Prova - Análise Vet 2021 2

1. (2 pontos) Determine o plano tangente à superfície dada no ponto dado: a) σ(u, v) = (2u + v, u - v, 3u + 2v), no ponto σ(0, 0). b) σ(u, v) = (arctan(t)u, e^u^2−v^2, u−v), no ponto σ(1,−1). 2. (2 pontos) Seja F: R^2 -> R^2 um campo vetorial contínuo, tal que para todo (x, y), F(x, y) é paralelo ao vetor (x, y). Calcule ∮ F · dγ , onde γ : [a, b] → R^2 é uma curva de classe C^1, cuja imagem está contida na circunferência de centro na origem e raio r > 0, interprete geometricamente. 3. (2 pontos) a) Calcule ∮_γ -y/(x^2 + y^2) dx + x/(x^2 + y^2) dy onde γ é a figura: [gráfico] b) Calcule ∮_γ F · dγ , onde F(x, yⁿ) = (x³y, 3xy + 2x) e γ a fronteira do quadrado de vértices (−1, 0), (0,−1), (1, 0), (0, 1). 4. (2 pontos) Calcule a área da superfície z = x² + y², 0 ≤ x ≤ 8/9 e 0 ≤ y ≤ 9x²/16 5. (2 pontos) Seja σ : [1, 2] → R^2 a curva definida por σ(t) = (e^t−1, sin(π/t)), calcular a integral de linha ∫_σ 2x cos y dx − x² sin y dy. 6. (Bônus) Sejam γ1 e γ2 duas curvas simples C^1, seja γ1 orientada no sentido anti-horário e γ2 no sentido horário, como na figura abaixo. Seja B a região compreendida entre γ1 e γ2. Suponha P(x, y) e Q(x, y) são C^1 em R^2 verifique que: ∮_γ1 Pdx + Qdy + ∮_γ2 Pdx + Qdy = ∬_B (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dx dy