Lista 3 - Análise Vetorial 2021-2

2» Universidade do Estado do Rio de Janeiro oes Instituto de Matematica e Estatistica % uns & Disciplina: Andlise Vetorial % eM ge Professora: Rosiane Soares Cesar 3° Lista de Exercicios (1) Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C, orientadas positivamente. (a) ¢ y dx + «dy; C é a fronteira do quadrado D = [—1, 1] x [—1, 1]. C (b) ¢ (e* — 3y) dx + (e” — 6x) dy; C é a elipse de equacao x? + 4y? = 1. C (c) ¢ x 'e’dx + (e¥lnzx + 2x) dy; C é a fronteira da regiao limitada por x = y+ +1 e C x= 2. xa+y)dx+ (y—2)dy; CU é a circunterencia 7° + y* — 2ax = 0. d d dy, C éaci feréncia x? + y? — 2 0 C (e) ¢ (2a — y’) dx — xydy; C é a fronteira da regiao limitada pelas curvas x? + y? = 4 C er+y?=9. (2) (a) Mostre que a area de uma regiao fechada e limitada D do plano xy pode ser obtida através da seguinte integral de linha: area(D) -¢ xdy. aD (b) Use (a) para calcular a drea da regiao limitada pelo eixo y, pelas retas y= 1, y= 3 e pela curva x2 = y?. ; ; OF: (3) Seja F = (F,, F)) um campo vetorial de C1 no R?, exceto em (0,0) tal que a (x,y) = OF: Oy (x,y) +4 para todo (x,y) 4 (0,0). Sabendo que f Fuds + Fody = 6m, onde y é Y a circunferéncia x? + y? = 1, orientada no sentido anti-hordario, calcule ¢ Fy\dz + Fody, ey? © onde C é a elipse 7T + ian 1, orientada no sentido anti-horario. (4) Calcule | (307 — 8y) dx + (4y — 6xy) dy, onde C é a fronteira da regiao limitada por C x=y? ey =2’ orientada no sentido horario. (5) Calcule | (e* sen y — y) dx + (e” cosy) dy, onde C é a fronteira da regiao definida por c y=x,y=3ex=0, orientada no sentido anti-horario. (6) Calcule ¢ e*dx + axydy, onde C é a curva definida por |x| + |y| = 2, orientada no sentido C horario. 1 2 (7) Calcule | (an (1+ y7) — 2? (y+1)) dx+ (4 +y? (a+ 0) dy e C éa porgao da C y circunferéncia x? + y? = 1 no primeiro quadrante orientada de (1,0) para (0, 1). (8) Usando 0 Teorema de Green, calcule a area da regiao delimitada pelas pardbolas y = x? exr=y’. RESPOSTAS 1. (a) zero 37 b) — ) 2 16 (c) 5 (d) —27a? 1957 () 26 2. (b) — (b) 5 3. 427 4, —2. 2 9 5. = 2 6. 0 nm 2 7. -+-= 8 + 3 3 1 gua. 2