacaéo em coordenadas polares. (d) Determinar as coordenadas retangulares e polares dos vértices. (ce) Determinar os cruzamentos com os eixos coordenados (0 eixo das x’s e 0 eixo das y’s), em coordenadas polares e em coordenadas retangulares. (f) Usando as relacgoes: x= rcos(@) y = r sen (@) r=V/r+y? (f.1) Transformar a equacao achada no item (a) em uma equacaéo em coordenadas polares. (f.2) Transformar a equagdo achada no item (c) em uma equacao em coordenadas retan- gulares. Considere as seguintes equacoes: l. y?+6y—-—8r+17=0. 2. v2? +4r+8y+12=0. 3. y=4r—2x?. 4. 4x2 + 9y2 − 8x − 36y + 4 = 0 . 5. 9x2 + 16y2 − 36x + 96y + 36 = 0 . 6. 4x2 + 9y2 − 24x + 18y + 9 = 0 . 7. 9x2 − 4y2 − 18x − 16y − 43 = 0 . 8. x2 − 4y2 + 6x + 24y − 31 = 0 . 9. 4x2 − y2 − 32x + 4y + 24 = 0 . 10. 25x2 − 4y2 + 40y = 0 . Em cada caso acima: Fa¸ca um deslocamento de maneira que um dos focos esteja na origem (Veja a lista de excerc´ıcios Nro. 1) e logo responda: (a) Depois desse deslocamento, qual ´e a equa¸c˜ao (em coordenadas retangulares) da respectiva cˆonica? (b) Fa¸ca o gr´afico: Mostrando a reta diretriz. (c) Determinar a equa¸c˜ao da cˆonica [achada no item (a)] em uma equa¸c˜ao em coordenadas polares.