Lista 4 - Análise Vetorial 2021-2

2» Universidade do Estado do Rio de Janeiro oes Instituto de Matematica e Estatistica % uns & Disciplina: Andlise Vetorial % eM ge Professora: Rosiane Soares Cesar 4* Lista de Exercicios (1) Identifique as superficies dadas pelas parametrizagdes abaixo, onde u € R, v € Re 0<6< 2n. (a) y(u,v) = (u? — 1,v°, 0). (b) y(u,v) = (uw? +5,u? +5, 0). (c) y(u, 6) = (cos 0, sen 6, e"). (d) yp(u,v) = (1+ u+ 2v,3 —u—3v,4+u-—5). (e) y (u,v) = (ut+v,u —v,uw +?) (2) Parametrize as superficeis abaixo, indicando o dominio dos parametros: (a) S={(z,y,z) CR |er?t+y4+2=4,2>1,7>0,y> 0} (b) S= { (9,2) ER |2=/3@ +7), 2+ y"+2< i} (c) S={(a,y,2z) € R?|a+2y43z2=10, 2? +y? <1} (d) S={(z,y,z) © R’|2?+y? =9,0< 2 < 20+2r — y} (3) Seja S uma superficie parametrizada por yp (u,v) = (v cos u, vsen u, 1 —v’) > O<u<27, v>0 (a) Identifique esta superficie. (b) Encontre um vetor tangente a curva, definida por vy (0,v), no ponto y (0,1). (c) Encontre um vetor tangente a curva, definida por y (u, 1), no ponto y (0, 1). (d) Encontre a equagao do plano tangente a S em (0,1). (4) (a) Encontre uma parametrizagao para a superficie obtida girando-se o circulo (x — a) + 2 =r’?,0<r<a, em torno do eixo z. Esta superficie é chamada toro. (b) Encontre um vetor normal a esta superficie. (c) Esta superficie é regular? (5) Dada a esfera de raio 2, centrada na origem, encontre a equacao do plano tangente a ela no ponto (1, 1, V2). (6) Enconte uma equacao do plano tangente as superficies parametrizadas dadas abaixo nos pontos especificados. (a) y(u,v) = (ut+v,3u?,u—v); (2,3,0). (b) p(u,v) = (u?,2usenv,ucosv),u=1,v=0. (7) Encontre uma representacgao paramétrica para a superficie obtida por girar-se a curva z=e",1<a2<3 em torno do eixo z 1 (8) Considerando que a superficie S é obtida girando a curva z = 77, 0 < x < 4, em torno do eixo z, pede-se: (a) Uma parametrizacao para S. (b) A Area da porcao de S compreendida entre os cilindros x? + y? = 1 ea? +y?=4. (9) Calcule a drea das seguintes superficies: (a) A porgao do plano x + 2y + 2z = 12 limitada pelos planos x = 0, y = 0 e pelo cilindro x? + y? = 16. (b) S= {(a,y,2) ER®; ja? t+y+2=h0K<a¢<4,i<z<i} RESPOSTAS (1) (a) plano z =0 (b) planoz=y (c) cilindro x? + y? = 1, z>0. (d) plano 8% + Ty — z = 25 24,2 (e) paraboldide z = tT (2) (a) y(¢, 0) = (2sen dcos 4, 2 sen d sen, 2 cos d), (6,4) € [0, 2] x [0, 3] (b) y(r,@) = (r cos @,r sen 8, v3r), (r,0) € [0, 5 | x [0, 27]. (c) p(y) = (ey, SS), @y ef{@y eR lerty <i (d) v(0,z) = (3cos 0, 3sen 0, z), (0,z) € {(0,z) € R?|0 < @ < 27, 0 < z < 20+ 6 cos 6 — 3sen 0} (3) (a) paraboldide (b) (1,0,-2) (c) (0, 1,0) (d) 22+z2—-2=0 (4) (a) y(¢,0) = ((a+rsen ¢) cos 0, (a+ rsen¢)sen6,rcos¢),0<¢< 27,0<0< 20 (b) (a+rsen ¢) (rsen ¢cos6,rsen dsen 0,7 cos ¢) (c) S é regular em todos os pontos (5) e+y+V2z2=4 (6) (a) 8 -y+3z=3 (b) -a@+2z=1 (7) p(t,@) = (tcos6,tsend,e'),1<t<3,0<0< 2r. (8) (a) w(t,v) = (tcosv,tsenv,t?),0<t<4,0<v <2r. (17/17 — 5/5) « (b) —————— 6 (9) (a) 67 m arctan 2 MG 2