Lista 5 - Análise Vetorial 2021-2

2» Universidade do Estado do Rio de Janeiro oes Instituto de Matematica e Estatistica % uns & Disciplina: Andlise Vetorial % ll s* Professora: Rosiane Soares Cesar *s7ap0 52 Lista de Exercicios (1) Calcule as seguintes integrais de superficie: (a) /I (x?z+y"z) ds, onde S é 0 hemisfério 2? + y? + 2? = 4, z > 0. Ss (b) /I (x? + y’) ds, onde S é a superficie cilindrica x? + y2 =leO<z <2. Ss (c) /I (x? +’) ds, onde S$ é aesfera a? + y? + 2 =a? Ss (d) / | (y° + 2”) ds, onde S é a superficie do sdlido limitado pela parte superior da Ss esfera x? + y? + 22 =1.e0 cone z= 1/22 + y?. (e) /I xyzds, onde S éa porgao do plano x + y+ z—1=0 no primeiro octante. Ss (2) Seja S uma superficie fechada tal que S = S$, U S2, onde S; e Sy sdo superficies de revolucao obtidas pela rotacao em torno do eixo z das curvas Cy: z=1—2,0<a<1 e Cy: z=0,0 <2 <1, respectivamente. Se p(x,y,z) = x? + y? 6 a fungao que fornece a densidade (massa por unidade de Area) em cada ponto (x,y,z) € S, calcule a massa de S.. (3) Calcule / | F - ds nos exercicios abaixo: Ss (a) F (x,y,z) = (27, ry, z) e S é a parte do paraboléide z = x? + y? abaixo do plano z = 1 com vetor normal apontando para fora. (b) F (x,y,z) = (y,2z,-—z) e S é a porcao do plano 2x + y = 6 no primeiro octante limitada pelo plano z = 4, com o vetor normal com a componente x positiva. (c) F(2,y,z) = (xy”, x?y,y) e S €é asuperficie do sdlido limitado pelo cilindro z?+y? = 1 e pelos planos z = 1 e z = —1, com a normal de S apontando para fora do sélido. (d) F (x,y,z) = (2, y,-22z) e S éa esfera x2? + y? + z? = 4 com vetor normal n exterior. (ec) F(2,y,z) = (2y, -z, 27) e S éa superficie do cilindro parabélico y? = 8x no primeiro octante limitado pelos planos y = 4 e z = 6, com o vetor normal com componente x positiva. (f) F (x,y,z) = (a,y,z) e S éa superficie do sdélido W, onde W = {(z,y,z) € R’|a?+y? < lear? +y? +2 < 4}, com vetor normal n exterior. (g) F(2,y,z) = (22-2, —-xy,3z) e S 6a superficie do sdlido limitado por z = 4 — y’, x=0, x2 =3eo0 plano ry, com vetor normal n exterior.. _3 (bh) F(z,y,2) = (2? +y°+ 27)? (x,y,z) e S éa esfera x? + y* + 2* = a’, com vetor normal n exterior. 1 (i) F(x,y,z) = (2,y, x) e S éa fronteira do sélido W = {(x9,2) ER? | /22+y2<2< 2} orientada positivamente. 2 (j) F(z,y,z) = (20 + ry’, —zy, — Ps) , 5 €a superficie cilindrica fechada limitada pelos planos z = 0 e z = 1, cuja base no plano xy é limitada pelas curvas de equacdes e+(y-ly=4yeher+ tly =4ys-k (e- 2° +y 1222 (a +2)? +y? =1, « < —2,e N éa normal exterior a S. (k) F (x,y, z) = (2?, y?, 2?) e S 6a superffcie do cubo definido por 0 <2 <1,0<y<1, 0 < z< 1, com o campo normal apontando para fora. (4) Calcule | F- dr. Em cada caso C esta orientada no sentido anti-horario quando vista Cc de cima. (a) F(a,y,z) = (a+ y?,y+ 27,2427) e C é0 tridngulo de vértices (1,0,0), (0, 1,0), (0,0, 1). (b) F (x,y,z) = (yz, 2xz,e™) e C 60 circulo x? + y? = 16, z =5. (c) F(2,y,2) = (az, ry’, 2”) e C 6 a curva de intersegao do planor+y+2=leo cilindro 2? + y? = 9. (5) Use o Teorema de Stokes para calcular // rot F'-ds, onde F (x, y, z) = (x7e", y?e"”, 27e7) S e S 60 hemisfério x? + y? + z? = 4, z > 0, com vetor normal apontando para fora. RESPOSTAS (1) (a) 167 (b) 4a 8rat () 3V¥2 4 TV2 (d) 3v2 oe v2 TT 16 3 12 V3 (e) 120 1+ V2) 27 (2) (L+ v2) 2x ) us 3 —_—— (3) (a) —3 (b) 108 (c) m (d) zero (e) 132 (f) (8 —3V3) 4x (g) 16 (h) 47 2 (i) 16π 3 (j) 10π + 16 (k) 3 (4) (a) −1 (b) 80π (c) 81π 2 (5) zero 3