Exercícios Av 2022 1

1. Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana. a) x = -1 + t , y = 2 - t, t ∈ ℝ. b) x = -1 + t² , y = 2 - t², t ∈ ℝ. c) x = cos² t , y = sen² t, t ∈ ℝ. d) x = t² , y = t³, t ∈ ℝ. e) x = t² - 4 , y = 1 - t, t ∈ ℝ. f) x = sen t , y = cos 2t, t ∈ [0, 2π]. g) x = cos t , y = -3 + sen t, t ∈ [0, 2π]. h) x = 3 cos t , y = 2 sen t, t ∈ [0, 2π]. i) x = sec t , y = tg t, t ∈ (-π/2, π/2). As equações de a),b) e c) representam a mesma curva? 1. a) x + y = 1 ; b) x + y = 1, x ≥ -1 ; c) x + y = 1, 0 ≤ x ≤ 1 ; d) y² = x³ ; e) x = y² - 2y - 3 ; f) y = 1 - 2x² , -1 ≤ x ≤ 1 ; g) x² + (y + 3)² = 1 ; h) x²/9 + y²/4 = 1 ; i) x² - y² = 1, x ≥ 1. 2. Faça um esboço das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais: a) σ(t) = (2, 1, t), t ∈ ℝ. b) σ(t) = (t, t, t), t ∈ [-1, 1]. c) σ(t) = (2 cos t, 3 sen t, 5), t ∈ [0, 2π]. d) σ(t) = (3, cos t, sen t), t ∈ [0, π]. e) σ(t) = (t² - 1, 2, t), t ∈ [0, +∞). 2. a) reta paralela ao eixo z passando pelo ponto (2,1,0). b) segmento de reta que liga os pontos (-1,-1,-1) e (1,1,1). c) elipse no plano z = 5 de centro em (0,0,5) e semi-eixos 2 e 3. d) semi-circunferência no plano x = 3 de centro em (3,0,0) e raio 1. e) semi-parábola, no plano y = 2, com vértice no ponto (-1,2,0). 3. Dê uma parametrização para cada uma das curvas. a) a reta 2x - 3y = 6. b) a parábola x^2 = 4ay. c) a circunferência (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2. d) a elipse x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, x ≥ 0. e) o ramo da hipérbole x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1, x ≥ a. f) a reta x - 1/2 = y + 1/3 = z - 1/2. g) o segmento de reta que liga os pontos A = (-1,0,2) e B = (2,3,3).