Prova Análise Vetorial 2021 2

P1: FUNÇÕES VETORIAIS E CAMPOS ESCALARES Curso: ANÁLISE VETORIAL Data: Nome: Professor: Este simulado tem 7 perguntas. Você deve resolver 6 dessas questões em uma hora e meia. 1) O movimento de uma partícula que tem aceleração a(t) = (0, 3/2 t^(-1/2)) é analisado entre os tempos t = 1 e t = 11/3 sendo que a sua velocidade inicial é v(1) = (4, 3). Obter se possível o comprimento de arco do percurso analisado e a equação da reta tangente à curva do movimento no tempo t = 1. 2) Seja F(x, y) = (10 / \sqrt{x^2 + y}) um campo escalar. Obter se possível o domínio de definição do campo escalar e as curvas de nível z = 0, z = 5 e z = -5. 3) Assuma que a parametrização de uma curva é H(t) = (sin(t), t^2 - 2πt + t^2, cos(t)). Obter a curvatura e a equação do plano osculador nos pontos onde a velocidade e a aceleração são ortogonais. 4) Uma bola que está inicialmente no ponto (5, 4) se movimenta ao longo da parábola y = x^2 - x + 4 até o ponto (1, 0) e logo volta ao ponto inicial em linha reta. Fazer o desenho da situação e parametrizar cada parte do percurso do movimento da bola respeitando o sentido no qual a bola faz o movimento. 5) A temperatura de uma lâmina oval está dada por T(x, y) = \sqrt{25 - x^2 - 2y^2}. O vetor normal unitário à curva de nível que passa pelo ponto (x, y) = (1, 2) aponta na direção na qual a temperatura cai? 6) Um foguete tem função posição P(t) = (e^t cos(t), e^t sin(t), et) para t >= 0. É verdade que as componentes tangencial e normal da aceleração inicial são iguais? 7) Se r(t) é a parametrização de uma circunferência centrada na origem do plano R^2 então r(t) e dr/dt são ortogonais para qualquer t (verifique!). A mesma coisa vale se a circunferência não estiver centrada na origem? || r^2(t) ||= R => r(t) . r(t) = R^2 => 2r(t) dr(t)/dt = 0 => r(t) e dr/dt são ortogonais Raiz da circunferência A mesma coisa não vale se a circunferência não não estiver centrada na origem!