P1 - Análise Vetorial 2021 2

45 Copias P1L4 UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA P1: FUNÇÕES VETORIAIS E CAMPOS ESCALARES Curso: ANÁLISE VETORIAL Nome: Data: Professor: Esta folha de questões (da prova) tem 5 perguntas (o verso desta folha será considerada folha de rascunho). Você deve resolver só 4 questões e portanto deverá rejeitar uma pergunta (o peso de cada pergunta é 2,5pts). Por favor escrever seu nome em cada folha e escrever (na primeira folha de respostas) qual a pergunta que você rejeitou. Boa prova! 1) Seja 𝐻(𝑡) = (3 cos(t), 3 sin(t), 4t) uma parametrização de uma hélice e 𝑇(s), 𝑁(s) e 𝐵(s) os vetores tangente, normal e binormal (todos unitários) onde s é o comprimento de arco. Verificar que \(\frac{d}{dt} T = \kappa \cdot N\) sendo que \(\kappa\) é a curvatura (e \(\tau\) é outra "constante" chamada torção). 2) Uma partícula está inicialmente no ponto (4,0) e se movimenta ao longo da parábola y = x² - 5x + 4 até que chega no ponto (0,4). Parametrizar a curva do percurso do movimento na orientação certa e obtenha o valor máximo possível da curvatura da curva descrita pela partícula (Fazer um desenho no plano cartesiano para explicar bem!). 3) Assuma que a velocidade do movimento de um drone é \( \dot{y}(t) = (t², -2, 2/t²) \) onde 1 ≤ t ≤ 3. É verdade que podemos obter a posição do drone quando t = 1 e que nessa posição a componente normal da aceleração é maior que a componente tangencial? 4) Seja F(x, y) = 12 / \(\sqrt{x² + y²}\) um campo escalar que representa a voltagem de uma placa metálica no ponto (x, y). Fazer o gráfico da curva de nível que passa pelo ponto (x, y) = (6, -8) e diga se o vetor normal unitário dessa curva (nesse ponto) aponta na direção e sentido de crescimento máximo da voltagem. 5) Assuma que temos a curva parametrizada \(\bar{Q}(t) = (sin(t) + 1, t cos(t) - 1, t²)\). Obter a equação do plano normal, osculador e retificante no ponto (1, -1, 0).