Lista Análise Vetorial 2023 1

Lista de Análise Vetorial (Complementar, Par T, I.) 1) CALCULE O ROTACIONAL, \nabla x \vec{F}, DE CADA UM DOS CAMPOS a) (x^2\hat{i} + y^2\hat{j} + z^2\hat{k}) (3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}) b) \frac{y z\hat{i} - xz\hat{j} + xy\hat{k}}{x^2 + y^2 + z^2} c) y\hat{i} - x\hat{j} + 2xz^3y^2\hat{k} 2) Imp \vec{V}(x,y,z) = -y\hat{i} + x\hat{j} \vec{W}(x,y,z) = \frac{\vec{V}(x,y,z)}{(x^2 + y^2)^{1/2}} \vec{Y}(x,y,z) = \frac{\vec{V}(x,y,z)}{(x^2 + y^2)} a) CALCULE A DIVERGÊNCIA E O ROTACIONAL DE \vec{V}, \vec{W} e \vec{Y}. b) ENCONTRE AS LINHAS DE FLUXO DE CADA CAMPO 3) MOSTRE QUE \sigma '(t) = (1/(1-t), 0, t/(1+t)) É LINHA DE FLUXO DO CAMPO DE VETORES \vec{F}(x,y,z) = (x^2, 0, 3(1 + x)) 4) PROVE AS IDENTIDADES 12, 13, 15 E 16 DA TABELA (EM ANEXO) 5) CONSIDERe \vec{F}(x,y) = (1, x). a) ESBOCE O CAMPO \vec{F} E AS LINHAS DE FLUXO. QUAL FORMATO ESSAS LINHAS PARECEM TER? b) SE AS EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DAS LINHAS DE FLUXO SÃO x = x(t) E y = y(t), DEDUZA QUE \frac{dy}{dx} = x. c) SE UMA PARTÍCULA ESTÁ NA ORIGEM NO INSTANTE INICIAL E O CAMPO DE VELOCIDADES É DADO POR F, DETERMINE UMA EQUAÇÃO PARA A TRAJETÓRIA PERCORRIDA POR ESSA PARTÍCULA. 1. \nabla(f + g) = \nabla f + \nabla g 2. \nabla(cf) = c \nabla f, for a constant c 3. \nabla(fg) = f \nabla g + g \nabla f 4. \nabla(f/g) = (g \nabla f - f \nabla g)/g^2, at points where g(x) \neq 0 5. div(\mathbf{F} + \mathbf{G}) = div \mathbf{F} + div \mathbf{G} 6. curl(\mathbf{F} + \mathbf{G}) = curl \mathbf{F} + curl \mathbf{G} 7. \nabla(\mathbf{F} \cdot \mathbf{G}) = (\mathbf{F} \cdot \nabla)\mathbf{G} + (\mathbf{G} \cdot \nabla)\mathbf{F} + \mathbf{F} \times curl \mathbf{G} + \mathbf{G} \times curl \mathbf{F} 8. div(f \mathbf{F}) = f div \mathbf{F} + \mathbf{F} \cdot \nabla f 9. div(\mathbf{F} \times \mathbf{G}) = \mathbf{G} \cdot curl \mathbf{F} - \mathbf{F} \cdot curl \mathbf{G} 10. div curl \mathbf{F} = 0 11. curl(f \mathbf{F}) = f curl \mathbf{F} + \nabla f \times \mathbf{F} 12. curl(\mathbf{F} \times \mathbf{G}) = \mathbf{F} div \mathbf{G} - \mathbf{G} div \mathbf{F} + (\mathbf{G} \cdot \nabla)\mathbf{F} - (\mathbf{F} \cdot \nabla)\mathbf{G} 13. curl curl \mathbf{F} = grad div \mathbf{F} - \nabla^2 \mathbf{F} 14. curl \nabla f = 0 15. \nabla(\mathbf{F} \cdot \mathbf{F}) = 2(\mathbf{F} \cdot \nabla)\mathbf{F} + 2\mathbf{F} \times (curl \mathbf{F}) 16. \nabla^2(fg) = f \nabla^2 g + g \nabla^2 f + 2(\nabla f \cdot \nabla g) 17. div(\nabla f \times \nabla g) = 0 18. \nabla \cdot (f \nabla g - g \nabla f) = f \nabla^2 g - g \nabla^2 f 19. \mathbf{H} \cdot (\mathbf{F} \times \mathbf{G}) = \mathbf{G} \cdot (\mathbf{H} \times \mathbf{F}) = \mathbf{F} \cdot (\mathbf{G} \times \mathbf{H}) 20. \mathbf{H} \cdot ((\mathbf{F} \cdot \nabla)\mathbf{G}) = ((\mathbf{H} \cdot \nabla)\mathbf{G}) \cdot \mathbf{F} - (\mathbf{H} \cdot \mathbf{F})(\nabla \cdot \mathbf{G}) 21. \mathbf{F} \times (\mathbf{G} \times \mathbf{H}) = (\mathbf{F} \cdot \mathbf{H})\mathbf{G} - (\mathbf{F} \cdot \mathbf{G})\mathbf{H}